第六講微分方程模型

第六講微分方程模型第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

§3.1

小船行走路線問題

§3.2

單種群模型與人口問題

§3.3交通管理中的黃燈問題

附：

數(shù)學(xué)建模常用軟件簡(jiǎn)介第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一0圖3.1.1§3.1小船行走路線問題一小船從河邊某點(diǎn)駛向?qū)Π洞a頭,若考慮水的流速影響,船行走的路線如何?如圖3.1.1建立坐標(biāo)系

問題(1)水流方向?yàn)閥軸正向，速度大小為a;

模型假設(shè)(2)船在A處,輪船勻速行駛,速度為b,為了到達(dá)碼頭,總是朝向碼頭O前進(jìn)；(3)船行走的路線為(4)河寬為l米.第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一在曲線y=y(x)上任取一點(diǎn)P(x,y),因?yàn)樗鞣较驗(yàn)閥軸正向，大小為a,所以水流速度向量0圖3.1.1劃船方向指向原點(diǎn)O(0,0)，大小為b.

模型建立劃船速度向量；水流速度向量；船行速度向量第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一所以劃船速度向量

因此船行速度向量

0圖3.1.1第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一(1)由船行速度向量的方向?yàn)榇新肪€的切線方向，所以有或0圖3.1.1于是我們的問題是求上述方程滿足條件的解.（2）第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一由，可求出任意常數(shù).方程(1)是齊次方程，由齊次方程解法得

模型求解（*）此外,有（**）(1)第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)x=0時(shí)確有y=0，故小船一定能到達(dá)碼頭.思考：這條路線是最優(yōu)路線嗎？若不是，考慮最優(yōu)路線．應(yīng)以時(shí)間最短為標(biāo)準(zhǔn).最佳路線應(yīng)是O到A的直線.由(*)、(**)可解出第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

動(dòng)植物種群本身是離散變量，談不到可微性，但由于突然增加或減少的只是單一個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體，與全體數(shù)量相比，這種增量是很微小的，所以我們可以近似地假設(shè)大規(guī)模種群隨時(shí)間是連續(xù)地甚至是可微地在變化，進(jìn)而可以引用微分方程這一數(shù)學(xué)工具來(lái)研究.§3.2單種群模型與人口問題模型1Malthus模型這個(gè)模型的基本假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)過程中，人口的凈增長(zhǎng)率為常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口增量與當(dāng)時(shí)的人口總量成正比.英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus,1766—1834)于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型．第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一根據(jù)Malthus的假設(shè),在t到t+△t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為設(shè)時(shí)刻t的人口數(shù)為p(t),t=t0時(shí)的人口數(shù)為p0,人口增長(zhǎng)率為r如何建立Malthus的數(shù)學(xué)模型呢?令△t→0,p(t)滿足方程（3）第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一這個(gè)問題的解為(3)是一個(gè)線性微分方程，稱為Malthus模型.

模型中的參數(shù)p0,r可用所給數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合得到（第六章討論）．

如果r>0，上式表明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)．特別地，當(dāng)t→+∞時(shí),p(t)→+∞

,這似乎不太可能．

另外，此模型雖然與十九世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合．但是當(dāng)人們用十九世紀(jì)以后許多國(guó)家的人口統(tǒng)計(jì)資料與Malthus模型比較時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了很大的差異．附錄列出了美國(guó)十九世紀(jì)、二十世紀(jì)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與這個(gè)模型比較的結(jié)果．第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

用這個(gè)模型預(yù)報(bào)的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)際人口的增長(zhǎng)．引起誤差的原因是10年增長(zhǎng)率估計(jì)過高．

按照附錄中第2列給出的實(shí)際人口可以算出，19世紀(jì)100年和20世紀(jì)前80年的10年增長(zhǎng)率分別為0.266和0.137，遠(yuǎn)小于1790到1800年的增長(zhǎng)率0.307．

這個(gè)事實(shí)對(duì)r是常數(shù)的基本假設(shè)提出了異議.

產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增加的抑制作用越來(lái)越顯著，如果人口較少時(shí)(相對(duì)于資源而言)人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少.許多國(guó)家人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況完全證實(shí)了這一點(diǎn).我們不妨利用附錄第2列給出的數(shù)據(jù)計(jì)算一下美國(guó)人口每10年的增長(zhǎng)率,可以知道大致是逐漸下降的.第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一將增長(zhǎng)率r表示為人口p(t)的函數(shù)r(p),按照前面的分析,r(p)是p的減函數(shù).一個(gè)最簡(jiǎn)單的假定是：設(shè)r(p)是p的線性函數(shù)，即此模型是荷蘭生物學(xué)家Verhulst于十九世紀(jì)中葉提出．模型２Logistic模型修改假設(shè)：

為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況，必須修改Malthus模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè).從而得到Logistic模型.第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一這里r相當(dāng)于p=0時(shí)的增長(zhǎng)率，稱固有增長(zhǎng)率．為確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口容量pm，稱最大人口容量．當(dāng)p=pm時(shí)增長(zhǎng)率為零，即r(pm

