2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南三校聯(lián)考高二下學(xué)期階段考試（二）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南三校聯(lián)考高二下學(xué)期階段考試（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（

）A．13種 B．22種 C．30種 D．60種【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．2．若直線與直線平行，則實數(shù)（

）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線平行的關(guān)系計算求解即可.【詳解】解：兩直線的斜率分別是，，由兩直線平行可知，解得．故選：B．3．已知數(shù)列滿足，，則（

）．A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系直接求解即可.【詳解】解：因為，，所以，，，．故選：C4．某班舉辦古詩詞大賽，其中一個環(huán)節(jié)要求默寫《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》默寫次序相鄰，則不同的默寫次序有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)排列中相鄰問題捆綁法即可求解.【詳解】可先將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁起來看作一個元素，與剩下兩首詩詞全排列，有種排法，然后捆綁的《將進(jìn)酒》與《望岳》也有排列，有種排法，根據(jù)乘法原理，得種排法，即不同的默寫次序有12種.故選：B.5．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實數(shù)（

）．A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】函數(shù)求導(dǎo)，計算，利用切線與直線垂直，求得a值.【詳解】因為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，直線l的斜率，由切線與直線l垂直知，即，解得．故選：C．6．記橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件列關(guān)于的方程，由此可求離心率.【詳解】因為橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，所以，因為點(diǎn)在軸上方，又，所以將代入橢圓可得，即，因為直線的傾斜角為，所以，又，化簡，所以解得.故選：A.7．已知等比數(shù)列的前項和為，且，若，，則（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，然后根據(jù)等比中項的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而即可求出答案.【詳解】由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因為，所以有，解得.故選：C.8．已知函數(shù)的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而由單調(diào)性解不等式求出答案.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.二、多選題9．下列運(yùn)算錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AC10．某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開展一次關(guān)于全球變暖的研討會，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會，則（

）A．選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種【答案】AD【分析】A選項只在女生5人中選取4人，直接列式求解；B選項男、女生選取各2人，則分別選取即可列式求解；C用間接法列式求解；D分情況討論.【詳解】選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有=100種，故B錯誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C錯誤；選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D正確.故選：AD.11．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再逐項分析求解.【詳解】依題意，拋物線C的準(zhǔn)線為，因為為C上一點(diǎn)，且，則，解得，故A正確；可得拋物線C:，焦點(diǎn)為，因為A為C上一點(diǎn)，則4，所以，故B錯誤；若，則線的方程為，代入，得，整理得，解得或，因為B與A分別在x軸的兩側(cè)，可得；同理：若，可得；綜上所述：或，故C錯誤；若，則，則；同理：若，可得；故D正確；故選：AD.12．已知是數(shù)列的前項和，，，，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式依次求得數(shù)列的前項，加和即可知A正確；將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，由等比數(shù)列定義可得B正確；利用累加法可求得C錯誤；采用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得D正確.【詳解】對于A，，，，，，，，A正確；對于B，由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；對于C，由B知：，當(dāng)時，，又滿足，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則__________．【答案】35【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合前n項和公式求解作答.【詳解】因為是等差數(shù)列，，所以．故答案為：3514．若圓與圓外切，則________．【答案】【分析】由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切可得，代入運(yùn)算求解．【詳解】由題意可得：圓的圓心分別為，半徑分別是，因為圓外切，所以，則，解得．故答案為：.15．在中國空間站某項建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內(nèi)同時進(jìn)行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有___________種.【答案】450【分析】安排方案可以分為兩類，第一類，每個艙各安排2人，第二類，分別安排3人，2人，1人，結(jié)合分堆分配問題解決方法求解即可.【詳解】滿足條件的安排方案可以分為兩類，第一類，每個艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：一個實驗艙安排3人，一個實驗艙2人，一個實驗艙1人，共有（種）不同的方案.所以共有不同的安排方案.故答案為：450.16．設(shè)函數(shù)在區(qū)間[上有零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)所構(gòu)造的新函數(shù)的值域求解.【詳解】令，則，函數(shù)在區(qū)間[，3]上有零點(diǎn)等價于直線與曲線在上有交點(diǎn)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，顯然，，即當(dāng)時，函數(shù)在上有零點(diǎn)；故答案為：.四、解答題17．已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為.(1)求；(2)求展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)；(2).【分析】（1）寫出前三項二項式系數(shù)，根據(jù)和為，列方程求出的值；（2）利用通項，并令的指數(shù)為0，求出常數(shù)項．【詳解】（1）因為的展開式中前三項的二項式系數(shù)分別是，，，所以，即，解得或（2）的展開式中通項為，由時，可得，即第7項為常數(shù)項，所以展開式中的常數(shù)項為.18．已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式，運(yùn)用條件列方程求出；（2）運(yùn)用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{}的公差為，由，得，解得，；（2），；綜上，.19．已知函數(shù)的兩個極值點(diǎn)滿足.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)(2)最大值為36，最小值為-16【分析】（1）有2個極值點(diǎn)等價于導(dǎo)函數(shù)有2個零點(diǎn)，根據(jù)條件運(yùn)用韋達(dá)定理求解；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性以及閉區(qū)間兩端的函數(shù)值求解.【詳解】（1），令，則有2個零點(diǎn)，顯然，由韋達(dá)定理得，又代入①得：，再代入②得：，，符合題意，；（2），得下表：-1200單調(diào)遞減極小值-16單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減又，

，所以在區(qū)間上的最大值為36，最小值為-16；綜上，，在區(qū)間上的最大值為36，最小值為-16.20．如圖，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明⊥平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量夾角公式求直線與平面夾角.【詳解】（1）因為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面ABCD，又平面，所以平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因為四邊形為矩形，且，所以四邊形為正方形，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量，則有，即，令，則，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角正弦值為.21．已知雙曲線的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)離心率、雙曲線關(guān)系和雙曲線所過點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到雙曲線方程；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算中，整理可求得，由此可得直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）雙曲線的離心率，，則，又為上一點(diǎn)，，解得：，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，，由得：，，則；，，，整理可得：，又，，則，直線恒過定點(diǎn).22．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）對求導(dǎo)后，問題轉(zhuǎn)化為在[1,4