第16講橢圓中焦點(diǎn)三角形面積和中點(diǎn)弦問題（解析版）

第16講橢圓中焦點(diǎn)三角形面積和中點(diǎn)弦問題【知識點(diǎn)梳理】1.橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對應(yīng)的張角）證明：設(shè)．2．中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）直徑問題：若過原點(diǎn)，則為橢圓直徑，為橢圓上異于任意一點(diǎn)，（橢圓）；[焦點(diǎn)在軸上時(shí)]中點(diǎn)弦問題：若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，；[焦點(diǎn)在x軸上時(shí)]下述證明均選擇焦點(diǎn)在軸上的橢圓來證明，其他情況形式類似．直徑問題證明：設(shè)，，因?yàn)檫^原點(diǎn)，由對稱性可知，點(diǎn)，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以有．兩式相減得，所以．中點(diǎn)弦問題證明：設(shè)，，則橢圓兩式相減得．【典型例題】題型一：【例1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，且四邊形的面積為（c是橢圓C的半焦距），則橢圓C的離心率是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由橢圓的對稱性和，易知四邊形為矩形，設(shè)，，利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理和矩形的面積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】由橢圓的對稱性可知四邊形是平行四邊形．因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形．設(shè)，，則整理得，所以，解得，故橢圓C的離心率為．故選：B.【例2】（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．【答案】【解析】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.【題型專練】1.為橢圓上的一點(diǎn)，和是其焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為.【答案】【詳解】由題知.2.設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式求解即可.【詳解】由題知.設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為則.故選：B3.（多選題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)（異于橢圓的左、右頂點(diǎn)），，的面積為，則（

）A．的最大值為B．不可能為C．當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為D．【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的范圍和三角形的面積公式判定選項(xiàng)A正確，利用為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)的特殊情況判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤，利用通徑長判定選項(xiàng)C正確，利用焦點(diǎn)三角形和余弦定理判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A：設(shè)，，則，，，即選項(xiàng)A正確；對于B：若存在，只需當(dāng)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，，只需，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C：由，可知，此時(shí)，則，即，解得，即選項(xiàng)C正確；對于D：設(shè)，，由余弦定理可得，則有，所以，則，即選項(xiàng)D正確．故選：ACD．題型一：中點(diǎn)弦問題【例1】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），則G的方程為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則=2，=－2，，①，②①－②得，所以===，又==，所以=，又9==，解得=9，=18，所以橢圓方程為，故選D【例2】已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，．點(diǎn)為上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且，，，四條直線的斜率之積大于，則的離心率可以是A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，結(jié)合題意即可求解.【詳解】設(shè)，依題意可得，則，，又，所以，，從而.故選：AC.【例3】（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．【答案】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：【例4】（2022·江蘇·高二）若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分，則AB所在的直線方程為______．【答案】【分析】設(shè)和點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用“點(diǎn)差法”即可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可求得直線方程.【詳解】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為為的中點(diǎn)，；兩點(diǎn)在橢圓上，則兩式相減得；則；；故所求直線的方程為，即；故答案為：【例5】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意，橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，設(shè)，則，又由，可得，因?yàn)?，即，可得，所以直線斜率的取值范圍.故選：B【例6】（2022·全國甲（理）T10）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.【題型專練】1.（2021·福建寧德市·高二期末）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，直線與交于、兩點(diǎn)，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則的面積為B．四邊形可能為矩形C．直線的斜率為D．若與、兩點(diǎn)不重合，則直線和斜率之積為【答案】BC【分析】利用余弦定理、橢圓的定義以及三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)四邊形可能為矩形求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用斜率公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】在橢圓中，，，，設(shè)點(diǎn)、，則，如下圖所示：對于A選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由于直線與橢圓都關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)、也關(guān)于原點(diǎn)對稱，又、關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，四邊形為平行四邊形，若四邊形為矩形，則，而，，，解得，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，可知點(diǎn)，則，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，由于點(diǎn)、在橢圓上，則，上述兩個(gè)等式相減得，可得，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.2.已知、是橢圓：()長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若的最小值為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，設(shè)，則，所以，所以，故選D．3.橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的最大值為__________．【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義：，因?yàn)椋?，O是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，離心率的最大值為，故答案為．4.若、為橢圓：()長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且，則橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】設(shè)、，因?yàn)椋?，所以，所以，所以．故答案為【名師點(diǎn)睛】求橢圓離心率的關(guān)鍵是得到關(guān)于的等量關(guān)系式，根據(jù)以及斜率公式可得到所要的等量關(guān)系式．5.（2022·四川南充·高二期末（文））過橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c，設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A6．（2022·新疆·三模（文））已知橢圓C：），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l與直線OM的斜率乘積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)差法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式可得到，再利用橢圓的離心率公式進(jìn)行求解；（2）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行求解.(1)解：設(shè)，，，則，所以，所以，即，即，即，則離心率；(2)解：若橢圓C過點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，即，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.7．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2