概率與二項(xiàng)式定理

第十章排列、組合、概率與二項(xiàng)式定理考綱解讀（一）內(nèi)容解讀1、分類和分布記數(shù)原理2、排列、組合的意義3、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式4、組合數(shù)性質(zhì)5、二項(xiàng)式定理與二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)6、隨機(jī)事件和隨機(jī)事件概率的意義等可能事件概率的意義互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的意義相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的意義n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（二）能力解讀1、掌握分類和分布記數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；2、理解排列、組合的意義；3、掌握排列數(shù)公式和組合數(shù)公式4、掌握組合數(shù)性質(zhì)5、掌握二項(xiàng)式定理與二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；6、了解隨機(jī)事件和隨機(jī)事件概率的意義7、了解等可能事件概率的意義；會(huì)用排列、組合的基本公式計(jì)算一些等可能事件概率；8、了解互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的意義；會(huì)用互斥事件概率的加法公式求一些事件概率；9、了解相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的意義；會(huì)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的乘法公式求一些事件概率；10、了解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的意義；會(huì)求事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率。全章知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理圖排列全章知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理圖排列排列數(shù)公式組合排列、組合、概率和二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理組合數(shù)性質(zhì)通項(xiàng)公式 二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)隨機(jī)事件及其概率等可能事件的概率兩個(gè)基本原理互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率組合排列、組合、概率和二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理組合數(shù)性質(zhì)通項(xiàng)公式 二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)隨機(jī)事件及其概率等可能事件的概率兩個(gè)基本原理互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)兩個(gè)基本原理組合數(shù)公式考點(diǎn)分布1、高考試題中的排列與組合問(wèn)題很多情況下都是直接運(yùn)用分類或分步記數(shù)原理來(lái)處理；2、二項(xiàng)式定理的內(nèi)容主要側(cè)重考查二項(xiàng)式定理本身和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)；3、概率部分的內(nèi)容在近年高考的解答題中綜合性比較強(qiáng)，一般都與離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差相結(jié)合，以生產(chǎn)問(wèn)題或生活問(wèn)題為載體來(lái)命題。4、 2008年第十章高考試題總覽表題號(hào)與一分?jǐn)?shù)試卷排列與組合二項(xiàng)式定理概率備注全國(guó)I卷［理］T15,4分［文］T16,4分［文］T10,5分［理］T18,12分；［文］T19,12分全國(guó)n卷［文］T12,5分［理］T13,4分［文］T13,4分［理］T18,12分［文］T19,12分北京卷［理］T3,5分［文］T4,5分［理］T10,4分［文］T10,4分［理］T18,13分［文］T18,13分天津卷［理］T5,5分［文］T6,4分［理］T11,4分［文］T11,4分［理］T18,12分［文］T18,12分上海卷［理］T9,4分［文］T10,4分廣東卷［理］T13,5分［理］T16,12分重慶卷［理］T8,5分［文］T9,5分［理］T5,5分［文］T17,13分山東卷［理］T9,5分［文］T11,5分［理］T10,5分［文］T10,5分［理］T20,12分［文］T19,12分江西卷［文］T16,4分［理］T8,5分［文］T7,5分［文］T8,5分，T18,12分［理］T10,5分湖南卷［理］T6,5分［文］T6,5分［理］T11,5分［文］T3,5分［理］T17,12分［文］T17,12分湖北卷［理］T14,5分［文］T14,5分［理］T15,5分［文］T8,5分［理］T12,5分［文］T12,5分安徽卷［理］T13,4分［文］T13,4分［文］T18,12分高考備考復(fù)習(xí)建議1、本章內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中，就其研究?jī)?nèi)容和研究對(duì)象來(lái)說(shuō)都是相對(duì)獨(dú)立的。