2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則的等差中項為（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】利用等差中項的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)的等差中項為，所以，因為，，所以，故選：A2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】由已知得，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：B．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（

）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．增加了，但減少了【答案】C【分析】列出和的情況，比較得到答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故增加了，但減少了.故選：.4．如圖為函數(shù)（其定義域為）的圖象，若的導(dǎo)函數(shù)為，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的圖象，分析的函數(shù)值的正、負(fù)情況，即可判斷.【詳解】解：由圖象知在上先減后增，故在上函數(shù)值先負(fù)后正，同理在上的符號是先負(fù)后正，四個選項中僅有選項A符合.故選：A.5．在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列，，，可以求出，且，，，從而判斷出，，的正負(fù)，選出正確答案.【詳解】設(shè)公差為，因為，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，故選：B6．等差數(shù)列的前項和分別為，且，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式即得.【詳解】∵，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式可得，.故選：B.7．著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，且，則的值是（

）A．8 B．2 C．-4 D．-6【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，則，故，所以數(shù)列是以首項，公差為的等數(shù)列，可得.故選：D.8．已知各項為正的數(shù)列的前項和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由結(jié)合求出，從而求得，由此求出的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】各項為正的數(shù)列，，時，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為2．故選：D．二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選：ACD10．已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】AC【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得，由此判斷ABD選項的正確性，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷C選項的正確性.【詳解】，即，則，，，所以A正確；顯然有，所以B不正確；亦有，所以D不正確；又，相除得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故C正確.故選：AC11．下列命題正確的有（

）A．若等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項的和最大D．若，則數(shù)列的前2020項和為4040【答案】BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式判斷；D.利用數(shù)列并項求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯誤；B.為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；C.因為，則，，則，所以，，所以數(shù)列前項的和最大，故正確；D.因為，所以數(shù)列的前2020項和為：，，故正確.故選：BCD12．1979年,李政道博士給中國科技大學(xué)少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺,準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來,吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.下列說法正確的是(

)A．若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則B．若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則為等比數(shù)列C．若最初有個桃子,則第只猴子分得個桃子(不含吃的)D．若最初有個桃子,則必有的倍數(shù)【答案】ABD【分析】設(shè)最初有個桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為，則,若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則,根據(jù)與關(guān)系即可判斷A的正誤;由A構(gòu)造等比數(shù)列即可判斷B的正誤;根據(jù)B求出數(shù)列的通項公式,將代入求解即可判斷C;根據(jù)題意,,又為等比數(shù)列,判斷D的正誤.【詳解】設(shè)最初有個桃子,猴子每次分剩下的桃子依次為,則,若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則,所以,即,故A正確;由A，,則,即是等比數(shù)列,若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則,所以是以為公比的等比數(shù)列,故B正確.由B知,是等比數(shù)列,所以,即,若最初有個桃子,即,所以,故C錯誤;根據(jù)題意:,因為以為公比的等比數(shù)列,所以,化簡得,因為,且為正整數(shù),所以,即必有的倍數(shù),故D正確.故選:ABD.三、填空題13．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為2，則________.【答案】4【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算即可得解.【詳解】,,故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與化歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．曲線，在點(diǎn)處的切線的傾斜角為____________.【答案】/【分析】對所給曲線求導(dǎo)代入，得到在處的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到斜率，得傾斜角的正切值，得答案.【詳解】對求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)處的切線的斜率為，即，所以.故答案為：.15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.【答案】【分析】求導(dǎo)數(shù)，解不等式即可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，令，則，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.16．為不超過的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)的值域中所有元素的個數(shù).若數(shù)列的前項和為，則___________.【答案】【分析】通過規(guī)律找出，再裂項相消求和即可.【詳解】因為時，，，即；時，，，即；時，，，即；時，，，即；…以此類推，，故，故.故答案為：四、解答題17．求下列已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可逐一求解.【詳解】（1）（2）（3）（4）18．在正項等比數(shù)列中，，且，的等差中項為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出公比，根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）分組，利用等差等比的求和公式求和.【詳解】解（1）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得．?dāng)?shù)列的通項公式為；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查等差，等比數(shù)列求和公式，是基礎(chǔ)題.19．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意求出,再由即可寫出的通項公式；(2)根據(jù)的通項公式，找到其正負(fù)臨界的值，去掉絕對值符號再求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為，則，所以當(dāng)時，又也符合上式，故數(shù)列的通項公式為.（2）當(dāng)時，，數(shù)列的前n項和；當(dāng)時，，數(shù)列的前n項和，.綜上所述：20．在數(shù)列中，，且對任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前項積為，求和.【答案】(1)證明見解析，(2)，【分析】（1）由條件變形化簡，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）得，計算乘積即可.【詳解】（1）由題意可得：，是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（2）由上可得：，同理.21．小明同學(xué)高一的時候跟著老師研究了函數(shù)當(dāng)時的圖像特點(diǎn)與基本性質(zhì)，得知這類函數(shù)有“雙鉤函數(shù)”的形象稱呼．后來，他獨(dú)自研究了函數(shù)當(dāng)時的圖像特點(diǎn)與基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)在軸兩邊“同升同降”，且可以“上天入地”，他高興地把這類函數(shù)取名為“雙升雙降函數(shù)”．現(xiàn)在小明已經(jīng)上高二了，目前學(xué)習(xí)了一些導(dǎo)數(shù)知識，前些天，他研究了如下兩個函數(shù)（函數(shù)恒有意義）：和，得出了不少的“研究成果”，并且據(jù)此他給出了以下三個問題，請你解答：(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為．求證：不論怎樣變化，點(diǎn)總在一個“雙升雙降函數(shù)”的圖像上；(3)當(dāng)時，若存在斜率為1的直線與曲線和都相切，求的最小值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)大于0解得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先把，代入的方程，然后求出在點(diǎn)處的切線方程，再把點(diǎn)代入切線方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即可證明結(jié)論；（3）先根據(jù)斜率為分別求出直線與曲線和的切點(diǎn)，再把的坐標(biāo)代入直線的斜率公式,從而得到的關(guān)系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值.【詳解】（1），當(dāng)時，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，設(shè)，切線方程為，代入，得，即又因為，則，即于是可得，即點(diǎn)在“雙升雙降函數(shù)”的圖像上.（3）當(dāng)時，，，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，則，所以，則，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，則，所以，點(diǎn)，所以直線的斜率，所以，由于，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以當(dāng)時，的最小值為.22．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若