貴州省遵義市綏陽中學(xué)2019-2020學(xué)年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析《附15套高考模擬卷》

貴州省遵義市綏陽中學(xué)2019-2020學(xué)年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知實數(shù)a,卜滿足2"=3,3"=2,則函數(shù)/(%)=優(yōu)+%-匕的零點所在的區(qū)間是()

(-2,-1)B(-150)c(0,1)D.。，2)

3兀

2.函數(shù)f(x)=sin(2x+—)是()

2

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

71兀

C.最小正周期為5的奇函數(shù)D.最小正周期為'的偶函數(shù)

5

1I的展開式中常數(shù)項為-40,則。的值為

3.已知(x+1)CIX——

X

A.2B.-2

C.±2D.4

71

4.已知a=,cosx必:，/(x)是以〃為周期的奇函數(shù)，且定義域為R,貝!J/(2017)+/(2018)的值為

~2

)

0B.1C.2D.2018

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長的棱的長度為()

俯視圖

A.3B.4C.2梃D.2立

6.某同學(xué)10次測評成績的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位數(shù)為12,若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則

4x+2y的值是()

02234

Xy99

201

A.12B.14c.16D.18

7.已知函數(shù)/（x）（xeR）滿足/（x）于'（a—x）,若函數(shù)y=尸一如一5|與y=/（x）的圖像的交點為

（%，X）,（七,%），…，（居,，幾），且工七=2加，貝（］。=（）

/=1

A.1B.2C.3D.4

8.已知耳，黑是橢圓C：￡+￡=1（。＞人＞0）的兩個焦點，以耳月為直徑的圓與直線在+叵=2

a'b-ab

相切，則橢圓。的離心率為（）

272立迫也

A.3B.3c.2D.2

9.已知全集。=??,集合A={l,2,3,4,5},B={xeRkN2},則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.律B.{L2}C.{345}D.{234,5}

10.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“圓周與其直徑之比被定為3,圓中弓形面積為:a（a+c）（C

為弦長，。為半徑長與圓心到弦的距離之差）.”據(jù)此計算，已知一個圓中弓形所對應(yīng)的弦長c=6,a=\,

質(zhì)點M隨機投入此圓中，則質(zhì)點M落在該弓形內(nèi)的概率為（）

7173

A.30B.75c.150D.50

11.若二項式［-成］的展開式中第機項為常數(shù)項，則相，〃應(yīng)滿足（）

A.3〃=4（m+l）B.4〃=3（加+1）

C3n=4（m-l）口4n=3（m-l）

2222

12.已知橢圓二+1=1左右焦點分別為￡,工，雙曲線二-與=1的一條漸近線交橢圓于點P,且滿

ab~m~n

3

足P￡_LP弱，已知橢圓的離心率為q=^，則雙曲線的離心率02=＜）

還92/2逑

A.夜B.8C.4D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

716

13.（X+＞展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答）

14.已知點尸（1,1）,圓。:幺+產(chǎn)―4X=2,過點。的直線/與圓。交于AB兩點，線段A3的中點為M

（M不同于P）,若IOP|=|OM|,貝!]/的方程是

15.已知A，B，C力是半徑為5的球面上的點，且BC=CD=DB=35當(dāng)四面體A8CD的體積最大

時，AB=.

16.在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=30°,C=45°,c=3,點P是平面ABC內(nèi)的一個動

點，若NBPC=60°,則APBC面積的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛%｝是遞增的等差數(shù)列，為=7,且,是4與27的等比中項.求見；若

”__!_

向+1,求數(shù)列｛2｝的前〃項和

18.（12分）如圖，四棱錐S-A8CO的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的血倍，P為側(cè)棱S。

上的點.

ACLSD.若SDL平面PAC,求二面角P—AC—S的大小；在

（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE平面P4C.若存在，求SC:SE的值；若不存在,

試說明理由.

~=l（a>0>。）d-“c區(qū)、

19.（12分）已知橢圓°：a-b-的離心率為2,點A（2,x/2）在橢圓上，。為坐標(biāo)原

點.求橢圓C的方程；已知點「、加、N為橢圓C上的三點，若四邊形°PMN為平行四邊形，證明四邊

形的面積S為定值，并求出該定值.

