系統(tǒng)穩(wěn)定性及其判定(羅斯陣列)

#/76-6系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定所有工程實(shí)際系統(tǒng)的工作都應(yīng)該具有穩(wěn)定性，所以對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究十分重要。本節(jié)將介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義及其判定方法。一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義DDDDDDDDf(t)DDDDDDDDDDDDDDDD荏口yDDDDDDDDD)DDDDDDDDDDDDDDDD定性研究不同問(wèn)題時(shí)，“穩(wěn)定”的定義不盡相同。這里的定義是“有界輸入、有界輸出”意定性研究不同問(wèn)題時(shí)，義下的穩(wěn)定。，否則即為不穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。h(t)可以證明，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要與充分條件，在時(shí)域中是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積，即6-36)f(t)為有界，即證明設(shè)激勵(lì)ODD叫f(t)為有界，即證明設(shè)激勵(lì)ODD叫DDDDDDDDDDDDyfH=fW*hW=jm故有-37)由此式看出，若滿(mǎn)足DDDDD力卜)□□□□□□□□叫□□□□□□□□□由式(6-36)還可看出，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要條件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都說(shuō)明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)本身的特性，DDDDD力卜)□□□□□□□□叫□□□□□□□□□由式(6-36)還可看出，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要條件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都說(shuō)明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)本身的特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的激勵(lì)和初始狀態(tài)均無(wú)關(guān)。(6-36)和式(6-38)可寫(xiě)為若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則式6-39)limh(t)=0(6-40)二、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以在時(shí)域中進(jìn)行，也可以在s域中進(jìn)行。在時(shí)域中就是按式(6-36)ss域中判斷。和式(6-38)判斷，已如上所述。下面研究如何從1.從H(s)的極點(diǎn)［即

D(s)=0的根口分布來(lái)判定若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)均位于s平面的左半開(kāi)平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。s平面的左半開(kāi)平面，口系若s平面的左半開(kāi)平面，口系若H(s)的極點(diǎn)中至少有一個(gè)極點(diǎn)位于s平面的右半開(kāi)平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；口若H(s)在j3軸上有單階極點(diǎn)分布，而其余的極點(diǎn)都位于統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。在j3軸上有重階極點(diǎn)分布，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。2.用羅斯準(zhǔn)則判定用上述方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，必須先要求出H(s)的極點(diǎn)值。但當(dāng)用上述方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，必須先要求出H(s)的極點(diǎn)值。但當(dāng)H(s)分母多項(xiàng)式D(s)的冪次較高時(shí)D(s)的冪次較高時(shí)，此時(shí)要具體求得H(s)的極點(diǎn)就困難了。所以必須尋求另外的方法。其實(shí)，在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，并不要求知道H(s)極點(diǎn)的具體數(shù)值，而是只需要知道實(shí)，在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，并不要求知道H(s)極點(diǎn)的具體數(shù)值，而是只需要知道H(s)極點(diǎn)的分布區(qū)域就可以了。利用羅斯準(zhǔn)則即可解決此問(wèn)題。羅斯判定準(zhǔn)則的內(nèi)容如下：項(xiàng)也不缺)。這是系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件。(即項(xiàng)也不缺)。這是系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件。(即s的冪從n到0,一多項(xiàng)式D(s)的各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)；多項(xiàng)式中無(wú)缺項(xiàng)若多項(xiàng)式D(s)各項(xiàng)的系數(shù)均為正實(shí)常數(shù)，則對(duì)于二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的；但若系統(tǒng)的若多項(xiàng)式階數(shù)n口2時(shí)，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還須排出如下的羅斯陣列。階數(shù)第口十1行D⑸二%產(chǎn)+%產(chǎn)二n(共有■n+1第口十1行D⑸二%產(chǎn)+%產(chǎn)二n(共有■n+1行)：■ %■ "ivL^n-2 %-4產(chǎn)-士：圖］^n-3,n-S<■ Cn-1Cn-3Cn-5則羅斯陣列的排列規(guī)則如下3行及以后各行的元素按以下各式計(jì)算：陣列中第1、第2行各元素的意義不言而喻，第如法炮制地依次排列下去，共有如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中將只留有一個(gè)不等于零的數(shù)字。若所排出的數(shù)字陣列中第一列的(n+1)個(gè)數(shù)字全部是正號(hào)，則H(s)的極點(diǎn)即全部位于平面的左半開(kāi)平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；若第一列(n+1)個(gè)數(shù)字的符號(hào)不完全相同，則符號(hào)改變的次數(shù)即等于在s平面右半開(kāi)平面上出現(xiàn)的H(s)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因而系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。在排列羅斯陣列時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)如下的兩種特殊情況：￡(認(rèn)為￡是正或(2)DDDDDDDDDDDDDDD(s)=ODDDDDDDDDD出現(xiàn)此種情況。此時(shí)可利用前一行的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)輔助的s￡(認(rèn)為￡是正或(2)DDDDDDDDDDDDDDD(s)=ODDDDDDDDDD出現(xiàn)此種情況。此時(shí)可利用前一行的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)輔助的s多項(xiàng)式P(s),然后將P(s)對(duì)s求導(dǎo)一次，再用該導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成新的一行，來(lái)代替全為零元素的行即可；而輔助多項(xiàng)式P(s)=0的根就是H(s)極點(diǎn)的一部分。(1)陣列的第一列中出現(xiàn)數(shù)字為零的元素。此時(shí)可用一個(gè)無(wú)窮小量負(fù)均可)來(lái)代替該零元素，這不影響所得結(jié)論的正確性。例6-22解：因故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：可見(jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)無(wú)變化，故該H(s)所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即H(s)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半開(kāi)平面上。DD聯(lián))=6-23DDs5+2s3+s+2例6-22解：因故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：可見(jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)無(wú)變化，故該H(s)所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即H(s)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半開(kāi)平面上。DD聯(lián))=6-23DDs5+2s3+s+2s4+2s3+8s3+20s-blDDDDDDDDDDDD田=￡4+2八包口+浜+1DDDDDDDDDDDDDDDDDDD滿(mǎn)足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：4lx20-2x8a20lx0-2xl_122xl-(-2)x20_ =二1-222x0-(-2)x0_ =U-2—2x0—1x21] -2芯0-21月0口02121已知H(s)的分母 D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？梢?jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)有兩次變化，即從+2變?yōu)?2，又從-2變?yōu)?21。故可見(jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)有兩次變化，即從+2變?yōu)?2，又從-2變?yōu)?21。故H(s)的極點(diǎn)中有兩個(gè)極點(diǎn)位于s平面的右半開(kāi)平面上，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。=-——J十，十：十1 D6-24DD * +2s+4s+lls+10DDDDDDDDDDD解：因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)且無(wú)缺項(xiàng)，足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：T—?oT—?o1-1ODD3DDDDDDDD12ODD3DDDDDDDD12ODDDDD4DDDDDDD °DD(-D)DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDSDDDD3DDDDDDD三，翼昌…口□口DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDSDDDD3DDDDDDD三，翼昌…口□口DDDDDDOD陣列第一列數(shù)字符號(hào)改變的次數(shù)將與￡無(wú)關(guān)。按此種處理方法，繼續(xù)完成上面的陣列：s5s5 1 2 11? 2 4 10s3 e 6 0s2 -- 10 0s1s1600s°1000DDDDDDDDDDDDDDDDDDD_12 _12口口營(yíng)口口DDDDDDDDDDDDDDDDDDD_12 _12口口營(yíng)口口E，口口￡口口6DDH(s)的極點(diǎn)中有兩個(gè)極點(diǎn)位于s的極點(diǎn)中有兩個(gè)極點(diǎn)位于s平面的右半開(kāi)平面上，口系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。H(s)=―干+干+勺——D6-25DD s十丸+4s+6s+4DDDDDDDDDDDDfsKs4+3s5+4s2+6s+4DDD<J DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：

