天津市年中考數(shù)學(xué)題型專項訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)問題含答案名師(完整版)資料

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天津市年中考數(shù)學(xué)題型專項訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)問題(含答案名師（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）旋轉(zhuǎn)問題1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A的坐標(biāo)為(0,2),△ABO為等邊三角形,P是x軸上的一個動點(不與O點重合),將線段AP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,P點的對應(yīng)點為點Q.

(Ⅰ)求點B的坐標(biāo);

(Ⅱ)當(dāng)點P在x軸負(fù)半軸運(yùn)動時,求證:∠ABQ=90°;

(Ⅲ)連接OQ,在點P運(yùn)動的過程中,當(dāng)OQ平行AB時,求點P的坐標(biāo).第1題圖解:(Ⅰ)如解圖①,過點B作BC⊥x軸于點C,

∵△AOB為等邊三角形,且OA=2,

∴∠AOB=60°,OB=OA=2,

∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,

∴BC=OB=1,OC=,

∴點B的坐標(biāo)為B(,1);

(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均為等邊三角形,

∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,

∴∠PAO=∠QAB,

在△APO與△AQB中,,

∴△APO≌△AQB,

∴∠ABQ=∠AOP=90°;

(Ⅲ)當(dāng)點P在x軸正半軸上時,

∵∠OAB=60°,

∴將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°時,點Q在點B上方,

∴OQ和AB必相交,

當(dāng)點P在x軸負(fù)半軸上時,點Q在點B的下方,

∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.

在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°－∠BOQ=30°,

∴BQ=,

由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,

∴OP=BQ=,

∴此時點P的坐標(biāo)為(－,0).圖①圖②第1題解圖2.在直角坐標(biāo)系中,OA=CD,OB=OD,CD⊥x軸于D,E、F分別是OB、OD中點,連接EF交AC于點G.

(Ⅰ)如圖①,若點A的坐標(biāo)為(－2,0),S△OCD=5,求點B的坐標(biāo);

(Ⅱ)如圖②,當(dāng)OB=2OA時,求證:點G為AC的中點;

(Ⅲ)如圖③,當(dāng)OB＞2OA,△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的結(jié)論是否還成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.

第2題圖解:(Ⅰ)∵A(－2,0),

∴OA=2,

∵CD⊥OD,CD=OA=2,

又∵S△OCD=5,

∴×OD×2=5,

∴OD=5,

∴OB=OD=5,

∴B(0,5);

(Ⅱ)如解圖①,連接EC、AE、CF.

∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,

∴CD=OB,

∵EB=EO,OF=DF,

∴OE∥CD,OE=CD,

∴四邊形OECD是平行四邊形,

∴EC=OD,

∵AF=OD=EC,

∴EC=AF,EC∥AF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∴AG=CG,即點G為AC的中點;

(Ⅲ)成立.

理由:如解圖②,連接AE、CF,在FE上取一點H,使得CH=CF.∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,

∴OE=DF,∵∠AOE=∠FDC,OA=CD,

∴△AOE≌△CDF,

∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,

∵OE=OF,

∴∠OEF=∠OFE,

∵∠AEG=∠AEO＋∠OEF,∠CHG=180°－∠CHF=180°－∠CFH=180°－(180°－∠OFE－∠CFD)=∠OFE＋∠CFD,

∴∠AEG=∠CHG,

∵∠AGE=∠CGH,

∴△AEG≌△CHG,

∴AG=CG,即點G為AC的中點.圖①圖②第2題解圖

3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(－8,0),直線BC經(jīng)過點B(－8,6),C(0,6),將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α得到四邊形OA′B′C′,此時邊OA′與邊BC交于點P,邊B′C′與BC的延長線交于點Q,連接AP.

(Ⅰ)求證:四邊形OABC是矩形;

(Ⅱ)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠PAO=∠POA,求P點坐標(biāo).

(Ⅲ)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)P為線段BQ中點時,連接OQ,求△OPQ的面積.第3題圖(Ⅰ)證明:∵點A的坐標(biāo)為(－8,0),點B(－8,6),C(0,6),

∴∠COA=∠OAB=∠B=90°,

∴四邊形OABC是矩形.