20.（12分）已知平面直角坐標(biāo)系xOy,直線1過點P（。，依），且傾斜角為由以。為極點，x軸的非負(fù)半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為P'4PCOS（9-JT=0.求直線］的參數(shù)方程和圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直

線1與圓。交于M、N兩點，若UPMI」PNII=也，求直線1的傾斜角的a值.

｛%｝是遞增的等差數(shù)列，%,為是方程/-5工+6=0的根.求｛%｝的通項公式；求數(shù)

21.（12分）已知

an

列2”的前〃項和.

22.（10分）在三棱錐尸—ABC中，平面PAC_L平面ABC,AQ=QC,PA=PC=AB=2,BC=\,

PB=6

證明：BC1BQ；求直線AC與平面PAB所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

B

2、B

3、C

4、A

5、D

6、A

7、D

8、D

9、A

10、C

11、C

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、15

3x+y—4=0

3A/10

15、

16、

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)=2n+l；(2)立〃上3二占.

2

【解析】

【分析】

(1)數(shù)列｛a”｝是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d,d>0,等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方

程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；

,113+3-』2〃+1

(2)求得a=-7=L=-7==_7===-------------------,由數(shù)列的裂項相消求和，化簡整

Mj2〃+l+j2〃+32

理即可.

【詳解】

(1)設(shè)｛4｝的公差為d,且d>0,,據(jù)題意則有

4Z,=7[4=7

[V&2J=27"艮P<[(%+4)2=27(2—2d)

因為d>0,解得d=2

所以a”=%+(〃—3)d=2/?+l.

(2)口而隹二=標(biāo)—=雜標(biāo)-標(biāo)工

前n項和(V5-V5+-+V2n+1-V2n-l+V2n+3-V2n+1)

，(V2n+3-畬).

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡運

算能力，屬于中檔題.

18、(1)見證明；(2)60(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)先證明AC_L平面S3。，即可得到ACS。；

(2)由題設(shè)知，連80,設(shè)AC交于8。于。，由題意知S0，平面ABCQ.以。為坐標(biāo)原點，08，0C，

OS分別為1軸、，軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面P4C與平面SAC的一個法向

量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；

(3)要使BE平面PAC,只需BE與平面的法向量垂直即可，結(jié)合⑵中求出的平面PAC的一個法向量,

即可求解.

【詳解】

(1)連8。交AC于。，由題意SOLAC.

在正方形ABC。中，ACJ.3O,

所以AC工平面S3。，得AC工SO

(2)由題設(shè)知，連B。，設(shè)AC交于3。于。，由題意知SO_L平面ABCD.以。為坐標(biāo)原點，OB，OC，

OS分別為x軸、)'軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系。一肛z如圖.

設(shè)底面邊長為。，則高SO=Y5”.

2

([7\(五、(五、

則S0,0,—〃,D------6Z,0,0,C0,—tz,0

<21(2J\>

又SO,平面PAC,

平面SAC的一個法向量。。=一彳見0,0,

k)

八cc八DSOD1

則c°處，"=畫國=一5，

又二面角P—AC—。為銳角，則二面角尸—AC—。為60;

(3)在棱SC上存在一點E使BE平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一個法向量,

且DS=——〃,0,——a,CS=0,------a.——a

I22)I22J

設(shè)CE=rCS，^[0,1]

nlfV2V2Z1.76

則BE=BC+C￡=3C+rCS=

7

又BE平面PAC,所以8￡DS=0,

E1

則y.

即當(dāng)SC:SE=3:2時，BEIDS

而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE平面PAC.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的性質(zhì)，以及空間向量的方法求二面角等，一般需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出平面

的法向量和直線的方向向量即可結(jié)合條件求解，屬于?？碱}型.

22

19>(I)土+匕=1；(H)2網(wǎng)

84

【解析】

【分析】

c_夜

a2

42

（I）由題有,解方程組即得橢圓的方程；（II）先證明：當(dāng)直線PN的斜率k不存在時的S,

a2+h2=c2

再證明當(dāng)直線PN的斜率k存在時，平行四邊形OPMN的面積S為定值276.再綜合得解.

【詳解】

'￡_V2

42

(I)由題有/+記=1???/=8，〃=4,

a2+b2^c2

f2

???橢圓。的方程為二+v匕=1.

