結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計算

結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計算第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一主要內(nèi)容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計算第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.1引言在材料力學(xué)中，已經(jīng)討論了中心受壓桿的穩(wěn)定問題Fpl圖1(1)當(dāng)時，壓桿處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)特點：

當(dāng)有微小橫向干擾力時，壓桿發(fā)生彎曲，當(dāng)撤消該橫向干擾力時，壓桿又恢復(fù)直線平衡狀態(tài)。(2)當(dāng)時，壓桿處于隨遇或稱中性的平衡狀態(tài)特點：當(dāng)有微小橫向干擾力時，壓桿發(fā)生彎曲，當(dāng)撤消該橫向干擾力時，壓桿仍處于彎曲狀態(tài)，并在此彎曲狀態(tài)下保持新的曲線平衡狀態(tài)。第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一(3)當(dāng)時，壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)特點：當(dāng)有微小橫向干擾力時，壓桿將發(fā)生很大的彎曲，直至破壞。這一現(xiàn)象稱為壓桿喪失第一類穩(wěn)定性。

除了壓桿外，其它的一些結(jié)構(gòu)也會存在第一類穩(wěn)定問題，如q受均布外壓的圓柱殼Fp剛架結(jié)構(gòu)瘦高薄壁構(gòu)件第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一除了第一類穩(wěn)定問題之外，還存在所謂的第二類穩(wěn)定問題Fp圖2(1)

當(dāng)時，壓桿的撓度隨著Fp的增大而增加（不一定是線性的）(2)

當(dāng)時，即使Fp不增大，壓桿的撓度可持續(xù)增加。此時稱壓桿喪失了第二類穩(wěn)定。由上可知，第二類穩(wěn)定問題的特征為：平衡形式不發(fā)生改變，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是由于喪失了繼續(xù)承載能力。

不論是第一類穩(wěn)定問題還是第二類穩(wěn)定問題，在工程中都是不容許發(fā)生的。因為它們或是不能保持結(jié)構(gòu)原有的工作狀態(tài)，或是喪失了繼續(xù)承載的能力，都將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。因此，在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中僅考慮強度條件是不充分的，對于受壓構(gòu)件或結(jié)構(gòu)還應(yīng)進行穩(wěn)定校核。第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

在本章中，主要討論在彈性范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)的第一類穩(wěn)定問題，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，穩(wěn)定計算的中心問題是確定臨界荷載?！?4.2確定臨界荷載的能量法

確定受壓構(gòu)件的臨界荷載的方法很多，最基本也是最重要的方法是靜力法和能量法。靜力法在材料力學(xué)中已講過，在本節(jié)中介紹能量法。

靜力法在確定壓桿臨界荷載時常常會遇到一些困難，如當(dāng)微分控制方程為變系數(shù)時，無法得到方程的解；邊界條件較復(fù)雜時，導(dǎo)出的特征行列式是高階的求解困難等。在這些情況下采用能量法具有較大的優(yōu)勢。第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一勢能駐值原理

在彈性結(jié)構(gòu)（線性或非線性的）的一切可能位移中，真實的位移使結(jié)構(gòu)的總勢能為駐值，即（14-1）上式中，U為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，T為外力功（為荷載勢能）。

應(yīng)當(dāng)注意，所謂的“可能位移”是指滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的各種位移。真實位移則不僅滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件，而且滿足結(jié)構(gòu)平衡條件。因此，（14-1）式實際上就是能量形式的平衡條件。即（14-1）式是彈性體系處于平衡的充要條件。

