牛頓插值公式

牛頓插值公式第一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5

重節(jié)點(diǎn)差商定義5

(重節(jié)點(diǎn)差商)若,?則定義

類似的有分析：(2)首先,由定義泰勒展開(kāi)式第二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)首先,由定義泰勒展開(kāi)式證明：第三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日給定的函數(shù)表并記§5

差分，等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式5.1差分及性質(zhì)

且即1、差分（1）記號(hào)—向前差分算子；在稱為點(diǎn)的步長(zhǎng)為h的一階向前差分—中心差分算子.定義6—向后差分算子；

—二階向前差分；

—二階向后差分；若

—二階中心差分；、向后、中心差分.分別第五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)一般地，—階向前差分；—階向后差分；I

—

不變算子（恒等算子）；

（4）設(shè)A與B為兩算子,如，則稱算子A與B為相等。記為若，則稱A為B的逆算子。記為若（自己證）E

—

位移算子第六頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、性質(zhì)性質(zhì)1

的各階差分均可用函數(shù)值表示。

其中

證明：

用算子二項(xiàng)式定理：得即#第七頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日用歸納法可證。性質(zhì)2

差分與差商的關(guān)系

令

證明：

當(dāng)m=1時(shí)，假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，有則#自己證一般地第八頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)3

差分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系

證明：

性質(zhì)2定理75.2牛頓向前插值，向后插值公式

函數(shù)表設(shè)有

—

被插值點(diǎn)。（1）當(dāng)靠近(表初或差頭)時(shí)，通常取插值節(jié)點(diǎn)：以下推導(dǎo)以為節(jié)點(diǎn)的等距插值公式。作變換

則又由

1、公式自己證第九頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

代入(4.2)：（牛頓前插公式或表初公式）：即得牛頓向前插值公式系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)第十頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日作變換

又則再由

（牛頓后插公式或表末公式）：即得牛頓向后插值公式（2）當(dāng)靠近時(shí)，通常取插值節(jié)點(diǎn)：，以下為插值節(jié)點(diǎn)的等距插值公式。推導(dǎo)以系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注：（1）（5.2）、(5.3)使用于等距節(jié)點(diǎn)。

（2）（5.2）、(5.3)的系數(shù)分別為，差分表2-7求解方法見(jiàn)表2-7。(5.2)的系數(shù)(5.3)的系數(shù)第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日說(shuō)明:節(jié)點(diǎn)的取法：取與x盡量接近的節(jié)點(diǎn)。注意兩點(diǎn)，首先，若2、計(jì)算量（1）計(jì)算差分（計(jì)算量忽略不記）；（2）由前插（后插）公式計(jì)算近似值：（計(jì)算步驟）乘除法次數(shù)大約為:+秦九韶算法達(dá)到了誤差要求，則其他一些節(jié)點(diǎn)就用不到了，因此，表中的n可以相當(dāng)大，牛頓插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初式計(jì)算。在公式中的比重是一樣的。若x不在表初、表末而在表中間，則有例4。例4還有另外的選取節(jié)點(diǎn)的方法，也可以用牛頓向后插值公公式中似乎占有較大比重，而從誤差公式的對(duì)稱性知第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4

已知

Bessel函數(shù)函數(shù)表試用牛頓向前插值公式計(jì)算近似值。解：取各階差分見(jiàn)表2-8

第十四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日表2-8解：取各階差分見(jiàn)表2-8

表2-9，如表2-9。利用牛頓向前插值公式（5.2）計(jì)算精確值：第十五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日說(shuō)明：也可取節(jié)點(diǎn)為利用牛頓向后插值公式（5.3）計(jì)算。本課重點(diǎn)：