高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱簡略版

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提一 極（一）極限七大題limPm(x)（m,n分別表示多項式的冪次）要求 A:達(dá)到口算水平；B:過程即“除大 lim分子x?a分母

a

10 “0/0型”法則繼續(xù)計算求將a1 直接帶入a題型三（進(jìn)入考場的主要戰(zhàn)場x?a

注：應(yīng)首先識別類型是否為為“1￥))=： 口訣：得1得+得內(nèi)框，內(nèi)框一翻就是e（三步曲題型四等價無窮小替換（

0A:limf

B:xC:x

f=1f和g等價gf=0f是g的高階f和g的順g常用等價替換1sin4e1~7arctan2tan5ln(1)31cos~126n11~n1~1~221）自反性：~2）若~，則~3）若~，~，則~A:0B:乘除可換，加減M=elnM進(jìn)行等價替換limf 0f(x)=0g(x)不存在但有界x?x有界：$M,|g(x) 識別不存在但有界的函數(shù)：sinゥ, ,eゥ,題型六 ，題型七 ，題型三&題型四的綜（二）極限的應(yīng)1

limf(x)=Ax?

f

f(x0

0)=

limf(x)x?

f

0)

f(x0

0)

f(x0間斷點(diǎn)及分類（★難點(diǎn)把握兩個問題：第一，如何找間斷點(diǎn)；第二，間斷點(diǎn)分類（難ff(x0+0f(x0-0)=limf(x)x?

A,Ⅰf(x0f(x0+0)?f 二 導(dǎo)數(shù)（堅守的陣地（一）12、f'(x0

df(x0)=唯一切線斜率（攻3、tanb

y=f(x0+

f(x0) 4、f'(x0

x?

f(x0

x)-x

f(x0

拓展limf(x0+)-?

f(x0)=A

f'(x0注意：1）分段點(diǎn)求導(dǎo) 用定義（

'(x0)'(x0)

limfx?limfx?

x+x0)-x+x0)-x

f(x0(左支f(x0(右支

f+'(x0)

f-'(x0（二）導(dǎo)數(shù)常1c7(tanx)sec2x cos2(cotx)csc2x sin2(secx)'tanxsec(cscx)'cotxcsc2xnnxn1n3axaxlnaa4ex5(logx) xln(lgx) xlnxx 1(arccosx) 1(arctanx)' 1(arccotx)' 186sinxcos(cosx)sin（三）導(dǎo)數(shù)運(yùn)1(uvu'v+uv

(uvw)'=u'vw+uv'w+u'v-uv2（四）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（內(nèi)容2 lnx1(ln|x|)1

|x形如：u(x)v(x) 利用M=elnM等價替y（五）高階導(dǎo)

f(x)奇

y' ②y

f(x)偶

y'1xn(n)xn(m)0(m3sinx(n)sinxn 2 (cosx)(n)cosxn 2 2 (1)n axb (ax4(eax)(n)（六）微1 基本知

dy

y'

dx2 參數(shù)方程求導(dǎo)（考試重點(diǎn)

xy2

求(dy)

d2,

t：dy=yt

dy

dx xt

xt3 符號型求 4 隱函數(shù)求導(dǎo)（必考yf(x),一元顯

uf(xy),二元顯函

yy(x),一元隱函f(xyg(x,5 對數(shù)法求（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)1

求

d2,dx2切線斜率就是在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 法線斜率×切線斜率=-2 法則（極限題型六

f(x)

f

g(x)

0,

g0

；2.3y'0,xIyA：

y'0,xIyB：單調(diào)界點(diǎn)→極值點(diǎn)（判據(jù)C:極值點(diǎn)可疑點(diǎn)（y0&y'不存在如果limf(xA,則yA是yf(x)的水D:

如果limf(x，則xa是yf(x)的垂直y0xIy凹（y0xIy凸（B:凹凸界點(diǎn)且能取值→拐C：y0&y''一般求解步驟計算yy4比較：1）f'(x)0,f'不存在極值可疑點(diǎn) 2）端5（1）yf(x),建模（關(guān)鍵點(diǎn)所在y0xx*(符合實際三、多元微分學(xué)（一）數(shù)一階偏導(dǎo)uu

xux(x變y常

uu

y

（二）yf(xdyyuf(xyduudxu

可微可可微偏導(dǎo)數(shù)存在 （三）(高)二階偏

u ux2x(x),xyx(y

(u

(u

（四）隱函數(shù)求F(xyz0,一般zz(x

zF F

zF F

zz(x（五）符號型求導(dǎo)（必考1．u

(y

2.uf(xyx2yf為已知函數(shù)（第二類(重點(diǎn)★)會畫關(guān)系u

uf(xy2x3yf已知.xyxy1（1）u

u（2

u

2u四 不定積分（一）知性質(zhì)：[f(x)dxf(xd[f(x)dxf(x)dxdF(x)F(x基本1xndx1xn1C(nn7cscxdxln|cotxcscx|secxdxln|tanxsecx|21dxxln||3axdx xdx a2 dx1arctanxCa2x2 dx1lnaxa2 a dxlnx x2Ax24exdxex5sinxdxcosxcosxdxsinx86sec2xdxtanxcsc2xdxcotx（二）求不定積分的四大方1dx1d(axbab均為常數(shù)見到一元二次方程敏感的想到配方

c(axb)a(cxd)