(Ⅱ)解:如解圖①,過點P作PE⊥AO于點E,

∵∠PAO=∠POA,

∴PA=PO,

∵PE⊥AO,

∴AE=EO=4,

∴P(－4,6);

(Ⅲ)解:如解圖②,在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中,

,

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q,∴∠OQC=∠OQC',

又∵OP∥C'Q,

∵∠POQ=∠OQC',

∴∠POQ=∠PQO,∴PO=PQ,

∵BP=QP,∴BP=OP=x,

在Rt△OPC中,x2=(8－x)2＋62,解得:x=.

故S△OPQ=×CO×PQ=×6×=.圖①圖②第3題解圖4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A(,0),B(0,1),點P為△OAB內(nèi)任一點,連接PO、PA、PB,將△ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′P′,連接PP′.

(Ⅰ)求點B′的坐標(biāo);

(Ⅱ)當(dāng)△OPA與△APB滿足什么條件時,PO＋PA＋PB的值最小,并求出此最小值;

(Ⅲ)試直接寫出(Ⅱ)中的點P坐標(biāo).

解:(Ⅰ)∵A(,0),B(0,1),

∴AB=2,∠BAO=30°,

∵將△ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′P′,

∴AB′=2,∠B′AO=90°,

∴B′(,2);

(Ⅱ)由旋轉(zhuǎn)可得,△APP′是等邊三角形,

∴PP′=PA,

又∵P′B′=PB,∴PO＋PA＋PB=PO＋PP′＋P′B′,

∴如解圖①,當(dāng)O、P、P′、B′四點共線時,PO＋PA＋PB的值最小,

∴當(dāng)∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°時,PO＋PA＋PB的值最小,

此時,PO＋PA＋PB=OB′==;

(Ⅲ)如解圖②,將(Ⅱ)中的△OPB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OB″P″,則∠BOB″=60°,OB″=OB=1

∴點B″的坐標(biāo)為(－,),

由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四點共線,

∴點P為OB′與AB″的交點,

根據(jù)A、B″兩點的坐標(biāo)可得直線AB″的解析式為y=－x＋,

根據(jù)B′的坐標(biāo)可得直線OB′的解析式為y=x,

聯(lián)立方程組,解得P(,).圖①圖②第4題解圖5.如圖,將兩塊直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°,且AO=CD=8.現(xiàn)將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為β(0°≤β≤180°).在旋轉(zhuǎn)過程中,直線CD分別與直線AB,OA交于點F,G.

(Ⅰ)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角β=45°時,求點B的坐標(biāo);

(Ⅱ)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)GF=AF,求β的值;(Ⅲ)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BOD=60°時,求直線AB的解析式.

第5題圖解:(Ⅰ)如解圖①,過點B

作BH⊥x軸于點H,

在Rt△AOB中,∠AOB=60°,OA=8,

∴OB=OA=4,

當(dāng)β=45°時,即∠BOC=45°,

∴OH=BH,

∴OH2＋BH2=42

∴OH=BH=2,

∴B(2,2);

(Ⅱ)當(dāng)75°＜β＜180°時,存在FA=FG(如解圖④),

∴∠A=∠FGA=30°,

∴∠COG=45°－30°=15°=∠AOM,

∴β=∠BOC=180°－15°－60°=105°,

∴當(dāng)FG=AF時，β=105°;

(Ⅲ)①當(dāng)點B在第一象限時(如解圖②),過點B作BM⊥OC于點M,∵∠BOD=60°,

∴∠BOC=30°,

∴OM=OB?cos∠BOC＝4×＝2,BM=OB?sin∠BOC＝4×＝2,

∴B(2,2),

∵點A在y軸上

∴A(0,8),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx＋b,

∴,

解得:,

∴直線AB的解析式為:y=－x＋8;