但是在上節(jié)提到，平衡又分穩(wěn)定平衡、中性平衡和不穩(wěn)定平衡三種形式。下面通過一個單自由度體系，直觀說明三種平衡形式的特點。第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一如圖3所示彈性支承上的剛性桿，頂端水平彈性支承的剛度系數(shù)為k，取初始位置為參考狀態(tài)yFp圖3l則體系的總勢能為∵∴討論：（1）當(dāng)時，若y≠0，則Ep恒大于零。此時稱體系是正定的。此時總勢能取得駐值必為極小值。體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這就是最小勢能原理，即對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實的位移使體系的總勢能Ep為極小值?？倓菽芘cy的關(guān)系如圖(a)所示第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一yEp(a)（2）當(dāng)時，若y≠0，則Ep恒小于零。此時稱體系是負(fù)定的。此時總勢能取得駐值必為極大值?？倓菽芘cy的關(guān)系如圖(b)所示，體系處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。在y=0處有橫向干擾力作用，就會迅速傾覆。yEp(b)（3）當(dāng)時，總勢能Ep恒為零。總勢能與y的關(guān)系如圖(c)所示，體系處于中性的平衡狀態(tài)。稱處于這一臨界狀態(tài)的荷載為臨界荷載，記。此時，在y=0處有微小的橫向干擾力作用，會體系在新的傾斜位置上維持新的平衡。yEp(c)第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

以上討論最簡單的單自由度體系情況，對于多自由度體系或彈性體情況要復(fù)雜些，但下面的結(jié)論是共性的當(dāng)體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時，其總勢能必為極小值。當(dāng)體系處于中性的平衡狀態(tài)時，其總勢能增量必為零。利用上述結(jié)論，可以確定體系的臨界荷載由得（14-2）如果已知臨界狀態(tài)體系的變形或位移，代入上式即可確定體系的臨界荷載。若是近似的變形或位移，則所求得的臨界荷載為近似值。假如體系的自由度大于1，則滿足(14-2）式的Fp值不止一個，其中最小者就是所求的臨界荷載，即第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一（14-3）上式就是能量法確定臨界荷載的基本依據(jù)。下面椐此推導(dǎo)受壓直桿穩(wěn)定（屬于無限自由度體系）問題的臨界荷載具體形式。如圖5所示彈性直桿Fp圖5yx當(dāng)達(dá)到臨界狀態(tài)時，則對于任一可能位移有上式中為壓桿彎曲后，所增加的應(yīng)變能（壓縮變形能在初始狀態(tài)也存在）。由于處于中性平衡狀態(tài)，給桿一個微小的彎曲變形，則第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一∵∴dsdsdx又∵∴(14-4)第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例1

如圖示壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學(xué)中，已求得臨界荷載的精確解為yx設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！叩谑摚参迨唔?，編輯于2023年，星期一∴上述結(jié)果表明，所設(shè)彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實的失穩(wěn)曲線，故所得結(jié)果為精確解。如設(shè)彈性失穩(wěn)曲線為懸臂梁的撓曲線，即可以求得這個近似解比精確解大約1.3%第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一例2

如圖示兩端鉸支壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學(xué)中，已求得臨界荷載的精確解為yx設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！叩谑屙?，共五十七頁，編輯于2023年，星期一∴上述結(jié)果表明，所設(shè)彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實的失穩(wěn)曲線，故所得結(jié)果為精確解。如設(shè)彈性失穩(wěn)曲線為簡支梁的撓曲線，即可以求得這個近似解比精確解大約0.1%第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一

前面討論了最簡單情況（等截面兩端剛性支承）壓桿臨界荷載確定方法。對于一般情況，一個函數(shù)并不能很好地反映失穩(wěn)曲線，此時，可采用級數(shù)解答。設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為（14-5）上式中，i(x)為滿足給定位移邊界條件的已知函數(shù)，ai為待定系數(shù)。

在實際計算時，一般只能求出臨界荷載的近似值，彈性失穩(wěn)曲線也很難找出精確表達(dá)式，因此，（14-5）式只能取有限項。設(shè)取前n項將其代入臨界荷載公式得第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一這樣就把求臨界荷載問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍驠p的極值問題。Fp的極值條件為令：則由于B≠0，A/B=Fp

，則上式可改寫為第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一因為則Fp的極值條件可改寫為（14-6）其中（14-6）式是關(guān)于ai(i=1,2…n)的n階齊次線性方程組，有非零解的條件為第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一（14-7）

將上式展開，即得一個關(guān)于Fp的n次代數(shù)方程，它有n個正實根，最小的一個即為所求的臨界荷載Fpcr

第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.3等截面直桿的臨界荷載

一剛性支承上等截面直桿的臨界荷載

常見的等截面直桿在剛性支承上的臨界荷載在材料力學(xué)中已求出，歸納如下為長度系數(shù)Fp=1lFp=2Fp=0.7Fp=0.5Fp=1二彈性支承上等截面直桿的臨界荷載