(axb)(cxd

bc

(axb)(cxd

bc

(cxd (ax利用三角函數(shù)和差化積和積化和差積2'(x)f3：udvuv

vlnarctanlnarctane

ve2xsin3xdx,e2dx,

sin

dx,

ln

dxsinx2dxsin(lnx)dxexcos4xdx x4axaxax

t2 t,即 aaa2xasina2xatanx2xa替換原理sin2xcos2x1tan2xsec2五 定積（一）分計1.N-L（-f(x)dxF(x)aabf(x)dxF(b)F(a)F(x)aa2.（二）分性

b t(b

1 1(a)f[(t)] （2）bf(x)dx

f若a

d(bf(t)dt) )d )d更名af(x)dxaf(t)dtaf 拆分af(x)dxaf(x)dx

f積分性質(zhì)的運(yùn)用三角函數(shù)積分（實質(zhì)是判斷三角函數(shù)符號進(jìn)行拆分積分運(yùn)算af(x)則af(x)dxa★xxx（1）g(x)x

f

(af(t)dt)'xf

★x推廣

2(x)f

f(2(x))'2(x)f(1(x))上限帶入乘上限求導(dǎo)(2)法則（極限題型七7 （1） （2）（3）u

f(x)dxFu ulimFu

f 收 發(fā)（三）分應(yīng)（x軸y軸2bSa[2(x2b

dxdx

Sc[2y1

xdVf(x2xb 1：V f2 xa ydVy2xf 2：Vy ba y xdVx2yy 1：Vx dcy)dy y軸dVy2 2：V (d2yyc（四）積：bdx2(x)f(x,y)dyb[2(x)f(x, f(xy)d定限D(zhuǎn)

f(x,f(x,f(x,y)dbdxf(x, Df(x,f(x,y)dddy2f(x, D

eAx2,sin

1, ,sin

,lnx x思路:原累次積分原二重積分限方向新累次積f(rf(x,y)dxdydr2(f(r

,rsin) D六 常微分方程（一）變量y'H(x)G( 步驟：①dyH(x)G(y)dy H G(

Jacobi注意：ln注意：ln|①|(zhì)ln|②|C化簡之

y'

f(x：令ux（二）一階線性O(shè)DE（重點(diǎn)y'p(xyq(xp(x、q(x一 次 y(q(x)epx)dxdxCep找到p(x)、q(x)

px)dx，計算epx)dxepx)dx

y(q(x)ep(x)dxdxC)ep(x)dx

ln||，不要“||（三）題1：貝努里方程y'p(xyq(xynyny'p(xy1nq(xyndyp(xy1n11

dy1n

p(x)y1n

1

dup(x)uq(x)

u=y1-題型2：積分方 特定條件y'(0)xf(x)滿足下列方程：f(x)+ò0f(t)dt

x求fxy(x)=ò0f(t)dtf(x

yy'(x)+y(x)=p= ;q

;òpdx

;eòpdx

ò = òy(q(x)epx)dxdxCepx)dx3：l2;y l; l2;y l; y

=

yl2

pl+q=0解出l1、l

（補(bǔ)充：l -b-b Cel1x+Cel2

l1、l

y Cel1x+Cxel2 ，l eax(Ccosbx+

sinb

，l=a憊ib ：y

py'+qy=eax(P(x)cosbx+Q(x)sinb

abmnuky''+py'+qy=fy''+py'+qy=l2

pl+q=

解出l1、l

;得2)讀參數(shù)abmnüfu=a

ib

l=max{m, 可設(shè)特解方程：y*=xkeax(P(x)?cosb Q(x)?sinb l=ABl=cx+l=ax2+bx+ax2+bx+ y=y*,原方程，確定系3）y=y+

微分方程：y

y

2y=y

y

2y=y

y

2y=0，即 - - =0，l1

,l2= y= + 3e2xe2x（ + （草稿紙上做a= ,b

,m

,n= u= ,k= ,l=max{m,n}= y*

x1e2x

x)

Bsin(0?x))=Axe2

（草稿紙上做y*'= y*''=

y

2y=0，解出系數(shù)A= \y*= 七 級（一）

③y

y+y*= + a0a1a2...an... Sna0a1a2...n收斂的必要條件liman

limSnn

S有 收或不存在

an(an

NnYnY>1<1=1>1<1=1 第二部分交錯（1）法

(1)n1.交錯(-2.1.交錯(-2.an3.liman=n

bn收斂，且為絕對收斂

nnna揪加絕值 nn

法則法則條件收

an??收?收收收?發(fā)發(fā)發(fā)+發(fā)=第三部分級收斂域和收斂半

+??n=

an(x

0x0

an

;

= ： ： 將x+? xx1）1：

=n=

,-

x<+? +? +? n2）

=?xn=x

=?(-1+n=1+

x,(|x|<00

x)n)'

(an(x

x)n)x蝌(邋a(xx蝌

x)n)dx

0x0 a(x

xx x 八 空間解析幾（一）運(yùn)|a a2a2a aai|a a2a2a aabab ba ba（1）ab

M1M2M1M2

y,

Or

M2（二）

1 點(diǎn)法式：nMM0 A(xx0)B(yy0)C(zz0)2x3y5z0n{__直x-x0=y-y0=z- 九 證明題綜述（一）定理（零點(diǎn)定理）（1）f(x)f

f(b)

(a,b),使得f(1.f(a)f(b)0,a,f

f

f(b)0,(a,解題要點(diǎn)：A：f(x)是什么 B:[a,b]是什么（二）定理（Roller）（1）f(x)

(a,b),使得f'(f(a)

f解題步驟：A:B:（2

f(x)在()可導(dǎo)f(x)f'()g()f()g'()f'(xRf(xF(x)eRxfxf'(xf(xF(xxff'(x)g(xf(x)g'(xF(x)f(x)g(x)f'(x)g(xf(x)g'(xF(x)

ff'(xf