在思想方法上體現(xiàn)著應(yīng)用的觀點(diǎn)；在復(fù)習(xí)中應(yīng)該注意運(yùn)用化歸思想和分類討論思想來(lái)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。2、在復(fù)習(xí)中應(yīng)該注意把握這部分知識(shí)的邏輯關(guān)系：排列、組合知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率內(nèi)容的預(yù)備知識(shí)和重要基礎(chǔ)；而概率、統(tǒng)計(jì)又是我們研究可能性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具。3、排列與組合的意義、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理與二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)等內(nèi)容的考查，在高考試題中多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)；而概率內(nèi)容多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也出現(xiàn)在選擇題和填空題中。4、兩個(gè)基本原理是重點(diǎn)，又是基礎(chǔ)；高考試題中的排列與組合問(wèn)題很多情況下都是直接運(yùn)用分類或分步記數(shù)原理來(lái)處理的，我們復(fù)習(xí)時(shí)不能一味追求技巧和題目類型的歸納；更應(yīng)該立足于兩個(gè)基本原理，注重基本思想和基本方法的掌握。5、概率部分的內(nèi)容在近年高考的解答題中，多與離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差相嫁接；主要考查考生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，綜合性一般都比較強(qiáng)；復(fù)習(xí)時(shí)，建議在這方面多做一些以培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力為目的的專門(mén)訓(xùn)練。第六十六講：排列與組合必備知識(shí)1、分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理2、排列、組合的意義3、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式4、組合數(shù)性質(zhì)強(qiáng)化記憶1、運(yùn)用兩個(gè)原理解題時(shí)，首先必須根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)確定：是需要分類完成，還是需要分步完成；2、使用兩個(gè)原理解題時(shí)，必須明確：若完成一件事有n類辦法，則這n類辦法中的每一種方法都能夠獨(dú)立完成這件事；若完成一件事需要分成n個(gè)步驟，則只有這n個(gè)步驟順次都完成了，這件事才能夠完成，但是這每個(gè)步驟中的每一種方法都不能夠獨(dú)立完成這件事。3、排列問(wèn)題既與元素性質(zhì)有關(guān)，又與元素的排列順序有關(guān)；而組合只與元素性質(zhì)有關(guān)，與元素的排列順序無(wú)關(guān)；4、運(yùn)用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式計(jì)算時(shí)，往往容易忽略其中的字母取值范圍，應(yīng)該多Cm Am加注意；例如：L：與八：中必須明確：W,, ￡能力要求（一）掌握兩個(gè)原理是關(guān)鍵例1、（04年安徽春考卷）在直角坐標(biāo)——y平面上，平行直線x=n，（n=0，1,2,3,4,5），y=n，（n=0，1,2,3,4,5），組成的圖形中，矩形共有（）A、25個(gè) B、36個(gè) C、100個(gè) D、225個(gè)解析：在垂直于x軸的6條直線中任意取2條，在垂直于y軸的6條直線中任意取2條，這樣的4條直線相交便得到一個(gè)矩形,所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道：得到的矩形共有C2?C2=15x15=225個(gè)， 故選D。66例2、（02年全國(guó)卷）如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連,連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息,信息可以沿不同的路徑同時(shí)傳遞,則單位時(shí)間傳遞的最大信息量是（ ）A、26 B、24 C、20 D、19

6 7⑤6 12⑤8 ⑤解析：要完成的這件事是：“從A向B傳遞信息”，完成這件事有4類辦法：第一類：12—5—3第二類：12—?6—4第三類：12一6一7第四類；：12—>8—>6可見(jiàn)：第一類中單位時(shí)間傳遞的最大信息量是3；第二類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是4；第三類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6；第四類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6。所以由分類記數(shù)原理知道共有：3+4+6+6=19,故選D（二）排列問(wèn)題例2、（06年江蘇卷）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法.解析：9個(gè)球排成一列有A9種排法，再除去2紅、3黃、4白的順序即可，故共有排法A9A故共有排法A9A2A3A4=1260種。