2019年中考數學真題試題(含解析)-新版-新人教-版

PAGEPAGE62019年中考數學真題試題一、選擇題：（本大題共10題，每題3分，滿分30分）1.－的倒數是A.B.－C.D.－【答案】D【解析】【分析】根據乘積為1的兩個數互為倒數進行求解即可得.【詳解】∵=1，∴－的倒數是－，故選D.【點睛】本題考查了倒數的定義，熟知乘積為1的兩個數互為倒數是解題的關鍵.2.如圖，是一個幾何體的表面展開圖，則該幾何體是A.正方體B.長方體C.三棱柱D.四棱錐【答案】C【解析】根據表面展開圖中有兩個三角形，三個長方形，由此即可判斷出此幾何體為三棱柱。【詳解】觀察可知圖中有一對全等的三角形，有三個長方形，所以此幾何體為三棱柱，故選C【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的展開圖特點是解決此類問題的關鍵．3.如圖，若l1∥l2，l3∥l4，則圖中與∠1互補的角有A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D【解析】【分析】如圖根據平行線的性質可得∠2=∠4，∠1+∠2=180°，再根據對頂角的性質即可得出與∠1互補的角的個數.【詳解】如圖，∵l1∥l2，l3∥l4，∵∠2=∠4，∠1+∠2=180°，又∵∠2=∠3，∠4=∠5，∴與∠1互補的角有∠2、∠3、∠4、∠5共4個，故選D.【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.4.如圖，在矩形ABCD中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函數y＝kx的圖像經過點C，則k的取值為A.－B.C.－2D.2【答案】A【解析】【分析】根據已知可得點C的坐標為（-2，1），把點C坐標代入正比例函數解析式即可求得k.【詳解】∵A(－2，0)，B(0，1)，【點睛】本題考查了菱形的性質、三角形中位線定理、勾股定理等，正確添加輔助線是解決問題的關鍵.9.如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與○O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為A.15°B.35°C.25°D.45°【答案】A【詳解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故選A.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，三角形內角和定理等，熟練掌握相關內容是解題的關鍵.10.對于拋物線y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，當x＝1時，y＞0，則這條拋物線的頂點一定在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先由題意得到關于a的不等式，解不等式求出a的取值范圍，然后再確定拋物線的頂點坐標的取值范圍，據此即可得出答案.【詳解】由題意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1，∴2a-1>0，∴<0，，∴拋物線的頂點在第三象限，故選C.【點睛】本題考查了拋物線的頂點坐標公式，熟知拋物線的頂點坐標公式是解題的關鍵.二、填空題：（本大題共4題，每題3分，滿分12分）11.比較大?。?_________(填<，>或＝)．【答案】<【解析】【分析】根據實數大小比較的方法進行比較即可得答案.【詳解】∵32=9，9<10，∴3<，故答案為：<.【點睛】本題考查了實數大小的比較，熟練掌握實數大小比較的方法是解題的關鍵.12.如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點F，則AFE的度數為________【答案】72°【解析】【分析】首先根據正五邊形的性質得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形內角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性質得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【詳解】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案為：72°．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，利用數形結合求解是解答此題的關鍵13.若一個反比例函數的圖象經過點A(m，m)和B(2m，－1)，則這個反比例函數的表達式為______【答案】【解析】【分析】根據反比例函數圖象上點的橫、縱坐標之積不變可得關于m的方程，解方程即可求得m的值，再由待定系數法即可求得反比例函數的解析式.【詳解】設反比例函數解析式為y=，由題意得：m2=2m×(-1)，解得：m=-2或m=0（不符題意，舍去），所以點A（-2，-2），點B（-4，1），所以k=4，所以反比例函數解析式為：y=，故答案為：y=.【點睛】本題考查了反比例函數，熟知反比例函數圖象上點的橫、縱坐標之積等于比例系數k是解題的關鍵.14.點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD＞AB，E、F分別是AB邊上的點，且EF＝AB；G、H分別是BC邊上的點，且GH＝BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2之間的等量關系是______________【答案】2S1＝3S2【解析】【分析】過點O分別作OM⊥BC，垂足為M，作ON⊥AB，垂足為N，根據點O是平行四邊形ABCD的對稱中心以及平行四邊形的面積公式可得AB?ON=BC?OM，再根據S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC，則可得到答案.【詳解】過點O分別作OM⊥BC，垂足為M，作ON⊥AB，垂足為N，∵點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，∴S平行四邊形ABCD=AB?2ON，S平行四邊形ABCD=BC?2OM，∴AB?ON=BC?OM，∵S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB?ON，S2=BC?OM，∴2S1＝3S2，故答案為：2S1＝3S2.【點睛】本題考查了平行四邊形的面積，中心對稱的性質，正確添加輔助線、準確表示出圖形面積是解題的關鍵.三、解答題（共11小題，計78分．解答應寫出過程）15.計算：(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0【答案】【解析】【分析】按順序先分別進行二次根據的乘法運算、絕對值的化簡、0次冪的計算，然后再按運算順序進行計算即可.【詳解】(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0＝3＋－1＋1＝4.【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算的法則是解題的關鍵.16.