2022-2023學(xué)年河南省鄭州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如果直線平面，直線平面，且，則與的位置關(guān)系為（）A．共面 B．平行 C．異面 D．平行或異面【答案】D【分析】根據(jù)空間中面面、線面、線線的位置關(guān)系直接判斷即可．【詳解】因?yàn)橹本€平面，直線平面，且，所以直線與的位置關(guān)系為：平行或異面，故選：D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法計(jì)算出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得出，最后確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面的位置即可．【詳解】由，得，所以，則其在復(fù)平面內(nèi)其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．故選：A．3．已知，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義求向量在向量上的投影向量即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C4．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可..【詳解】設(shè)底面棱長(zhǎng)為，正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則側(cè)面為等邊三角形，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.故選：D5．如圖，矩形是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（）A．面積為的菱形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的矩形【答案】A【分析】由直觀圖與原圖形面積關(guān)系求面積，由直觀圖得出原圖形，證明四邊形為菱形即可得解.【詳解】因?yàn)橹庇^圖中四邊形為矩形，所以，所以原圖形中四邊形面積，由直觀圖，還原原圖形，如圖，由，可得，所以，又，所以,又，所以四邊形為菱形.故選：A6．在中，角，B，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，為使此三角形有兩個(gè)，則滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】為使此三角形有兩個(gè)，只需滿足bsinA＜a＜b，即可求a范圍．【詳解】為使此三角形有兩個(gè)，即bsinA＜a＜b，∴2×＜a＜2，解得：3＜a＜2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的情況，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．7．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求出矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，即截面圓的直徑，根據(jù)棱錐的體積計(jì)算出球心距，進(jìn)而求出球的半徑，代入球的表面積公式，可得答案．【詳解】由題可知矩形所在截面圓的半徑即為的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，，，，由矩形的面積，則到平面的距離為滿足：，解得，故球的半徑，故球的表面積為：，故選：A．8．圓的直徑弦，點(diǎn)在弦上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，得到，再由圓的性質(zhì)，得到的最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，，為使最小，只需，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)為中點(diǎn)時(shí)，又，因此，所以的最小值為.故選：D.二、多選題9．已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】ABC【分析】對(duì)于A：結(jié)合大角對(duì)大邊及正弦定理即可求解；對(duì)于B：由向量夾角公式即可判斷；對(duì)于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對(duì)于A：由大角對(duì)大邊及正弦定理可知：，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得A,C,D的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念可知B的正誤.【詳解】因?yàn)?，A正確；復(fù)數(shù)的虛部為，B不正確；若，則，，C不正確；設(shè)，所以，，D正確.故選：AD.11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．a(chǎn)>c C．c>a D．【答案】ACD【分析】利用正弦邊角關(guān)系可得，結(jié)合余弦定理及銳角三角形知、判斷A、B、C正誤；再由正弦邊角關(guān)系得，應(yīng)用倍角公式得，注意，即可得范圍判斷D正誤.【詳解】由正弦邊角關(guān)系知：，則，所以，而，則，A正確；由上知：，即，B錯(cuò)誤，C正確；由知：，則，又，故，則，即，D正確.故選：ACD12．已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，（其中）.（

）A．當(dāng)時(shí)，直線過(guò)邊的中點(diǎn)；B．若，且，則；C．若時(shí)，與的面積之比為；D．若，且，則滿足.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量數(shù)乘的含義可判斷A;對(duì)于B，由條件可判斷為等邊三角形，利用數(shù)量積的定義即可求得的值；對(duì)于C，利用作圖，結(jié)合向量加減法的幾何意義，可判斷與的面積之比；對(duì)于D,由得，，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可推得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則當(dāng)時(shí)，有,即得O,C,D三點(diǎn)共線，故直線過(guò)邊的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由于且時(shí)，，故O為的外心和重心，故為等邊三角形，則,由可得，故，故B正確；對(duì)于C，延長(zhǎng)OA至,使,延長(zhǎng)OB至,使,連接,設(shè)其中點(diǎn)為E,連接OE并延長(zhǎng)至，使,連接,則四邊形是平行四邊形，所以，而時(shí)，，故,即三點(diǎn)共線，且，根據(jù)同底等高三角形面積相等，則,即與的面積之比為,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，由得，，所?