答案:1260234（二）組合問(wèn)題例2、（06年福建卷［理］）從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項(xiàng)不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有（ ）A、108種 B、186種 C.216種 D、270種解析：沒(méi)有女生的選法有C3,至少有1名女生的選法有C3-C3=31種，4 74所以選派方案總共有：31XA3=186種。 故選B.（三）排列與組合的綜合問(wèn)題例3、五個(gè)人站成一排,求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（1）甲必須在排頭；（2）甲必須在排頭,并且乙在排尾；（3）甲、乙必須在兩端；（4）甲不在排頭,并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在兩端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前,并且乙在丙前；（8）甲、乙相鄰；（9）甲、乙相鄰,但是與丙不相鄰；（10）甲、乙、丙不全相鄰解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有A;種，再排其它4個(gè)位

置有A4種，所以共有：AiXA4=24種(2)甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：AlXAlXA3種(3)首先排兩端有A2種，再排中間有A2種，所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：A2XA2=12種TOC\o"1-5"\h\z(4)甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：A5—A4+A3 種(5)因?yàn)閮啥宋恢梅蠗l件的排法有A2種，中間位置符合條件的排法有A；種，所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為A2XA； 種(6)因?yàn)榧住⒁夜灿?!種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：A5:!種(7)因?yàn)榧?、乙、丙共?！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：A5:! 種(8)把甲、乙看成一個(gè)人來(lái)排有A4種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為A4xA2 種(9)首先排甲、乙、丙外的兩個(gè)有A2,從而產(chǎn)生個(gè)空，把甲、乙看成一個(gè)人與丙插入這個(gè)空中的兩個(gè)有A2,而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排法種數(shù)為A2xA2xA2種(10)因?yàn)榧?、乙、丙相鄰有A3XA3,所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為A5—A3XA3=84種四、必備練習(xí)1、(06年山東卷［理］)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo),則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、33 B、34 C、35 D、362、(0年2、(0年6北京卷［理］)在之和為奇數(shù)的共有(A個(gè) 、個(gè)這,五4個(gè),數(shù)5字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字8個(gè)、6個(gè)TOC\o"1-5"\h\z3、（0年6湖南卷）某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè),則該外商不同的投資方案有（ ）A種 、種 、種 、 0中4、（0年6湖南卷［文］在）數(shù)字1,2與,符3號(hào)“十、一”共五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是（ ）5、（0年6湖北卷［文］）某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成,其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行,工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行,又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行那,么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 6年全國(guó)n卷安排位工作人員在月日至月日值班每人值班一天其中甲、乙二人都不安排在5月1日和5月2日.不同的安排方法共有 種_.__7、（2003年河南卷）將3種作物種植在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法有多少種.8、如圖,在某城市中,A、B兩地有整齊的矩形道路網(wǎng)求：⑴從A地到B地共有多少種最近的走法；⑵從A經(jīng)過(guò)C到B地共有多少種不同最近的走法。9、 年全國(guó)I卷過(guò)三棱拄任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共 條，其中異面直線有多少對(duì)?10、一個(gè)圓分成6個(gè)大小不等的小扇形，取來(lái)紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。請(qǐng)問(wèn)：⑴6個(gè)小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法？⑵從這6種顏色中任選5種著色，但相鄰兩個(gè)扇形不能著相同的顏色，則有多少種不同的著色方法？