化簡：【答案】【解析】【分析】括號內先通分進行分式的加減運算，然后再進行分式的乘除運算即可得.【詳解】===.【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式混合運算的順序是解題的關鍵.17.如圖，已知在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點，連接AM，請用尺規(guī)作圖法，在AM上求作一點P，使得△DPA∽△ABM（不寫做法保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析.【解析】【分析】根據尺規(guī)作圖的方法過點D作AM的垂線即可得【詳解】如圖所示，點P即為所求作的點.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，熟練掌握作圖的方法是解題的關鍵.18.如圖，AB∥CD，E、F分別為AB、CD上的點，且EC∥BF，連接AD，分別與EC、BF相交與點G、H，若AB＝CD，求證：AG＝DH．【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用AAS先證明?ABH≌?DCG，根據全等三角形的性質可得AH=DG，再根據AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH即可證得AG＝HD.【詳解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在?ABH和?DCG中，，∴?ABH≌?DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.19.對垃圾進行分類投放，能有效提高對垃圾的處理和再利用減少污染，保護環(huán)境．為了了解同學們對垃圾分類知識的了解程度增強同學們的環(huán)保意識，普及垃圾分類及投放的相關知識．某校數學興趣小組的同學們設計了“垃圾分類知識及投放情況”問卷，并在本校隨機抽取若干名同學進行了問卷測試．根據測試成績分布情況，他們將全部測試成績分成A、B、C、D四組，繪制了如下統(tǒng)計圖表：“垃圾分類知識及投放情況”問卷測試成績統(tǒng)計表依據以上統(tǒng)計信息，解答下列問題：(1)求得m＝，n＝;(2)這次測試成績的中位數落在組；(3)求本次全部測試成績的平均數．【答案】（1）30；19%；（2）B；（3）80.1分.【解析】【分析】（1）根據B組的頻數以及頻率可求得樣本容量，然后用樣本容量乘以D組的百分比可求得m的值，用A的頻數除以樣本容量即可求得n的值；（2）根據中位數的定義進行解答即可得解；（3）根據平均數的定義進行求解即可得.【詳解】（1）72÷36%=200，m=200×15%=30，n==19%，故答案為：30，19%；（2）一共有200個數據，從小到大排序后中位數是第100個、第101個數據的平均數，觀察可知中位數落在B組，故答案為：B；（3）本次全部測試的平均成績＝=80.1分．【點睛】本題考查了頻數分布表，扇形統(tǒng)計圖，中位數，平均數等知識，熟練掌握相關的概念是解題的關鍵.20.周末，小華和小亮想用所學的數學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據相關測量信息，求河寬AB．

【答案】河寬為17米．【解析】【分析】由題意先證明?ABC∽?ADE，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求得AB的長.【詳解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴?ABC∽?ADE，∴，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴，∴AB＝17，即河寬為17米．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟記相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.21.經過一年多的精準幫扶，小明家的網絡商店（簡稱網店）將紅棗、小米等優(yōu)質土特產迅速銷往全國，小明家網店中紅棗和小米這兩種商品的相關信息如下表：商品紅棗小米規(guī)格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4038售價（元/袋）6054根據上表提供的信息，解答下列問題：(1)已知今年前五個月，小明家網店銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共3000kg，獲得利潤4．2萬元，求這前五個月小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗多少袋；(2)根據之前的銷售情況，估計今年6月到10月這后五個月，小明家網店還能銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共2000kg，其中，這種規(guī)格的紅棗的銷售量不低于600kg．假設這后五個月，銷售這種規(guī)格的紅棗味x（kg），銷售這種規(guī)格的紅棗和小米獲得的總利潤為y（元），求出y與x之間的函數關系式，并求出這后五個月，小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤多少元．【答案】（1）前五個月小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗1500袋，銷售小米750袋；（2）小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤23200元．【解析】【分析】（1）設前五個月小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗a袋，銷售小米b袋，根據等量關系：①銷售紅棗和小米共3000kg，②獲得利潤4．2萬元，列方程組進行求解即可得；（2）根據總利潤=紅棗的利潤+小米的利潤，可得y與x間的函數關系式，根據一次函數的性質即可得答案.【詳解】（1）設前五個月小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗a袋，銷售小米b袋，根據題意得：，解得：，答：前五個月小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗1500袋，銷售小米750袋；（2）根據題意得：y＝(60－40)x＋(54－38)×＝12x＋16000，∵k=12>0，∴y隨x的增大而增大，∵x≥600，∴當x＝600時，y取得最小值，最小值為y＝12×600＋16000＝23200，∴小明家網店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤23200元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，弄清題意，找出各個量之間的關系是解題的關鍵.22.如圖，可以自由轉動的轉盤被它的兩條直徑分成了四個分別標有數字的扇形區(qū)域，其中標有數字“1”的扇形圓心角為120°．