2024屆高考數(shù)學專題22 幾何問題（解析版）

專題22幾何問題例1．正四面體，棱長為1米，一條蟲子從頂點開始爬行，在每一頂點，它等可能選擇三棱之一，沿這棱到其它頂點，記是蟲子從開始爬行了米回到的概率，則；通項公式．，1，2，【解析】小蟲從點出發(fā)，一共分3步走，假設(shè)第一步到，則第二部有三種走法，若回到，則第三步都回不到，若第二部不到，可以到或，到達下一個頂點后又有三種走法，只有一種能回到．其它類同．所以蟲子從開始爬行了3米回到的概率為；（若第三次爬回去，則第四次就不能會到．（若第四次爬回去，則第五次就不能會到．所以．故答案為，．例2．在棱長為1米的正四面體中，有一小蟲從頂點處開始按以下規(guī)則爬行，在每一頂點處以同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭．記小蟲爬了米后重新回到點的概率為．則．【解析】由題意知本題是一個等可能事件的概率，假設(shè)這個四面體的四個頂點分別為，小蟲從開始爬．如果爬到第三次時，小蟲在點，那么第四次就一定不在點，設(shè)小蟲第三次在點的概率為，那么最后的答案就是①設(shè)小蟲第二次在點的概率為，那么最后的概率就是②顯然小蟲第一次爬完之后在點的概率為0，那么③將③代入②，得④將④代入①得故答案為：例3．已知三棱錐中，平面，，，．如圖，從由任何二個頂點確定的向量中任取兩個向量，記變量為所取兩個向量的數(shù)量積的絕對值．（1）當時，求的值．（2）當時，求變量的分布列與期望．【解析】（1）平面，，，，，以為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，，，，，由任何二個頂點確定的向量的個數(shù)為，其中的有，，共2個，．（2）時，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．的取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123．例4．發(fā)展“會員”、提供優(yōu)惠，成為不少實體店在網(wǎng)購沖擊下吸引客流的重要方式．某連鎖店為了吸引會員，在2019年春節(jié)期間推出一系列優(yōu)惠促銷活動．抽獎返現(xiàn)便是針對“白金卡會員”、“金卡會員”、“銀卡會員”、“基本會員”不同級別的會員享受不同的優(yōu)惠的一項活動：“白金卡會員”、金卡會員”、“銀卡會員”、“基本會員”分別有4次、3次、2次、1次抽獎機會．抽獎機如圖：抽獎?wù)叩谝淮伟聪鲁楠勬I，在正四面體的頂點出現(xiàn)一個小球，再次按下抽獎鍵，小球以相等的可能移向鄰近的頂點之一，再次按下抽獎鍵，小球又以相等的可能移向鄰近的頂點之一每一個頂點上均有一個發(fā)光器，小球在某點時，該點等可能發(fā)紅光或藍光，若出現(xiàn)紅光則獲得2個單位現(xiàn)金，若出現(xiàn)藍光則獲得3個單位現(xiàn)金．（1）求“銀卡會員”獲得獎金的分布列；（2），2，3，4，表示第次按下抽獎鍵，小球出現(xiàn)在點處的概率．①求，，，的值；②寫出與關(guān)系式，并說明理由．【解析】（1）設(shè)“銀卡會員”獲得獎金為個單位獎金，則的可能取值為4，5，6，則，，故的分布列為：456（2）①，，，，②若第次按下抽獎鍵時小球出現(xiàn)在點，則第次按下抽獎鍵時小球出現(xiàn)在點的概率為0，若第次按下抽獎鍵時小球不出現(xiàn)在點，則第次按下抽獎鍵時小球出現(xiàn)在點的概率為，．例5．如圖，四棱錐的所有棱長均為1米，一只小蟲從點出發(fā)沿四棱錐爬行，若在每頂點處選擇不同的棱都是等可能的．設(shè)小蟲爬行米后恰回到點的概率為．（1）求，的值；（2）求證：；（3）求證：．【解析】（1）表示從點到（或、、，然后再回到點的概率，所以；因為從點沿一棱爬行，不妨設(shè)為沿著棱再經(jīng)過或，然后再回到點的概率為，所以．（2）證明：設(shè)小蟲爬行米后恰回到點的概率為，那么表示爬行米后恰好沒回到點的概率，則此時小蟲必在（或、、點，所以，即．（3）證明：由，得，從而．所以．例6．假設(shè)位于正四面體頂點處的一只小蟲，沿著正四面體的棱隨機地在頂點間爬行，記小蟲沿棱從一個頂點爬到另一個頂點為一次爬行，小蟲第一次爬行由等可能地爬向、、中的任意一點，每二次爬行又由其所在頂點等可能地爬向其它三點中的任意一點，如此一直爬下去，記第次爬行小蟲位于頂點處的概率為．（1）求，，的值，并寫出的表達式（不要求證明）；（2）設(shè)，試求（用含的式子表示）．【解析】（1），，，猜想：（2）例7．已知正四面體的棱長為．