工程中經(jīng)常會遇到彈性支承上的壓桿，對于該類壓桿穩(wěn)定問題的求解方法與剛性支承上的壓桿一樣，只是要復(fù)雜些。第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一如圖示壓桿，采用靜力法求其臨界荷載。Fplkyx由得(a)其中(a)式的解為上式中A、B、為待定常數(shù)，由邊界條件確定由得(b)由得(c)由得(d)第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一由(b)、(c)、(d)組成的關(guān)于未知量A

、B、的齊次線性方程組，有非零解的條件為將上式展開整理得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對于一些工程中的簡單結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題可簡化為此模型。如第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一FpkFp1kkFp1kFpEA=第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一三豎直桿在自重作用下的穩(wěn)定如圖所示結(jié)構(gòu)，在自重作用的穩(wěn)定性分析已有級數(shù)形式（-1/3階貝塞爾函數(shù)）的精確解。qlxya下面采用能量法求其近似解。設(shè)：則下面計算外力功，取出微段dx，則該微段因彎曲引起的軸向下降距離為第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一dsdsdx于是該微段上部重量所做的功為則全部自重所做的功為由得這個近似解比精確解大約5.9%第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一若取級數(shù)的前兩項可以求得這個近似解僅比精確解大約0.013%，精度顯著提高。第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.4變截面直桿的臨界荷載

下面用靜力法討論階梯壓桿的臨界荷載，如圖所示階梯壓桿l1l2lEI1EI2xy令上部壓桿任一截面的側(cè)移為y1，下部壓桿任一截面的側(cè)移為y2。則這兩部分壓桿的撓曲控制方程為(a)(a)式的解為(b)其中第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一上述解共含有A1、B1、A2、B2和五個待定量，它們可由邊界條件確定由得(c)由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)由上述5式組成的關(guān)于A1、B1、A2、B2和的齊次線性方程組，有非零解的條件為其系數(shù)矩陣的行列式為零，即第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一展開得利用l=l1+l2及相應(yīng)的三角函數(shù)公式上式整理可得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對于其它形式的變截面壓桿可采用類似的方法處理，也可采用能量法求其近似解。第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一結(jié)構(gòu)力學(xué)

第14章結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計算第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一主要內(nèi)容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計算第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.5偏心受壓直桿的穩(wěn)定

如圖所示等截面直桿，受偏心壓力Fp作用。Fpleyx

建立如圖所示坐標(biāo)系則任一截面的彎矩為彈性曲線的近似微分方程為或(a)其中(a)式的解為(b)其中A、B為待定常數(shù)，由邊界條件確定由得第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一由得因此，(c)由上式可知，當(dāng)nl=時，除了x=0,l截面外，y。此時的荷載即為臨界荷載。故與中心受壓桿臨界荷載相同。對于梁中點的撓度，由(c)式（x=l/2）得yl/2Fp關(guān)系曲線如圖所示。Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0由圖可知(a)

yl/2Fp關(guān)系曲線是非線性的；是yl/2Fp關(guān)系曲(b)線的漸進線；(c)e愈大，曲線偏離漸進線愈大。必須指出，上述結(jié)論只是理論上的，因為假定變形是線彈性、小變形的與真實情況相差較大。實際情況如下圖所示，當(dāng)時Fp<Fpe，壓桿已喪失了穩(wěn)定。Fpyl/2e=0Fpe真實yl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.6剪力對臨界荷載的影響

如圖所示壓桿xyFpl設(shè)：yM表示彎矩所產(chǎn)生的撓度，yQ表示由于剪力影響所產(chǎn)生的附加撓度。則對上式兩邊求兩次導(dǎo)得(a)由撓曲線近似微分方程得(b)剪力引起的桿軸線附加角位移為由第6章知，（k為截面形狀系數(shù)）第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一則由上式得(c)又∵∴(d)把(b)、(d)代入(a)整理可得(e)其中第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一(e)(e)式的解為(f)由得由得最小值為ml=，由此得臨界荷載為(g)由上式可解得第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一式中無剪力影響時的歐拉臨界荷載對于鋼材，G=80GPa，歐拉臨界應(yīng)力e=200MPa，則