第六十七講：二項(xiàng)式定理一、必備知識(shí)1、二項(xiàng)式定理；2、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)；3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；4、從“一般”到“特殊”的化歸思想。C1anC1an-1b+C2an-2b2+…+Cb”,neN*1、二項(xiàng)式定理：（a+b）n=C0an+n這個(gè)定理從左到右的使用是展開(kāi)；從右到左的使用常常用來(lái)化簡(jiǎn)、證明和求和；這種逆向使用常常作為命題的思路，因此不能忽視。2、涉及展開(kāi)式的“系數(shù)和”問(wèn)題，常常利用“賦值法”來(lái)對(duì)下面式子：（a+bx）n=a+ax+ax+…+axn兩端的x賦予相同的值來(lái)求和，但是在賦值時(shí)要觀察01 2 n“問(wèn)題的特征”和“式子的特征”，從而來(lái)分析、確定給x賦予適當(dāng)?shù)闹担?、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。即：C0=Cn,C1=Cn一1,......Ck=Cn-knnn nnn（2）若二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)T 的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若二項(xiàng)式的冪指數(shù)口+12n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)T,T,的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。n+1n+3224、兩個(gè)常用公式：（1）C0+C1+C2+???+Cn=2n,neN*nnn⑵C1+C3+…=C0+C2+.?.=2n-1,neN*nn nn三、能力要求類型一：二項(xiàng)式定理例1、(06年浙江卷)若多項(xiàng)式x”0=a+a(x+1)+…+a(x+1)9+a(x+1)100 1 9 10則a=()9

A、9BA、9B、10C、－9D、－10解析：根據(jù)左邊X10的系數(shù)為1,易知a=1,左邊X9的系數(shù)為0,右邊x9的系數(shù)為10故選DoTOC\o"1-5"\h\za+aC9=a+10=o...a=-109 10 10 9 , 9故選Do類型二：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用* 勺例2、（山東卷［理］）已知（x2--L）n的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-0,其中<x 14i2=-1,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）－45i45i－－45i45i－45D、45解析：第三項(xiàng)，第五項(xiàng)的系數(shù)分別為C2（-i）2,C4（-i）4nnTOC\o"1-5"\h\zC2(-i)2 3依據(jù)題意有： J——= 依據(jù)題意有：C4(-i)4 14整理得n2一5n-50=0即解方程(n—10)(n+5)=0則只有n=10適合題意由T=Cx20-2r-x-r-(-i)r,n+1 10r當(dāng)20-2r--=0時(shí),有r=8,故常數(shù)項(xiàng)為C8(-i)8=C2=45故選D10 10類型三：二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)性質(zhì)例3、（04年天津卷）若（1-2x）2004=a+aX+aX2+ + aX例3、（04年天津卷）若（1-2x）20040 1 2 2004 0 1+(a+a)+ +(a+a0 2 0 2004解析：對(duì)于式子：(1-2X)2004=a+aX+aX2+ +aX2004,XGR,0 1 2 2004令乂=0,便得到：a=10令x=1,得至Ua+a+a+ +a=10 1 2 2004又原式：(a+a)+(a+a)+ + (a+a)\o"CurrentDocument"0 1 0 2 0 2004

\o"CurrentDocument"=2004a+(a+a+ +a)=2003a+(a+a+a+ +a)0 1 2 2004 0 0 1 2 2004.??原式：(a+a)+(a+a)+ + (a+a)=20040 1 0 2 0 2004注意：“二項(xiàng)式系數(shù)”同二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系。四、必備練習(xí)―1101、(06年江蘇卷)(JX——)的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是()3%TOC\o"1-5"\h\zA、0 B、2 C、4 D、62、在(％+2)10(12-1)的展開(kāi)式中,％10的系數(shù)是()A、179 B、163 C、236 D、1803、(06年重慶卷［理］)若(3<1-1)幾的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式中x常數(shù)項(xiàng)為()\o"CurrentDocument"A、一540 B、一162 C、162 D、5404、(06年全國(guó)11卷)在(x+L)10的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是x5、135、年安徽卷理設(shè)常數(shù)a>0,(ax2+—)4展開(kāi)式中x3的系數(shù)為則Xx 2lim(a+a2+ +an)=X.—2、年北京卷在(、1-—)7的展開(kāi)式中X3的系數(shù)是X年湖南卷理)(ax-1)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是一 則實(shí)數(shù)的值是8、用二項(xiàng)式定理證明：34n+2+52n+1能夠被14整除。9、求1.056的近似值,使結(jié)果精確到0.01

