第五章積分的定義與性質(zhì)

第五章定積分一定積分的概念與性質(zhì)

1.定積分的定義2.牛頓萊—布尼茲公式

3.原函數(shù)存在定理

4.定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算

1.換元積分

2.分部積分

3.廣義積分

4.定積分的導(dǎo)數(shù)公式三定積分的應(yīng)用

1.平面圖形的面積

2.旋轉(zhuǎn)體的體積一定積分的概念與性質(zhì)1.定積分的定義

（1）定積分的實(shí)際背景1.曲邊梯形的面積曲邊梯形:若圖形的三條邊是直線段，其中有兩條垂直于第三條底邊，而其第四條邊是曲線，這樣的圖形稱為曲邊梯形，如左下圖所示.

曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長(zhǎng)條，把每個(gè)長(zhǎng)條近似看作一個(gè)矩形，用長(zhǎng)乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細(xì)，誤差越小，于是當(dāng)所有的長(zhǎng)條寬度趨于零時(shí)，這個(gè)階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示：曲邊梯形的面積≈所有窄條矩形面積之和矩形估計(jì)方法a.分割:在區(qū)間中任意插入個(gè)分點(diǎn)

將大曲邊梯形分割成n

個(gè)窄條曲邊梯形則對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形的面積設(shè)在上連續(xù),且

.b.取近似:c.作和:

d.求極限:記,則（2）.定積分的定義

定義設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點(diǎn)記分區(qū)間為n

個(gè)小區(qū)間再在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式：積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量

若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：（3）.定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和2.牛頓萊—布尼茲公式牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題.例

計(jì)算下列定積分解：3.原函數(shù)存在定理簡(jiǎn)單性質(zhì):注意:

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小.4.定積分的性質(zhì)（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1性質(zhì)2

例1下列各式不正確的是（）.(A)(C)(D)(B)Do注意：不論

的相對(duì)位置如何,上式總成立.性質(zhì)3(定積分的區(qū)間可加性)o性質(zhì)4推論解令于是由性質(zhì)4的推論（此性質(zhì)說明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最值，可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)5(估值定理)例3估計(jì)積分值:解性質(zhì)6（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公