TOC\o"1-5"\h\z54 1 4 4G3 3 6 0s2 2 4 0s1 0 0 0以前一行的元素值構(gòu)建一個(gè) s的多項(xiàng)可見(jiàn)第4行全為零元素。處理此種情況的方法之一是：式以前一行的元素值構(gòu)建一個(gè) s的多項(xiàng)P(s)=2s2+4將式(6-41)對(duì)s求一階導(dǎo)數(shù)，即DDDDDDDDDDDDDDDDDDD即DDDDDDDDDDDDDDDDDDD即(sD)DDDDDDDDDDDDDDDDDDTOC\o"1-5"\h\zs4 1 4 4s3 3 6 0s2 2 4 0s1 Q 0 0s° 4 0 0可見(jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)沒(méi)有變化，故H(s)在s平面的右半開(kāi)平面上無(wú)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)肯定不是不穩(wěn)定的。但到底是穩(wěn)定的還是臨界穩(wěn)定的，則還須進(jìn)行下面的分析工作。DDDDDDDDDDDD可見(jiàn)陣列中的第一列數(shù)字符號(hào)沒(méi)有變化，故H(s)在s平面的右半開(kāi)平面上無(wú)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)肯定不是不穩(wěn)定的。但到底是穩(wěn)定的還是臨界穩(wěn)定的，則還須進(jìn)行下面的分析工作。DDDDDDDDDDDDP廣偵工二-曲P1DDDDDDDDDDDDD實(shí)際上，若將 D(s)分解因式，即為s++3s5+4s2+6s+4=(2s3+4)(s+1)(s+2)=2卜+j7^￡—」居值+l)(s+2)口H(s)DD,DDDD 眩二卜叵「廣一卜尼，【小口口□與二「七二一？口皿s平面的左半開(kāi)平面。故該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例6-26圖6-38所示系統(tǒng)。試分析反饋系數(shù)K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖6-38解：網(wǎng)=溪廣砥號(hào)風(fēng)&T幽卜修島麋MF葉占島螞一初*IM解之得lQ（s+l）s3+S2+W（K+1）s+10DDDDDDDDDDDDDD（s）=s3+s3+10（K+1）s+10ddddddddddddDDDDDDDDDDDDD實(shí)常數(shù)，故應(yīng)有 位-1。但此條