轉動轉盤，待轉盤自動停止后，指針指向一個扇形的內部，則該扇形內的數字即為轉出的數字，此時，稱為轉動轉盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數，重新轉動轉盤，直到指針指向一個扇形的內部為止）(1)轉動轉盤一次，求轉出的數字是－2的概率；(2)轉動轉盤兩次，用樹狀圖或列表法求這兩次分別轉出的數字之積為正數的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據題意可求得2個“－2”所占的扇形圓心角的度數，再利用概率公式進行計算即可得；（2）由題意可得轉出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情況，再找出符合條件的可能性，根據概率公式進行計算即可得.【詳解】（1）由題意可知：“1”和“3”所占的扇形圓心角為120°，所以2個“－2”所占的扇形圓心角為360°－2×120°＝120°，∴轉動轉盤一次，求轉出的數字是－2的概率為＝；（2）由（1）可知，該轉盤轉出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均為，所有可能性如下表所示：第一次第二次1－231(1，1)(1，－2)(1，3)－2(－2，1)(－2，－2)(－2，3)3(3，1)(3，－2)(3，3)由上表可知：所有可能的結果共9種，其中數字之積為正數的的有5種，其概率為.【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．23.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，分別與AC、BC相交于點M、N．(1)過點N作⊙O的切線NE與AB相交于點E，求證：NE⊥AB；(2)連接MD，求證：MD＝NB．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）如圖，連接ON，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得AD＝CD＝DB，從而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推導得出ON∥AB，再結合NE是⊙O的切線，ON//AB，繼而可得到結論；（2）如圖，由（1）可知ON∥AB，繼而可得N為BC中點，根據圓周角定理可知∠CMD＝90°，繼而可得MD∥CB，再由D是AB的中點，根據得到MD＝NB．【詳解】（1）如圖，連接ON，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切線，ON是⊙O的半徑，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如圖所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直徑，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中點，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【點睛】本題考查了切線的性質、三角形中位線、圓周角定理等，正確添加輔助線、熟練應用相關知識是解題的關鍵.24.已知拋物線L：y＝x2＋x－6與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），并與y軸相交于點C．(1)求A、B、C三點的坐標，并求出△ABC的面積；(2)將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L′，且L′與x軸相交于A′、B′兩點（點A′在點B′的左側），并與y軸交于點C′，要使△A′B′C′和△ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數表達式．【答案】（1）A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)；15；（2）y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．【解析】【分析】（1）在拋物線解析式中分別令x=0、y=0即可求得拋物線與坐標軸的交點坐標，然后根據三角形面積公式即可求得三角形的面積；（2）將拋物線向左或向右平移時，A′、B′兩點間的距離不變，始終為5，那么要使△A′B′C′和△ABC的面積相等，高也只能是6，分點C′在x軸上方與x軸下方兩種情況分別討論即可得.【詳解】（1）當y＝0時，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，當x＝0時，y＝－6，∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15；（2）將拋物線向左或向右平移時，A′、B′兩點間的距離不變，始終為5，那么要使△A′B′C′和△ABC的面積相等，高也只能是6，設A(a，0)，則B(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，當x＝0時，y＝a2＋5a，當C′點在x軸上方時，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，此時y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；當C′點在x軸下方時，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，此時y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(與原拋物線重合，舍去)；所以，所有滿足條件的拋物線的函數表達式為：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸的交點、拋物線的平移等知識，熟知拋物線沿x軸左右平移時，拋物線與x軸兩個交點間的距離不變是解（2）小題的關鍵.25.問題提出(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC的外接圓半徑R的值為．問題探究(2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB＝24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值．問題解決(3)如圖③所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對的圓心角為60°．新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F．也就是，分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．圖①圖②圖③【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．【解析】【分析】（1）如圖（1），設外接圓的圓心為O，連接OA，OB，根據已知條件可得△AOB是等邊三角形，由此即可得