②當(dāng)點B在第二象限時,(如解圖③),

過點B作

BE⊥x軸于點E,過點A作AH⊥BE于H,

∵∠BOD=60°,

∴∠BOE=30°,

∴∠EBO=60°,

∴∠ABH=30°,

又∵OB=4,

∴OE=OB?cos∠BOE＝4×＝2,BE=OB?cos∠BOE＝4×＝2,

∴B(－2,2),

∵∠BEO=∠AHB=90°,∠ABH=∠BOE,

∴△OBE∽△BAH,

∴,

∴AH=2,BH=6

∴A(－4,－4)

設(shè)直線AB的解析式為y=kx＋b,

∴,

解得,∴直線AB的解析式為:y=x＋8.

圖①圖②圖③圖④第5題解圖6.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,點A(3,0),B(0,－4),C是x軸上一動點,過C作CD∥AB交y軸于點D.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若以A,B,C,D為頂點的四邊形的面積等于54,求點C的坐標(biāo);

(Ⅲ)將△AOB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AO′B′,設(shè)D的坐標(biāo)為(0,n),當(dāng)點D落在△AO′B′內(nèi)部(包括邊界)時,求n的取值范圍.(直接寫出答案即可)

第6題圖解:(Ⅰ)∵點A的坐標(biāo)是(3,0),B的坐標(biāo)是(0,－4),

∴OA=3,OB=4.

∵CD∥AB,

∴△AOB∽△COD,

∴;

(Ⅱ)設(shè)OC=3x,則OD=4x,

則AC=3＋3x,BD=4＋4x,

當(dāng)點C在x軸負(fù)半軸上時:

∵四邊形ABCD的面積是54,

∴AC?BD=54,即(3＋3x)(4＋4x)=54,

解得:x=2或－4(舍去).

則點C的坐標(biāo)是(－6,0);

當(dāng)點C在x軸的正半軸上時,S四邊形ABCD=×3x?4x－×3×4=54,

解得:x=或x=－(舍去).

則點C的坐標(biāo)是(3,0);

(Ⅲ)O′的坐標(biāo)是(3,3),

則O′B′與y軸的交點坐標(biāo)是(0,3);

則B′的坐標(biāo)是(－1,3).

設(shè)AB′的解析式是y=kx＋b,

根據(jù)題意得:,

解得:,

則函數(shù)的解析式是y=－x＋,

當(dāng)x=0時,y=.即直線AB′與y軸的交點是(0,).

則n的范圍是≤n≤3.第6題解圖7.如圖,OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為坐標(biāo)原點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=9,OC=15,將矩形紙片OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA1B1C1.將矩形OA1B1C1折疊,使得點B1落在x軸上,并與x軸上的點B2重合,折痕為A1D.

(Ⅰ)求點B2的坐標(biāo);

(Ⅱ)求折痕A1D所在直線的解析式;

(Ⅲ)在x軸上是否存在點P,使得∠BPB1為直角？若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.第7題圖解:(Ⅰ)由條件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9,

∴在Rt△A1OB2中,OB2＝＝12,

∴點B2坐標(biāo)為(12,0);

(Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,則B1D=9－m,

∵B1D=B2D,

∴＝9?m,

解得m=4,

∴D點的坐標(biāo)為(15,4),

又∵A1(0,9),

設(shè)折痕A1D所在直線的解析式為y=kx＋b(k≠0),

∴,

解得,

即折痕A1D所在直線的解析式為y＝?x＋9;

(Ⅲ)假設(shè)存在P點,

∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°,

∴∠BPA＋∠B1PC1=90°,

∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°,

∴∠ABP=∠B1PC1.

在△BAP和△PC1B1中,,

∴△BAP∽△PC1B1.

∴,

∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,設(shè)PC1的長為m,

∴,

解得m1=15或m2=9.

經(jīng)檢驗m1=15或m2=9是方程的兩根,

當(dāng)PC1=15時,P點坐標(biāo)為(0,0);

當(dāng)PC1=9時,P點坐標(biāo)為(6,0).