（1）已知點是的中點，點在的內(nèi)部及邊界上運動，且滿足平面，試求點的軌跡；（2）有一個小蟲從點開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了之后，求恰好回到點的概率．【解析】（1）取中點，連接，并取的中點，連，，所以，平面，平面，所以平面．同理可得：平面．因為，為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面平面，所以得到點的軌跡為線段．（2）由題意可得：小蟲爬了，并且恰好回到點，所以小蟲共走過了4條棱，因為每次走某條棱均有3種選擇，所以所有等可能基本事件總數(shù)為．當小蟲走第1條棱時，有3種選擇，即，，，不妨設(shè)小蟲走了，然后小蟲走第2條棱為或或，若第2條棱走的為，則第3條棱可以選擇走，，，計3種可能；若第2條棱走的為，則第3條棱可以選擇走，，計2種可能；同理第2條棱走時，第3棱的走法亦有2種選擇．所以小蟲走后仍回到點的選擇有種可能．所以所求的概率為．例8．設(shè)正四面體的所有棱長都為1米，有一只螞蟻從點開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能的選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，（1）求它爬了4米之后恰好位于頂點的概率（2）求它爬了3米后經(jīng)過的次數(shù)的分布列和均值．【解析】（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，假設(shè)這個四面體的四個頂點分別為，螞蟻從開始爬．如果爬到第三次時，螞蟻在點，那么第四次就一定不在點，設(shè)螞蟻第三次在點的概率為，那么最后的答案就是，①設(shè)螞蟻第二次在點的概率為，那么最后的概率就是，②顯然螞蟻第一次爬完之后在點的概率為0，那么，③將③代入②，得，④將④代入①得．故它爬了4米之后恰好位于頂點的概率為．（2）由已知得的可能取值為0，1，2，，，的分布列為：012．例9．某商家推出一款簡單電子游戲,彈射一次可以將三個相同的小球隨機彈到一個正六邊形的頂點與中心共七個點中的三個位置上(如圖),用S表示這三個球為頂點的三角形的面積.規(guī)定:當三球共線時,S=0;當S最大時,中一等獎,當S最小時,中二等獎,其余情況不中獎,一次游戲只能彈射一次.（1）求甲一次游戲中能中獎的概率;（2）設(shè)這個正六邊形的面積是6,求一次游戲中隨機變量S的分布列及期望值.【解析】（1）甲中獎的概率為（2）S的可能值為:0,1,2,3,其分布列為S0123P例10．如圖，設(shè)為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現(xiàn)任選其中三個不同點構(gòu)成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量.（1）求的概率；（2）求的分布列及數(shù)學期望.【解析】（1）從六個點任選三個不同點構(gòu)成一個三角形共有種不同選法，其中的為有一個是的直角三角形（如：）共種，所以.（2）的所有可能取值為，的為頂角是的等腰三角形（如），共種，所以，的為等邊三角形（如：）共種，所以，又由（1），故的分布列為：所以.例11．已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量表示所得三角形的面積.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其數(shù)學期望．【解析】（1）從個頂點中隨機選取個點構(gòu)成三角形，共有種取法，其中的三角形如，這類三角形共有個因此.（2）由題意，的可能取值為其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形有兩類，，如（個），（個），共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；因此所以隨機變量的概率分布列為：所求數(shù)學期望.例12．某射擊運動員進行射擊訓練，前三次射擊在靶上的著彈點剛好是邊長為的等邊三角形的三個頂點.（Ⅰ）第四次射擊時，該運動員瞄準區(qū)域射擊（不會打到外），則此次射擊的著彈點距的距離都超過的概率為多少？（彈孔大小忽略不計）(Ⅱ)該運動員前三次射擊的成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從這次射擊成績中隨機抽取兩次射擊的成績（記為