線性代數(shù)矩陣及其運算

（優(yōu)選）線性代數(shù)矩陣及其運算1當(dāng)前第1頁\共有49頁\編于星期四\10點教學(xué)基本要求1、提前預(yù)習(xí)，積極聽課；2、認真完成作業(yè)，計入平時成績；3、隨機點名考勤，考勤結(jié)果計入平時成績；5、聯(lián)系電話：；

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4、總評成績=平時（占30%）+期末（占70%）2當(dāng)前第2頁\共有49頁\編于星期四\10點

引言

《線性代數(shù)》是以行列式、矩陣為工具，研究線性變量之間關(guān)系的一門數(shù)學(xué)分科，它包括求值、求解及性質(zhì)的討論。密切相關(guān)學(xué)科：運籌學(xué)（線性規(guī)劃）3當(dāng)前第3頁\共有49頁\編于星期四\10點第一章矩陣第四章向量的內(nèi)積與二次型第六章Matlab軟件的應(yīng)用第二章向量與線性方程組第五章線性空間與線性變換第三章矩陣的特征與特征向量教學(xué)計劃10學(xué)時6學(xué)時4學(xué)時8學(xué)時4學(xué)時略4當(dāng)前第4頁\共有49頁\編于星期四\10點第一章矩陣§1

矩陣及其運算§3行列式§2

矩陣的初等變換與初等矩陣§4行列式和逆矩陣的應(yīng)用5當(dāng)前第5頁\共有49頁\編于星期四\10點矩陣及其運算

第一節(jié)6當(dāng)前第6頁\共有49頁\編于星期四\10點引例一某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值（單位：萬元）如下表：ABCD180757578298708584390759090488708280數(shù)表抽象描述各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值揭示產(chǎn)值隨季度的變化規(guī)律、年產(chǎn)量等7當(dāng)前第7頁\共有49頁\編于星期四\10點引例二某航空公司在A，B，C，D四城市之間開辟了若干航線，右圖表示了四城市之間的航班圖，若從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B：終點始發(fā)ABCDA√√B√√√C√√√D√數(shù)表BACD抽象反映四城市之間的交通連接情況8當(dāng)前第8頁\共有49頁\編于星期四\10點1.1.1線性方程組與矩陣的概念m個方程，n個未知數(shù)線性方程組的一般形式為數(shù)表9當(dāng)前第9頁\共有49頁\編于星期四\10點定義1.1(P2)由mn個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表第一行第二行第一列第二列其中諸叫做矩陣的元素，矩陣可以簡記稱為m行n列矩陣

，簡稱為矩陣,通常用大寫的英文字母A,B,…表示，10當(dāng)前第10頁\共有49頁\編于星期四\10點行矩陣：只有一行的矩陣也稱為行向量列矩陣：只有一列的矩陣也稱為列向量元素全是零的矩陣叫做零矩陣，簡記為Omn

特例11當(dāng)前第11頁\共有49頁\編于星期四\10點行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為方陣。有n行n列的矩陣稱為n階方陣或n階矩陣特例12當(dāng)前第12頁\共有49頁\編于星期四\10點幾種特殊形式的方陣上三角形矩陣下三角形矩陣——三角形矩陣13當(dāng)前第13頁\共有49頁\編于星期四\10點數(shù)量矩陣對角陣單位矩陣幾種特殊形式的方陣diagonal14當(dāng)前第14頁\共有49頁\編于星期四\10點行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣，稱為同型矩陣。同型矩陣如：只有矩陣與矩陣同型15當(dāng)前第15頁\共有49頁\編于星期四\10點定義1.2（P4)那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B相等矩陣16當(dāng)前第16頁\共有49頁\編于星期四\10點(1)(2)(3)判斷下列各組矩陣是否相等17當(dāng)前第17頁\共有49頁\編于星期四\10點課堂練習(xí)設(shè)，已知A=B，求的值解由A=B，可知解得18當(dāng)前第18頁\共有49頁\編于星期四\10點一、矩陣的加減法定義1.3（P4)那么矩陣A與矩陣B的和矩陣記作A+B,規(guī)定為對應(yīng)位置上的元素相加1.1.2矩陣的基本運算及性質(zhì)注意：只有同型矩陣才能相加19當(dāng)前第19頁\共有49頁\編于星期四\10點矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律(P4)（i）A+B=B+A(交換律）

（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律）(iii)A+O=O+A=A-A稱為矩陣A的負矩陣，顯然有A+(-A)=(-A)+A=O定義矩陣的減法：A-B=A+(-B)對應(yīng)位置上的元素相減20當(dāng)前第20頁\共有49頁\編于星期四\10點二、矩陣的數(shù)乘運算定義1.4(P5)矩陣的每一個元素都要乘以這個數(shù)運算率(P5)21當(dāng)前第21頁\共有49頁\編于星期四\10點設(shè)兩個商店銷售三種電視機的數(shù)量（百臺）由矩陣A表示長虹康佳創(chuàng)維百佳華潤三種電視機的零售單價（千元）由矩陣B表示長虹康佳創(chuàng)維三、矩陣的乘法則兩商場銷售電視機所得收益分別是多少？22當(dāng)前第22頁\共有49頁\編于星期四\10點定義1.5(P5)三、矩陣的乘法設(shè)矩陣A=(aij)ml的列數(shù)與矩陣B=(bij)ln的行數(shù)相等,則由元素構(gòu)成的mn矩陣C=(cij)mn稱為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB23當(dāng)前第23頁\共有49頁\編于星期四\10點矩陣乘法運算的注意事項：（1）兩矩陣相乘時，前矩陣（居左）每一行（如第i行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第j列）中順次對應(yīng)的各元素相乘再相加，從而得到乘積矩陣（第i行第j列）的元素。為保證規(guī)則（1），左矩陣的列數(shù)應(yīng)與右矩陣的的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘。（3）乘積矩陣的行數(shù)與左矩陣相同，乘積矩陣的列數(shù)與右矩陣相同。行列24當(dāng)前第24頁\共有49頁\編于星期四\10點例計算下列矩陣的乘積，并觀察結(jié)果，探討性質(zhì)（1）設(shè)，求AB和BA。（2）設(shè)，求AB和BA.求AB、BA和BC。25當(dāng)前第25頁\共有49頁\編于星期四\10點例設(shè)，求AB。矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義，但BA不一定有意義解26當(dāng)前第26頁\共有49頁\編于星期四\10點例設(shè)AB求AB和BABAAB和BA都意義，但不同型，故AB≠BA.解27當(dāng)前第27頁\共有49頁\編于星期四\10點例求AB、BA和BCABBA