84

（H）證明：當(dāng)直線PN的斜率k不存在時，直線PN的方程為％=&或工=—及，

從而有|PN|=26，

所以S=；|PN||QM卜;x20x2血=2#；

當(dāng)直線PN的斜率*存在時，設(shè)直線PN方程為y=辰+加（加。0）,P（%，X）,N（%,%），

將直線PN的方程代入橢圓C的方程，整理得（1+2Y）/+4klwc+2/-8=0,

2

-4km2m-S,,/,\o2m

所以玉2=^^記，*2=]+2/，%+%=&（%+々）+2根=五壽，

-4km2m、

由。Af=OP+ON，得知

1+2/'1+2公)

將M點的坐標(biāo)代入橢圓C方程得加2=1+2公.

\ffn______

又點。到直線PN的距離為d=-j==，|PN|=Jl+公友一司，

l48/c2+24

，?(%2一尤2=

:.S=d=帆*,一百=1+23JXI+J4%V2如+1=2\/6-

綜上，平行四邊形OPMN的面積S為定值2網(wǎng).

【點睛】

本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長和面積的計算，意在考查學(xué)生

對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.

20、（1）直線1的參數(shù)方程為｛、「豆:藍(lán)皿&為參數(shù)），圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：儀.1）2+6病2=512）a=J

或竽

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）把直線I的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系得出a.

【詳解】

（1）因為直線1過點P（0,於），且傾斜角為a,

所以直線1的參數(shù)方程為｛「荒潴皿（t為參數(shù)），

因為圓C的極坐標(biāo)方程為p?-4pcos（0-^）-1=0,

所以p~-2pcos9-2招psin。-1=0，

22

所以圓C的普通方程為：x+y-2x-2V3y-1=0，

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x」）2+（y一招）2=,

⑵直線1的參數(shù)方程為｛丫｝荒荒四，代入圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程得。-）2+（囪皿）2=5,

整理得『-2tcosa-4=0，

設(shè)M、N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為小t2,則△＞咂成立，k+t2=2cosa,

所以l|PM|-|PN|I=I"+t,l=|2cosa|=屈Cosa=±y.

因為0“＜兀，所以（!=演￥.

44

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

1〃+4

21、⑴??=-?+1；⑵5,=2-茨丁.

【解析】

【分析】

(1)方程/-51+6=0的兩根為2,3,由題意得%=3,%=2,在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出;

(2)利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前〃項和公式即可求出.

【詳解】

方程X?—5x+6=0的兩根為2,3.

由題意得az=2,a4=3.

13

設(shè)數(shù)列伯力的公差為d,則a4—a2=2d,故~=彳，從而得跖=,?

所以｛an｝的通項公式為an=1n+l.

(2)設(shè)［表］的前n項和為Sn，

一，、「an+2

由⑴知京=夏丁，

3,4,?〃+1?

則mISn=￥+尹+.“+^-+

1o_34n+1〃+2

5s產(chǎn)研+夢+…+尹+廣

兩式相減得

〃+2

2足

=W擊卜等

〃+4

所以Sn=2一于丁?

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和.

【方法點晴】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前〃項和公式、一元二次方程的解法等

知識點的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為2,3,由題意得4='q=2,即可求解數(shù)列的

通項公式，進(jìn)而利用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運算能力，屬于中檔試

題.

22、(1)詳見解析(2)名畫

91

【解析】

【分析】

(1)利用面面垂直，可證PQ，平面A8C,從而有PQL5C,再利用勾股定理證明P3L8C,可證

BC_L平面PQ8,證得結(jié)論.

(2)先證得平面P〃Q_L平面PA8,過點。作QOLPH于點。，有QO_L平面PA6,可證明NQAO

是AC與平面PAB所成的角，在△ABC中，求得QH,可得PH,由等面積法知OQ,即可求解直線AC

與平面PAB所成角的正弦值.

【詳解】

(1)由題意平面PACJ_平面ABC,PQu平面PAC,平面PAC平面ABC=AC,

又PA=PC,AQ=QC,

：.PQ1AC,

PQJ_平面ABC,從而有PQLBC,

又由勾股定理得PBcPB=P,

BC_L平面PQB,即8C_L3Q；

(2)設(shè)BO—x,則AQ=QC=\/x2+1，

222

.D?,x+1+4-X4(x+l)+4-lV3

在AABC中，----/=1~~—,即80=x=J.