綜上所述,P點坐標(biāo)為(0,0),(6,0).第7題解圖8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△AOB是等邊三角形,點A的坐標(biāo)是(0,4),點B在第一象限,點P是x軸上的一個動點,連接AP,并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使邊AO與AB重合,得到△ABD.

(Ⅰ)求點B的坐標(biāo)及直線AB的解析式;

(Ⅱ)當(dāng)點P運(yùn)動到點(t,0)時,試用含t的式子表示點D的坐標(biāo);

(Ⅲ)是否存在點P,使△OPD的面積等于,若存在,請求出符合條件的點P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)

第8題圖解:(Ⅰ)如解圖①,過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.

由已知得:BF=OE=2,∴OF==2,

∴點B的坐標(biāo)是(2,2).

設(shè)直線AB的解析式是y=kx＋b(k≠0),

則有,∴.

∴直線AB的解析式是y=－x＋4;

(Ⅱ)∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,

∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.

∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等邊三角形.

如解圖②,過點D作DH⊥x軸于點H,延長EB交DH于點G,則BG⊥DH.

在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,

∴BG=BD?cos60°=t×=.DG=BD?sin60°=t.

∴OH=EG=2＋t,DH=2＋t.

∴點D的坐標(biāo)為(2＋t,2＋t);

(Ⅲ)存在.

假設(shè)存在點P,在它的運(yùn)動過程中,使△OPD的面積等于,設(shè)點P為(t,0),下面分三種情況討論:

①當(dāng)t＞0時,如解圖②,BD=OP=t,DG=t,

∴DH=2＋t.

∵△OPD的面積等于,∴t(2＋t)=,

∴t1=,t2=(舍去).

∴點P1的坐標(biāo)為(,0).

②∵當(dāng)D在x軸上時,如解圖③,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=,

∴當(dāng)－＜t≤0時,如解圖①,BD=OP=－t,BG=－t,

∴DH=GF=2－(－t)=2＋t.

∵△OPD的面積等于,∴－t(2＋t)=,

∴t1=－,t2=－,

∴點P2的坐標(biāo)為(－,0),點P3的坐標(biāo)為(－,0).

③當(dāng)t≤－時,BD=OP=－t,BG=－t,∴DH=－t－2.

∵△OPD的面積等于,

∴(－t)(－2－t)=,

∴t1=,t2=(舍去).

∴點P4的坐標(biāo)為(,0).

綜上所述,點P的坐標(biāo)分別為P1(,0),P2(－,0),P3(－,0),P4(,0).圖①圖②圖③第8題解圖9.在平面直角坐標(biāo)系中,點

A(－2,0),B(2,0),C(0,2),點

D,點E分別是

AC,BC的中點,將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′,旋轉(zhuǎn)角為α,連接

AD′,BE′.

(Ⅰ)如圖①,若

0°＜α＜90°,當(dāng)

AD′∥CE′時,求α的大小;

(Ⅱ)如圖②,若

90°＜α＜180°,當(dāng)點

D′落在線段

BE′上時,求

sin∠CBE′的值;

(Ⅲ)若直線AD′與直線BE′相交于點P,求點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍.第9題圖解:(Ⅰ)如解圖①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,∵△CD′E′是△CDE旋轉(zhuǎn)得到的,∴∠D′CE′=90°,

∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,∵D為AC的中點,∴CD=AC,∵CD=CD′,∴CD′=AC,

在Rt△ACD′中,cosα==,

∴α=60°;

(Ⅱ)設(shè)F為D′E′的中點，連接CF,如解圖②,∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1,

又∵BC==2,

∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=;

(Ⅲ)如解圖③中,以C為圓心,CD′為半徑作⊙C,當(dāng)BE′與⊙C相切時AP最長,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.

∵CD′=CD=AC=,∴⊙C的半徑為,∵在Rt△ACD′中,AD′=,∴AP=AD′＋PD′=＋,

∵cos∠PAB=,∴AH=2＋,

∴點P橫坐標(biāo)的最大值為.

如解圖④中,當(dāng)BE′與⊙C相切時AP最短,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.

根據(jù)對稱性可知O