(1)AB與BA都有意義，且同型，但AB與BA不相等

(2)兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣

(3)BA=BC,但A≠C,可見，矩陣乘法不滿足消去率BC解AB≠BA,BA=BC28當(dāng)前第28頁\共有49頁\編于星期四\10點例求AB和BAABBAAB=BA如果同階方陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換解29當(dāng)前第29頁\共有49頁\編于星期四\10點矩陣的乘法雖不滿足交換律、消去率，但滿足下列運算率（P6）：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)30當(dāng)前第30頁\共有49頁\編于星期四\10點記則線性方程組(1)可通過矩陣的乘法表示成矩陣形式系數(shù)矩陣未知數(shù)列矩陣常數(shù)列矩陣31當(dāng)前第31頁\共有49頁\編于星期四\10點矩陣A表示兩車間生產(chǎn)三種產(chǎn)品的數(shù)量矩陣B表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品消耗兩種原料的數(shù)量車間一車間二面包蛋糕餅干面包蛋糕餅干糖面粉則如何用矩陣表示兩車間需要消耗的原材料的數(shù)量？32當(dāng)前第32頁\共有49頁\編于星期四\10點方陣的冪設(shè)A是n階方陣，k為正整數(shù)，則表示k個A連乘,如顯然，只有方陣的冪才有意義33當(dāng)前第33頁\共有49頁\編于星期四\10點四、轉(zhuǎn)置矩陣(Transpose)行、列對調(diào)例運算律可推廣到有限多個的情形定義1.6(P6)

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做的A轉(zhuǎn)置矩陣，記作或34當(dāng)前第34頁\共有49頁\編于星期四\10點對稱矩陣如果方陣A滿足就稱A為對稱矩陣?yán)绶疥嘇為對稱矩陣矩陣A中關(guān)于主對角線對稱位置上的每一對元素都相等35當(dāng)前第35頁\共有49頁\編于星期四\10點定義1.7(P10)設(shè)A為n階方陣,AB=BA=I就稱為A可逆矩陣，如果存在n階方陣B，使得并稱B為A的逆矩陣（簡稱A的逆),記作定理1.1如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的證明設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則AB=BA=I,AC=CA=I

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C1.1.4逆矩陣36當(dāng)前第36頁\共有49頁\編于星期四\10點性質(zhì)1.1如果矩陣A可逆，則AB=I等價于BA=I。證明(1)相似可證性質(zhì)1.2（3）如果A為可逆矩陣，則A-1也可逆，且37當(dāng)前第37頁\共有49頁\編于星期四\10點性質(zhì)1.3如果A和B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且證明故由推論1便知AB可逆，且可推廣到有限個情形38當(dāng)前第38頁\共有49頁\編于星期四\10點★逆矩陣的性質(zhì)（P10-P11）1、逆矩陣是唯一存在的。2、AB=IBA=I6、若A可逆，則A-1也可逆，且.3、若A可逆，數(shù)，則4、若A、B為同階可逆矩陣，則5、若A可逆，則（此性質(zhì)可將定義簡化）39當(dāng)前第39頁\共有49頁\編于星期四\10點1.1.3分塊矩陣及其運算用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個子塊，以這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊矩陣。例如則A可記作稱A為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。40當(dāng)前第40頁\共有49頁\編于星期四\10點如：★分塊矩陣41當(dāng)前第41頁\共有49頁\編于星期四\10點如：★分塊矩陣列分塊行分塊42當(dāng)前第42頁\共有49頁\編于星期四\10點1、矩陣的分塊運算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按矩陣的運算法則作第一步運算，然后，在子塊的運算中，再進行實質(zhì)上的矩陣運算。2、在對矩陣進行分塊時，必須遵守相應(yīng)運算的前提條件。如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘時，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時還須保證子塊運算時的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行數(shù)?！锓謮K矩陣的運算：43當(dāng)前第43頁\共有49頁\編于星期四\10點分塊矩陣的加減運算設(shè)A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得則注意：Aij與Bij同型44當(dāng)前第44頁\共有49頁\編于星期四\10點分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置設(shè)將A分塊得則45當(dāng)前第45頁\共有49頁\編于星期四\10點分塊矩陣的乘法運算設(shè)A、B矩陣分塊得則其中注意：A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；Aik的列數(shù)=Bkj的行數(shù)46當(dāng)前第46頁\共有49頁\編于星期四