46+186+12

故AQ空,PQ=|，

過。作QHLA5于點“，連接P”,過點。作QOLPH于點。，

連接A。，因為PQLA8且QPcQH=Q,

故AB_L平面PQH,

又因為A3u平面PAB,所以平面FHQJ■平面PA8,

進(jìn)而有QO,平面PAB,

故ZQAO是AC與平面PAB所成的角，

在A4BC中，有cos/C48=-廣=得

2<7AQ4

故QH=4,PH=號,

由等面積法知0Q=芝i,

所以sin/QAO=2=,

AQ91

故直線AC與平面PAB所成角的正弦值為二㈡.

91

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了直線與平面所成角

的正弦值，關(guān)鍵是正確作出直線與平面所成角，是中檔題.2019-2020高考數(shù)學(xué)模找I試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.函數(shù)f（x）=（：^T）cosx圖象的大致形狀是

4y

A.IB.C./、D.

1213214321

2.已知數(shù)列不不…依它的前10項的規(guī)律,這個數(shù)列的第2019項內(nèi)）i9滿足（）

1121231234

A.1<?20]9<10B.?2019>10

0V?2（H9<.。2019Vl

C.10D.1。

3.在直三棱柱ABC—4中，AB=AC=AA=1,ABLAC,點E為棱A4,的中點，則點G到

平面4EC的距離等于（）

J_V2V|

A.2B.2c.3D.1

r221

4.設(shè)橢圓T+J=l（m>0,〃〉0）的焦點與拋物線f=8y的焦點相同，離心率為彳，則“一〃=

mn~2

A.2A/3-4B.4-3^3

C4>/3-8口8-4-\/3

22

5.設(shè)￡和鳥為雙曲線/>0）的兩個焦點，若點P（0,2b）,耳,月是等腰直角三角形

ab~

的三個頂點，則雙曲線的漸近線方程是（）

+八k±旦'±3y=±^X

A.y=±J3xB.7c.3D.3

6.2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海

市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到上海市、

江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有

一個地方未被選中的概率為（）

279817

A.64B.16C.256D.16

7.在平面斜坐標(biāo)系xO），中，ZxOy=45°,點P的斜坐標(biāo)定義為“若=+為02（其中q.e2分別為

與斜坐標(biāo)系的x軸、，軸同方向的單位向量），則點P的坐標(biāo)為（天,％）”.若耳（-1,0）,名（1,0）,且動點

加（％、）滿足|吟|=|"同，則點M在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為（）

Ax-y/2y=0Bx+42y=0cj2x-y=ODj2x+y=0

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

A.25B.56C.119D.246

2x

9.已知函數(shù)/（x+l）=log2；；—,若f（a）=b,貝!|/（4-a）=（）

2—x

b

A.B.2-bc-bD4-h

10.甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.若從這6名教師中任選2名，選

出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為（）

2432

A.9B.9C.二D.5

11.在等差數(shù)列｛q｝中，已知g=2,前7項和$7=56,則公差d=（）

A.2B.3C.-2D.-3

12.已知函數(shù)0=21"°若&］）=小,凡1力2）,則,1+*2的最大值為（）

e,x>0

也L

A.~2B.21n2一42C.31n2-2D.In2-1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在極坐標(biāo)系下，點’2與曲線夕=2cos0上的動點Q距離的最小值為.

x-y+2>0

<x+y+%20

14.已知實數(shù)%滿足約束條件1X~1，且z=x+2y的最小值為3,則常數(shù)"=.

is.在平面直角坐標(biāo)系“。了中，。為坐標(biāo)原點，動點用到點P（L°）與到點Q（4,°）的距離之比為5,已

知點4e，0）,則NOMA的最大值為.

_J_9

16.設(shè)數(shù)列｛""｝是遞減的等比數(shù)列，且滿足“必5,44,貝產(chǎn)火%%的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖1所示，在等腰梯形A8C。中，AB//CD,ZBAD=45°,AB=2CD=4,息E為AB

的中點.將AAOE沿DE折起，使點A到達(dá)P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P-EBCD，點M為梭PB

的中點.