)=0，由此可確定出s=r/pm

.顯然對(duì)于任意的p>0

，增長(zhǎng)率r(p)<r.其中r,p是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù)．人口增長(zhǎng)率r(p)可表示為第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（上式表示增長(zhǎng)率r(p)與人口尚未實(shí)現(xiàn)部分（對(duì)最大容量Pm而言）的比成正比，比例系數(shù)為固有增長(zhǎng)率r.）(4)按照上述假定,（3）應(yīng)修改為（3）第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（4）式稱為L(zhǎng)ogistic模型．其解為(5)由解(5),可得出人口總數(shù)具有如下規(guī)律:①當(dāng)t→∞時(shí),p(t)→Pm，即無(wú)論人口初值如何，人口總是趨于極限值Pm.②當(dāng)0＜p0＜pm時(shí),所以p(t)是時(shí)間t的單調(diào)遞增函數(shù)，又第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，，曲線向上凹；曲線向下凹.第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一注：1、本節(jié)討論的人口模型，原則上可適用于其他生物種群，如森林中的樹木，池塘中的魚等，Logistic模型在生物數(shù)量的分析和預(yù)測(cè)中有著廣泛的應(yīng)用.人口增長(zhǎng)速度dp/dt

由增變減，在pm/2處最大，即在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長(zhǎng)時(shí)期，過這一點(diǎn)以后，生長(zhǎng)的速度逐漸變小，并且遲早會(huì)達(dá)到零，這是減速生長(zhǎng)時(shí)期．結(jié)論：第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2、Malthus模型和Logistic模型只考慮了人口總數(shù)和總的增長(zhǎng)率，不涉及年齡結(jié)構(gòu)．事實(shí)上，在人口預(yù)測(cè)中人口按年齡分布狀況是十分重要的，因?yàn)椴煌挲g人的生育率和死亡率有著很大的差別．兩個(gè)國(guó)家或地區(qū)目前人口總數(shù)一樣，如果一個(gè)國(guó)家或地區(qū)年輕人的比例高于另一國(guó)家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)展?fàn)顩r將大不一樣．因此考慮人口模型時(shí)，除了時(shí)間變量外，年齡是另一個(gè)自變量，得到一個(gè)偏微分方程．第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時(shí)間黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以致無(wú)法停下的車輛通過路口，那么，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間？司機(jī)反應(yīng)：決定停車（必須有足夠的停車距離）和通過路口（必須有足夠的時(shí)間通過路口，此時(shí)一直勻速行駛）．§3.3交通管理中的黃燈問題問題分析黃燈狀態(tài)應(yīng)該持續(xù)的時(shí)間包括駕駛員的決定時(shí)間（反應(yīng)時(shí)間）、他通過十字路口的時(shí)間和停車距離的駕駛時(shí)間．第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一建模與求解

T1－駕駛員反應(yīng)時(shí)間T2－汽車通過十字路口的時(shí)間T3―停車距離的駕駛時(shí)間，則T=T1+T2+T3為黃燈應(yīng)亮的時(shí)間，記下面計(jì)算T2，T3設(shè)法定行駛速度為v0,十字路口的長(zhǎng)度為I，典型的車身長(zhǎng)度為L(zhǎng).第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)m為汽車質(zhì)量，f為剎車摩擦系數(shù)，x(t)為行駛距離，剎車制動(dòng)力為fmg(g為重力加速度)由牛頓第二定律，剎車過程滿足下述運(yùn)動(dòng)過程(1)因?yàn)檐嚨奈膊勘仨毻ㄟ^路口，這樣通過路口的實(shí)際長(zhǎng)度就是I+L，所以汽車通過十字路口的時(shí)間為：為了計(jì)算T3，需要求出停車距離：第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)方程(1)積分一次,并代入條件

令末速dx/dt=0，得剎車所用時(shí)間為對(duì)(2)再積分一次，并代入條件(2)，得，得第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一．將t1=v0/fg代入上式，得停車距離為所以駕駛員的反應(yīng)時(shí)間，可根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)得到，通?？杉俣椋泵耄@樣求得黃燈應(yīng)亮的時(shí)間為第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一1）Matlab2）Lindo/Lingo3）Mathematica數(shù)學(xué)建模常用的三種數(shù)學(xué)軟件第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一1）MatlabMatlab的含義是矩陣實(shí)驗(yàn)室(MatrixLaboratory)，是美國(guó)MathWork公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和高性能化軟件、它集數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體.構(gòu)成一個(gè)方便的、界面友好的用戶環(huán)境.到目前為止，它已發(fā)展成為國(guó)際上最新優(yōu)秀的科技軟件之一.

優(yōu)點(diǎn)：大型矩陣運(yùn)算功能非常強(qiáng)，構(gòu)造個(gè)人適用函數(shù)很方便，屬于數(shù)值計(jì)算型軟件，對(duì)處理大批數(shù)據(jù)效率高.因此，非常適合大型工程技術(shù)中使用.

缺點(diǎn)：輸出界面稍差，符號(hào)運(yùn)算功能也顯得弱一些.再一個(gè)就是這個(gè)軟件所占內(nèi)存太大，按現(xiàn)在流行的版本6.5，占硬盤空間近1個(gè)G，對(duì)計(jì)算機(jī)的硬件要求較高.第二十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1：利用Matlab解微分方程

格式：dsolve(‘s’,’s1’,’s2’,…,’x’)其中s為方程；