說明在實體結(jié)構(gòu)中，剪力的影響是很小的，通常可略去不計。第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一也可采用能量法來討論剪力的影響，設(shè)彈性曲線為取無彎曲狀態(tài)勢能為零，則∵∴第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一外力功為由得即結(jié)果相同。第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.7組合壓桿的穩(wěn)定問題

常見的組合壓桿有綴條式和綴板式兩種，如圖所示。綴條式綴板式FpFp

綴條式組合壓桿綴條是由斜桿和橫桿組成，一般采用單個角鋼，它們與主要構(gòu)件（兩邊槽鋼）的連接一般可看作鉸接。

綴板式組合壓桿一般情況下無斜桿，綴板與主要構(gòu)件（兩邊槽鋼）的連接一般看作剛接。

關(guān)于組合壓桿的臨界荷載精確解目前還沒有，這一問題的近似解是由鐵摩辛柯（S.PTimoshenko）提出的。第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一一綴條式組合壓桿

取出一個節(jié)間綴條式組合壓桿如圖所示。FQ=1FQ=1dbApAq①②③則在單位力FQ=1作用下，綴條變形產(chǎn)生的剪變形為式中11為FQ=1時，沿其方向上所引起的位移。由于各桿鉸接。則在綴條式組合壓桿中，剪力主要由綴條承擔(dān)，因此，上式計算時僅考慮綴條的影響?！咻S力：第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一∴則在上節(jié)中曾推導(dǎo)了剪力對臨界荷載的影響，結(jié)論為其中為單位剪力作用時所產(chǎn)生的剪變形。用代替，即可得近似的綴條式組合壓桿的臨界荷載公式為第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一式中注意：在計算歐拉臨界荷載時，I只需考慮兩邊主要構(gòu)件（如槽鋼）對形心的慣性矩即可，不必考慮綴條，因綴條承擔(dān)剪力。二綴板式組合壓桿

綴板式組合壓桿可視為單跨雙層剛架。并近似地認(rèn)為主要構(gòu)件的反彎點在節(jié)間中間，取出一節(jié)如圖所示。d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2則在單位力FQ=1作用下，綴板變形產(chǎn)生的剪變形為式中11為FQ=1時，沿其方向上所引起的位移。第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一圖因此與綴條式組合壓桿推導(dǎo)相同，可得其中第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一從2的表達(dá)式可以看出，2隨著間距d的減小而增大，當(dāng)d=0時，2=1與實體結(jié)構(gòu)相同。

在一般情況下，綴板的剛度要比主要構(gòu)件（如兩邊的槽鋼）大的多，因此，可取EIb=∞，于是臨界荷載計算公式可近似地簡化為第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一§14.8剛架的穩(wěn)定計算

這里僅考慮剛架在結(jié)點處承受集中荷載且結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定前各桿只有軸向變形而無彎曲變形的情況。在此條件下，剛架失穩(wěn)屬于第一類穩(wěn)定問題。如圖所示承受結(jié)點荷載作用剛架Fp2Fp1當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時，在微小的干擾力作用下，將產(chǎn)生彎曲變形，當(dāng)干擾力撤除后，并在新的彎曲變形狀態(tài)下維持平衡。

確定結(jié)構(gòu)臨界荷載，一般而言，采用位移法較為方便。其基本原理與第8章基本相同，所不同之處是在轉(zhuǎn)角位移方程中增加考慮軸力的影響。第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一一考慮軸力影響的等截面直桿轉(zhuǎn)角位移方程

FplFpABEI取出受壓直桿如圖所示FpAB(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由得任一截面的彎矩為則彈性曲線的微分方程為(a)令：則(a)式整理得(b)第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一(b)式的通解為(c)上式四個待定量C1、C2、MAB和FQ由邊界條件確定由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)注意到，利用上述四式可解得第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一（14-8）上式中，i為線剛度，、、和為考慮軸向力效應(yīng)的修正系數(shù)。第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期一容易證明（應(yīng)用洛畢塔法則），當(dāng)Fp0，u0時此時為普通情況下