圖1圖2求證：〃平面MCE；若

平面POEJ.平面EBC。，求三棱錐8CE的體積.

12

f（x）=x——（Inx）-^lnx-1宣、、小，、,

18.（12分）已知’2（火CR）.若A、）是（°，+00）上的增函數(shù)，求”的取值范圍;

若函數(shù)f（x）有兩個極值點，判斷函數(shù)f（X）零點的個數(shù).

19.（12分）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的6倍，P為側(cè)棱SD

上的點.

p

BC求證：ACLSD；若底面正方形邊長為2,且so,平面PAC,求三棱錐A-PC°

的體積.

20.（12分）田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事，說的是齊國將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬，孫臏

發(fā)也們的馬腳力都差不多，都分為上、中、下三等?于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略：比賽即將

開始時，他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬，用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬，用中等馬對戰(zhàn)公子們的

下等馬，從而使田忌贏得公子們許多賭注?假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進(jìn)行一場比賽獲勝的

概率如表所示：

田忌的馬/獲勝概

上等馬中等馬下等馬

率/公子的馬

上等馬0.50.81

中等馬0.20.50.9

下等馬00.050.4

比賽規(guī)則規(guī)定：一次比由三場賽馬組成，每場由公子和田忌各出一匹馬出騫，結(jié)果只有勝和負(fù)兩種，并且

每一方三場賽馬的馬的等級各不相同，三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

0）如果比賽約定，只能同等級馬對戰(zhàn)，每次比賽賭注1000金，即勝利者贏得對方1000金，每月比賽一

次，求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.

21.（12分）某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧

奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了更好的制定2019

年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦隨機統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入

并制成如下頻率分布直方圖：

根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入G（單位:

千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；由頻率分布直方圖可認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服

從正態(tài)分布N3Q2）,其中H近似為年平均收入102M似為樣本方差S2,經(jīng)計算得s?=6.92?利用該正態(tài)分布，

求：在2018年脫貧攻堅工作中，該地區(qū)約有8414%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，

則最低年收入大約為多少千元？為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了

1000位農(nóng)民.若每個農(nóng)民的年收入相互獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)約為

多少？

參考數(shù)據(jù)：?2.63,^X-N（pi,o2）,貝吸（廠。WXS口+o）=06827；P（n-2o<X<g+2o）=0.9545.

P（H-3o<X<g+3o）=0.9973,

22.（10分）已知橢圓C標(biāo)離心率等于5,P（2,3）、Q（2，—3）是橢圓上的兩點.

求橢圓°的方程；4§是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點.當(dāng)A,3運動時，滿足44PQ=/BPQ,試問

直線A3的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1>B

2、B

3、C

4、A

5、C

6、B

7、D

8、C

9、B

10、D

11、B

12、C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、&T

14、-2.

7T

1JL5Q、7?

16、64.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)

6

【解析】

【分析】

(1)連接8。，交CE于點。，連接0M,易知底面EBCZ)是平行四邊形，則。為8。中點，又M是BP

中點，可知MO,則結(jié)論可證.

(2)先證明ADE是等腰直角三角形，由條件中的面面垂直可得PD±平面BCDE，則由(1)可知MN，

平面BCOE,則MN為三棱錐8CE的高，底面BCE的面積容易求得，根據(jù)公式求三棱錐

M—的體積.

【詳解】

(1)在平面圖中，

因為3￡：=,48=。。且8￡//。,

2

所以四邊形EBCD是平行四邊形；

在立體圖中，

連接3D,交CE于點0,連接0M,所以點。是8。的中點，又因為點M為棱P8的中點,

所以O(shè)M//P。，因為尸。2平面MCE,OMu平面MCE,

所以P。//平面A/CE：

(2)在平面圖中，

因為E8CD是平行四邊形，所以。E=BC,因為四邊形ABC。是等腰梯形，

所以AO=BC,所以=因為/84。=45°,所以ADLOE；

在立體圖中，PDA.DE,

又平面PDE±平面EBCD,且平面PDEn平面EBCD=DE,PDu平面PDE

所以平面

由(1)知OM//PD,所以平面E8CO,

在等腰直角三角形AOE中，因為AE=2,所以AD=Z)E=&，

115

所以0M=—PQ=—AO=J，又S即CE=SMDF=1，

222

所以匕M/-BLC匕E~3SAgzc>CECOM=6.

