注冊構(gòu)造專業(yè)基礎(chǔ)微分方程講義

PAGEPAGE10頁第五節(jié)微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、自變量之間的關(guān)系的方程，稱為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。（二）微分方程的解、通解微分方程的解是一個函數(shù)，把這函數(shù)代人微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說，對于n階微分方程那么函數(shù)就稱為微分方程（1-5-l）在區(qū)間I上的解。如果二元代數(shù)方程所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么稱為該微分方程的隱式解。含有n個獨立的任意常數(shù)的微分方程的解，稱為n階微分方程的通解。（三）初始條件與特解能用來確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為初始條件。通常一階微分方程的初始條件為；二階微分方程卯初始條件為，。通解中的任意常數(shù)全都確定后，就得到一個確定的解，稱為微分方程的特解。（四）例題【例1-5-l】驗證函數(shù)是微分方程的通解?！咀C】代人方程有所給方程是二階的，所給函數(shù)中恰好含Cl、C2兩個任意常數(shù)，且因常數(shù)，故這兩個任意常數(shù)不能合并成一個，即它們是相互獨立的，因此所給函數(shù)是所給方程的通解。二、可分離變量的方程登一階微勞分方程捉稱為可炸分離變竿量的方扔程。把攔式中匯的袋y甲箭和問dy惹蕉歸人方沈程的一兼端呼，度x誤依和點dx瘡嫂歸人另號一端，瞧成為帶這一步休驟稱為鄙分離變共量。分句離變量爭后，兩君端可分陜別積分射設(shè)陣g觀閱（該y應(yīng)）證、抗f隸脈（相x賢份）的原輔函數(shù)依君次戲為呆G卷透（偶y蕩）兵與距刊F螞（控x斯），即俯得方程秒（放1-留5-廢2桶南）的通袖解寨【廁災(zāi)例膝1-肉5-2踢翁】鴿xO嘩y標(biāo)平面上屬一條曲合線通過酬點耍（己2,舍3費哈）報域，它在其兩坐標(biāo)棍軸間的目任一切復(fù)線段均復(fù)被切點招所平分狂，求它籃的方程鞏。辨【未酒解澇傲】舅測設(shè)曲線具上任一唉點為產(chǎn)（發(fā)x訂偉，震y晨），依巡題意，謝曲線在盜點戲（涌x反，噸y子）的切檢線在兩踐坐標(biāo)軸惰上的截佩距應(yīng)釘為畜2x覆槍及辜2y歲,箏鏡（統(tǒng)圖厲1-糞5-1疲蝴）漿獨，切線蒙斜率為滑，因此返有傍初始條趕件桶為卸x數(shù)＝銜2思增時小y貿(mào)=3答板。殘分離變秘量得積分得股以初始乒條件代襪入令得悅C無1墓=碑6霞慎，故所敢求曲線邀方程為卸三、一停階線性懷方程方程棚稱為一讀階線性境方程。再當(dāng)怒時，式像（糠1巖-5冠3典祥）稱為心線性齊燃次方程腳；當(dāng)意時，式豬（著1裕-5躍3余櫻）稱為爪線性非同齊次方開程。輕線性齊沾次方程士是一個宅變量可繪分離的緩方程。疏經(jīng)分離售變量并桑積分，踏即得通紀(jì)解膛為解非遣齊次方劃程儀（負(fù)1-撲5-3頁)蛋轉(zhuǎn)，可作碎變換類，代入晝方程得整理得積分得典于是得向方程鄭（廢1-最5-3扣盜）的通覆解例題綱1液．求方體程嘩的通解議。翼【坡解瓶損】著刊利用一建階線性再方程的站通解公復(fù)式飛（鋒1-婦5-4煙凝）來求濃解，為林此，把罩所給方褲程寫成托標(biāo)準(zhǔn)形牙式這里月代入公溉式確（仿15為-悉4)擦教，得屠2災(zāi)．已知塊微分方廣程腳的一個毛特解為吉，則此坐微分方去程的通昂解是渠【腸解逮層】半鼻原方程紫對應(yīng)的責(zé)齊次方滿程的通哨解為壟根據(jù)線揀性方程視解的結(jié)積構(gòu)可知疊原微分稈方程的評通解為情故應(yīng)選?。扖母死）。暈全微分尖方程懼幾種可著降階的窗方程割這類方泊程可直炕接積分喚，積分側(cè)一次得沾即把原謊方程降臭低一階認(rèn)。積解分通n始仍次，即堡可得通掙解輕 寫這是不照顯所含偷y虛浮的二階任方程，繁令密，則斥，代人度即得蜘 南這樣就柜把二階碎方程降肉為一階舞方程。腎設(shè)求得興此一階蔬方程的梨通解為謎，則原塌方程的格通解為琴這是不丙顯竿含甲x榮部的二階糟方程，載令們，則風(fēng)代人方桿程得雷即把二嫩階方程稿降為一陶階方程守。設(shè)求杜得此一磨階方程麻的通解濁為元，即辭，分離屑變量并印積分得耽原方程填的通解隙為善（四）岔例題屠1浙．求方我程未的通解靈。賭【裙妥解帳私】缺匆這是不碎顯懸含躬y循夜的方程乘，令令最，則籮，代人北方程，銅得一階兄線性方節(jié)程壞利用通獨解公式捷（表1-舍5-4藍(lán))慧,假有積分得脈2時．求微劫分方程墾滿足初良始條件蓮的解。強(qiáng)【令糊解素沸】這是桐不顯考含族x句鍋的方程靠。令及，則胖，代入確方程得積分得僅由紙y年=1膚桂時寶p享=2府晨，壇得扛C熱l震=銹0霞挽，且知么負(fù)號不何合，故積分得曉由打得淡C咸2災(zāi)=圍4饑驅(qū)，于是揀所求特澤解為扇線性微索分方程斬解的性筒質(zhì)及解按的結(jié)構(gòu)呢定理聞設(shè)有二袖階齊次批線性方醉程則有例題薪寫出該畫方程的援通解統(tǒng)二階常忍系數(shù)線詞性