即，故D正確，故選：ABD三、填空題13．已知向量，，若，則_____．【答案】【分析】首先根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程，求出的值，即可得到、的坐標(biāo)，再求出，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)椋裕獾?，則，，所以，所以，故答案為：．14．設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件，那么的最大值為_(kāi)____．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.15．已知與是單位向量，．若向量滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】通過(guò)、及可求得；根據(jù)且可求得，從而可構(gòu)造出關(guān)于和的等式，利用可求得的取值范圍.【詳解】，是單位向量，，，，又，，且

，又，即，所以，即，解得.故答案為；16．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開(kāi)式和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理?故答案為：.四、解答題17．已知向量，．（1）設(shè)向量與的夾角為，求；（2）若向量與向量垂直，求實(shí)數(shù)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示即可求，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解；（2）利用向量垂直得，展開(kāi)即可求解.【詳解】（1），所以（2）若向量與向量垂直，則，即，，，，所以，即，解得：.18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.(1)求角的大?。?2)已知，的面積為，求邊長(zhǎng)的值.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理將邊角互化，化簡(jiǎn)可求出角的大?。唬?）根據(jù)三角形面積公式及余弦定理即得．【詳解】（1）在中，由正弦定理得：因?yàn)?，所以，從而，又，所以，又，所以；?）在中，，得，由余弦定理得：．所以．19．在中，點(diǎn)分別在邊和邊上，且，，交于點(diǎn)，設(shè)，．(1)試用，表示；(2)在邊上有點(diǎn)，使得，求證：三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的線性運(yùn)算及共線向量基本定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)，由題意，所以，①，設(shè)，由，，②，由①、②得，，所以，解得，所以；（2）由，得，所以，所以，因?yàn)榕c有公共點(diǎn)B，所以B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線．20．如圖,已知四棱錐的底面為直角梯形,底面,且是的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若是的中點(diǎn),求證:【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：(1)利用垂直，構(gòu)造等腰三角形，證明結(jié)論成立；(2)通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，證明∥，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，證明得到直線與平面平行.試題解析：(1)設(shè)為的中點(diǎn)，則可得平面且所以.(2)∥,為中點(diǎn)，所以∥，∥，且=，=所以為平行四邊形，從而∥平面，平面故∥平面.點(diǎn)睛：一是推證線面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)．二是推證面面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面．三是利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)明經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行．21．已知向量，，函數(shù)．Ⅰ求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；Ⅱ在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（Ⅱ）．【分析】Ⅰ根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出函數(shù)的解析式，結(jié)合周期公式以及單調(diào)性進(jìn)行求解即可；Ⅱ根據(jù)條件求出C的值，結(jié)合余弦定理以及基本不等式，以及三角形的公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：Ⅰ，，，函數(shù)的周期，由，，即，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．Ⅱ，，，即，得，，，當(dāng)時(shí)，，由余弦定理得，，，即，則三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即三角形的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用向量數(shù)量積的定義以及輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，還考查余弦定理，求面積公式等，屬中檔題．22．在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)，H，Q分別為AC，，的中點(diǎn)，連EF，EG，F(xiàn)G，DQ，CQ，．（I）求證：平面平面ACQ（II）問(wèn)在線段CD上是否存在一點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出P點(diǎn)的位置若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）當(dāng)時(shí)，滿足條件，證明見(jiàn)解析.【分析】(1)連接可證平面ACQ，平面ACQ,從而可證.(2)當(dāng)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,取線段的中點(diǎn)，連接,可證四邊形為平行四邊形，從而可證，從而得出答案.【詳解】連接,由E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)所以,由,所以,又平面ACQ,平面ACQ所以平面ACQ又,所以,又