【點睛】

本題考查平面幾何與立體幾何的關(guān)系，線面平行的證明，面面垂直的性質(zhì)等，有一定的綜合性，屬中等題.

18、(1)(-oo,l](2)三個零點

【解析】

【分析】

(1)由題意知/'(司20恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(x)=xTnx-Z,對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果;

(2)當(dāng)％>1時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點，再證/(%)>0,/(^)<0.

【詳解】

(1)由/(X)=x--(inx)2-Zclnx-1f\x)=—~,

2x

由題意知/'(%)20恒成立，即x——設(shè)尸(x)=x—lnr—Z,F(x)=l--,

X

xe(O,l)時廣(x)<0,F(x)遞減，xe。,”)時，F(xiàn)(x)>0,尸(x)遞增；

故F(x)min=E(l)=l一攵NO,即上41，故人的取值范圍是(—山.

(2)當(dāng)上41時，/(x)單調(diào)，無極值；

當(dāng)%>1時，產(chǎn)(1)=1一攵<0,

一方面，F(xiàn)『)=eT>0,且尸(x)在(0,1)遞減，所以產(chǎn)(力在區(qū)間(1,1)有一個零點.

另一方面，F(xiàn)(ek)^ek-2k,設(shè)g優(yōu))=/-2攵(Z>1),貝！Jg")=e*-2>0,從而g(Z)

在(1,內(nèi))遞增，則g(左)>g(l)=e-2>0,即4/)>(),又產(chǎn)(x)在(1,y)遞增，所以

尸(x)在區(qū)間(1,/)有一個零點.

因此，當(dāng)人>1時/'(x)在("?/)和(1,/)各有一個零點，將這兩個零點記為玉，

X2(%當(dāng)XG(0,X])時尸(％)>0,即當(dāng)丁?5,％2)時尸(x)<0,即

/,(x)<0；當(dāng)xw(孫4<?)時尸(力>0,即r(x)>0：從而/(x)在(0,%)遞增，在(%,馬)

遞減，在(9,欣)遞增；于是』是函數(shù)的極大值點，毛是函數(shù)的極小值點.

下面證明：/(玉)>0,/(^)<0

1

由/'(g)=0得X1-1叫_女=0,即左=不_］叫，由/(七)=百--0叫-1

得/(玉)=XI)2_(玉-IILXJ)Inx,-1=玉+g(laxj--xjnx,-1,

12(l-x)lnx

令=x+/(ln_ry-xlnx-l,則加(x)

x

①當(dāng)xe(O,l)時加(x)<0,m(x)遞減，則鞏x)>m(1)=0,而為<1,故/(石)>0；

②當(dāng)xw(l,+oo)時加(X)<(),制力遞減，則加(%)<機(1)=(),而W>1,故/(%2)<°；

一方面，因為M"2*)=e-2*_1<0,又/(刈>0,且“X)在(0,石)遞增，所以“X)在

(,%,)上有一個零點，即/(x)在(0,石)上有一個零點.

另一方面，根據(jù)e*>l+x(x>0)得e*>1+左，則有：

/(e")=e"—12左2一1〉(1+左)4_12左2_1+4k^k_^+lk>Q,

又/(當(dāng))<0,且/(x)在(冷心)遞增，故/(X)在(％，*)上有一個零點，故/(x)在

(*2,+8)上有一個零點.

又/⑴=0,故/。)有三個零點.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點時，有一種方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解,

再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動直線與函數(shù)圖象交點問題，這樣就

可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結(jié)論.

19、⑴見解析;⑵如.

6

【解析】

【分析】

(1)連8。，設(shè)AC交8。于。，由題意SO_LAC,在正方形ABC。中，AC1BD,

所以ACL平面S3。，得ACLSO；(2)連OP,由(1)知AC,平面SBO,所以AC_LOP,

由SD_L平面PAC,知SDLOP,所以/尸。。=30，可得P到。。的距離為亞，由匕_的=匕>一"

4

可得結(jié)果.

【詳解】

(1)連80,設(shè)AC交8。于。，由題意SO_LAC.

在正方形43co中，ACLBD,

所以ACL平面S8O,得ACLSO.

