《數(shù)學(xué)歸納法》人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2課件(第23課時(shí))

講解人：XXX時(shí)間：2020.6.1PEOPLE'SEDUCATIONPRESSHIGHSCHOOLMATHEMATICSELECTIVE2-22.3數(shù)學(xué)歸納法第2章推理與證明人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2通過(guò)對(duì)n=1，2，3，4前4項(xiàng)的歸納，我們已經(jīng)猜出其通項(xiàng)公式為課前導(dǎo)入這個(gè)猜想對(duì)前4項(xiàng)成立，但是，能肯定它對(duì)后續(xù)的項(xiàng)也成立嗎？這個(gè)猜想需要證明，自然地，我們會(huì)想到從n=5開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證.這個(gè)方法可行嗎?課前導(dǎo)入我們來(lái)分析此方法：一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n比較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩.特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的.因此，從n=5開(kāi)始逐個(gè)往下驗(yàn)證的想法價(jià)值不大.我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.課前導(dǎo)入大家都聽(tīng)說(shuō)過(guò)多米諾骨牌游戲，這是一種碼放骨牌的游戲，碼放時(shí)保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌也倒下.只要推到第一塊骨牌，由于第一塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第三塊骨牌倒下……最后，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下.新知探究這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？探究思考…動(dòng)動(dòng)腦想一想，自己總結(jié)出倒下的條件.新知探究只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下；你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？新知探究可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下.這樣，只要第一塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下.事實(shí)上，無(wú)論有多少塊骨牌，只要保證(1)(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.新知探究大家現(xiàn)在能證明這個(gè)猜想嗎？這個(gè)猜想和多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？新知探究游戲的條件（1）由條件容易知道，n=1時(shí)猜想成立.游戲的條件（2）下面我們證明此猜想：相當(dāng)于類(lèi)比證明一個(gè)遞推關(guān)系.考慮新知探究繼續(xù)解答……如果n=k時(shí)猜想成立，即

，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即.

新知探究這樣，對(duì)于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立；n=3成立，就有n=4也成立；n=4成立，就有n=5也成立······所以，對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立.繼續(xù)解答……此猜想正確，即新知探究

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；這種證明方法就叫做

數(shù)學(xué)歸納法.歸納奠基歸納遞推新知探究2.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.用框圖來(lái)表示此證明方法:驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立.當(dāng)n=k(k≥n0)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立.歸納奠基歸納遞推命題對(duì)從n0開(kāi)始所有的正整數(shù)n都成立.新知探究用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng):“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可，其中第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的根據(jù).具體說(shuō)明如下：(1)第一步——?dú)w納奠基必須有第一步，如果沒(méi)有第一步，證明不可靠；新知探究用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，第一步從n等于幾開(kāi)始，要根據(jù)具體問(wèn)題而定.如果要證明的命題是對(duì)不小于的全體正整數(shù)都成立，則要從n=證起；如果要證明的命題是對(duì)全體正整數(shù)都成立的，則要從n=1證起；一般來(lái)說(shuō)如果要證明的命題是對(duì)全體自然數(shù)(包括0)都成立的，則要從n=0證起.新知探究(2)第二步——?dú)w納遞推新知探究“假設(shè)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”,其本質(zhì)是證明一個(gè)遞推關(guān)系，歸納遞推的作用是從前往后傳遞，有了這種向后傳遞的關(guān)系，就能從一個(gè)起點(diǎn)（例如n=1）不斷發(fā)展，以至無(wú)窮.如果沒(méi)有它，即使前面驗(yàn)證了命題對(duì)許多正整數(shù)n都成立，也不能保證命題對(duì)后面的所有正整數(shù)都成立.注意用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而第二步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，即以“n=k時(shí)命題成立”為條件，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明“當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立”.不能不使用“n=k時(shí)命題成立”這個(gè)條件，而直接將n=k+1代入命題，便斷言此時(shí)命題成立因?yàn)檫@樣的“證明”并不推出遞推關(guān)系：n=k時(shí)命題成立n=k+1時(shí)命題也成立.新知探究歸納數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍：數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)n(n取無(wú)限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，但是，并不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有與正整數(shù)n(n取無(wú)限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，一般說(shuō)，從n=k時(shí)的情形過(guò)渡到n=k+1時(shí)的情形，如果問(wèn)題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.新知探究用數(shù)學(xué)歸納法證明提示新知探究證明的關(guān)鍵是，如何從n=k時(shí)的情形過(guò)渡到n=k+1時(shí)的情形，即：要證明n=k+1時(shí)等式成立，應(yīng)如何利用n=k時(shí)等式成立這個(gè)假設(shè).新知探究新知探究

根據(jù)（1）和（2）,可知等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.這句是不可缺少的！分析新知探究（1）猜想的表達(dá)是的關(guān)鍵是猜想其分母的表達(dá)式.觀察的分母可以發(fā)現(xiàn)，第一項(xiàng)為4后面的每一項(xiàng)比前一項(xiàng)增加3，于是，我們猜想：的分母是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列.寫(xiě)出這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后，就容易猜想出的表達(dá)式.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意從n=k時(shí)的情形到n=k+1時(shí)的情形是怎樣過(guò)渡的，即要證明n=k+1時(shí)等式成立，應(yīng)如何利用n=k時(shí)等式成立這個(gè)假設(shè).解：可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1,于是可以猜想新知探究下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.新知探究根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.已知m，n為正整數(shù).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1,2…，n；課堂練習(xí)（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（?。┊?dāng)m=1,原不等式成立；當(dāng)m=2時(shí)，左邊，右邊=1+2x，因?yàn)樗宰筮叀萦疫叄坏仁匠闪?；解：（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，不等式成立，即當(dāng)m=k+1時(shí)，于是在不等式兩邊同時(shí)乘以1+x得所以即m=k+1時(shí)，不等式也成立.

綜合（?。áⅲ┲?，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立．課堂練習(xí)（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，由（Ⅰ）得于是課堂練習(xí)某個(gè)命題當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)成立，可證得當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A.n=6時(shí)該命題不成立B.n=6時(shí)該命題成立C.n=4時(shí)該命題不成立D.n=4時(shí)該命題成立C課堂練習(xí)1.數(shù)學(xué)歸納法的概念：

證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；課堂小結(jié)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.2.數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟間的關(guān)系:

“第一步——?dú)w納奠基和第二步——?dú)w納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可，其中第一步是命題遞