（2）由已知ASBO邊長為2起的正三角形，則SD=2夜，

又?！?gt;=及，所以NS0O=6O，

連OP,由（1）知AC_L平面S8O,所以AC_LOP,

由SO_L平面PAC,知SOLOP,所以NP0O=3O，

在放APOO中，P到0。的距離為逅，

4

所以匕“CO=%-4CT>=1x^^x2=^^?

八一rVi-/r-Cd/

54o

【點睛】

解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用

判定定理；（2）利用判定定理的推論,a）；（3）利用面面平行的性質(zhì)

（a_La,a||77=a'/7）；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直

線垂直于另一個平面.

20、（1）0.72；（2）見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意知，田忌第三場比賽必輸，則前兩場比賽都勝，因而利用相互獨立事件的概率乘法公式可得出

答案；

（2）先計算出田忌比賽一次獲勝的概率，并計算出田忌比賽一次獲利的數(shù)學(xué)期望，這個期望乘以12即可

得出田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望。

【詳解】

（1）記事件A：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，

對于事件A,三場比賽中，由于第三場必輸，則前兩次比賽中田忌都勝，

因此，P（A）=0.8x0.9=0.72；

（2）設(shè)田忌在每次比賽所得獎金為隨機變量則隨機變量二的可能取值為-1000和1000,

若比賽一次，田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝、負(fù)勝勝、勝負(fù)勝、勝勝負(fù)，

112]]39

設(shè)比賽一次，田忌獲勝的概率為P,則。=7*彳*三*3+彳、彳==.

22522520

隨機變量J的分布列如下表所示:

-10001000

119

P

2020

119

所以，^=-1000x—+1000x—=-100.

因此，田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為-100x12=-1200金。

【點睛】

本題考查離散型隨機變量及其數(shù)學(xué)期望,解決本題的關(guān)鍵就是弄清概率的類型，并計算出相應(yīng)事件的概率,

考查計算能力，屬于中等題。

21、(I)17.40,(II)(i)14.77；(ii)978.

【解析】

【分析】

(I)利用公式G=XR+…+.P便解

(H)(i)由正態(tài)分布的性質(zhì)得出P(x212.14)xO,9773,從而得出最低年收入；

(ii)根據(jù)題意恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(&=k)=J20P乂吩)】。。。*,根

據(jù)p的范圍得出P4=k-1)與P(&=k)的關(guān)系，從而得出結(jié)果。

【詳解】

解：(I)G=12/0,04+14x0.12+16x0.28+18x0.36+20x0.10+22x0.06+24x0.04=17.40(千元),

(II)由題意，X?N(17.40,6.92)

(I)因為p(x>p-c)=5+0.8414，

所以H-c=14.77時滿足題意，

即最低年收入大約為1477千元；

(ii)由p(x>12.14)=P(X>g-2o)=；+”含?0.9773

得，每個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率為0.9773,

記1000個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為0

則:?B(1000,p),p=0.9773,

于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P9=k)=C蕊pk(l-p)i°0°Y,

iih上P?=k)(1001-k)p

從而由pW=k-l)=k(l-p)>hk<lOOlp=978.2773

所以當(dāng)OWk3978時，P(t=k-l)<P(t=k)

當(dāng)時，

由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)大約為978.

【點睛】

本題主要考查概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是對平均值公式、正態(tài)曲線圖象的特征、獨立重復(fù)試驗

特征等要正確的記憶與理解。

r2V21

22、(1)—+^-=1；(2)定點一

16122

【解析】

【分析】

(1)由題意列式關(guān)于a,b,c的方程組，求解可得a,b的值，則橢圓C的方程可求；

(2)設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的直線方程為y-3=k(x-2)將直線的方程代入

橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得xi+2,同理

PB的直線方程為y-3=-k(x-2),可得X2+2,從而得出AB的斜率為定值.

【詳解】

a2

49

解：(1)由題意可得"/+記=1，解得a=4,b=2j5，c=2.

22

...橢圓C的方程為土+上=1；

1612

(2)設(shè)A(xi，yi),B(x2>y2),

當(dāng)NAPQ=NBPQ,則PA、PB的斜率之和為0,設(shè)直線PA的斜率為k,

則PB的斜率為-k,直線PA的直線方程為y-3=k(x-2),

y=Z(x—2)+3

聯(lián)立《22得