10、（0310、（03年上海）已知數(shù)列｛a｝,￡*n是首項(xiàng)為ai公比為的等比數(shù)列求和aC0_aCi+aC212 22 32aC0-aC1+aC2-aC3；13 23 33 43三、能力要求（二）排列、組合的綜合應(yīng)用類型一：化歸思想的運(yùn)用例1、 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a, b, c是從集合｛-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3｝中取出的三個(gè)不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請(qǐng)問(wèn)這樣的直線有多少條？解析：首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對(duì)“a,b,c”的情況討論。設(shè)直線的傾斜角為a，并且a為銳角。b則tana——＞不妨設(shè)＞那么＜當(dāng)W時(shí)則有種取法有種取法有種取法并且其中任意兩條直線不重合所以這樣的直線有XX4=36條當(dāng)時(shí)有種取法有種取法其中直線 重合所以這樣的直線有X=7條故符合條件的直線有7+=3463條類型二：分類討論思想的運(yùn)用例2、如圖A,B,C,D為海上的四個(gè)小島，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方案有（ ）舟B。解析：v舟B。解析：A、8種B、12種C、16種D、20種二二二C第一類：從一個(gè)島出發(fā)向其它三島各建一橋，共有C4=4種方法；第二類：一個(gè)島最多建設(shè)兩座橋，例如：一B—C—D,D—C—B—A,這樣的兩個(gè)排列對(duì)A4應(yīng)一種建橋方法，因此有丁=12種方法；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知道共有4+12=16種方法類型三：方程思想的運(yùn)用例2、某學(xué)習(xí)小組有男女同學(xué)共8名，從男同學(xué)中選2人，從女同學(xué)中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，要求每一科都有一人參加，共有180種不同的方法，請(qǐng)問(wèn)學(xué)習(xí)小組中男女同學(xué)各有多少？解析：把男同學(xué)人數(shù)設(shè)為X,再根據(jù)排列、組合知識(shí)建立方程來(lái)求解。依據(jù)題意知道：女同學(xué)人數(shù)為8-X，則有：C2-C1?A3=180x 8-x 3化簡(jiǎn)得到（x-5）（x2-4x-12）=0,解得：xi=5,x2=6,x3=-2（舍去）所以,男同學(xué)5人,女同學(xué)3人；或男同學(xué)6人,女同學(xué)2人類型四：隔板法的運(yùn)用例4、7個(gè)相同的小球,任意放入4個(gè)不同的盒子,則每個(gè)盒子都不空的放法有多少種？解析：首先要清楚：“每個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子里至少有1個(gè)球”。于是,我們采用“隔板法”來(lái)解決。在7個(gè)小球中的每?jī)蓚€(gè)之間分別有6個(gè)空,我們從6個(gè)空中任意選3個(gè)分別插入3塊隔板,則這3塊隔板就把7個(gè)小球分成4部分,而且每一部分至少有1個(gè)球。即有C3=20種方法，又每一種分割方法都對(duì)應(yīng)著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。注；（1）本題若采取“分類討論”的方法來(lái)解決,則顯得很麻煩；大家可以試一試。（2）隔板法只能用于“各個(gè)元素不加區(qū)別”的情況,否則不能使用。類型五：捆綁法與插位法的運(yùn)用例5、現(xiàn)有A],A2，A3,……A8共8個(gè)元素，分別計(jì)算下列條件的排列數(shù)：（1）八個(gè)元素排成一排，并且Ai，A2,A3,A4這四個(gè)元素必須排在一起；（2）八個(gè)元素排成一排，并且A1，A2,A3,A4這四個(gè)元素要求互不相鄰；（3）八個(gè)元素排成一排，A1，A2,A3,A4這四個(gè)元素要求互不相鄰，并且A5,A6,A7,A8這四個(gè)元素也要求互不相鄰。解析：（1）因?yàn)锳1，A2,A3,A4這四個(gè)元素必須排在一起，于是把A1，A2,A3,A4這四個(gè)元素看成一個(gè)大元素（捆綁法），再與A5,A6,A7,A8這四個(gè)元素一起共5個(gè)元素進(jìn)行排列有A5種排法。又A1，A2,A3,A4這四個(gè)元素排在一起有A4種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知道，滿

足條件的排列數(shù)為A5A4=2880種。54(2)(插位法)首先把A5,A6，A7,A8這四個(gè)元素進(jìn)行排列有A4種排法，然后將A1,A2，A3,A4這四個(gè)元素插入A5,A6,A7,A8這四個(gè)元素兩兩之間，以及兩端共5個(gè)位置中的4個(gè)位置，從中選4個(gè)位置安排A1,A2，A3,A4有A4種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知道共有A4A4=2880種45(3)先把A5，A6,A7,A8這四個(gè)元素進(jìn)行排列有A4種排法，然后將A1,A2，A3,A4這四個(gè)元素插入A5，A6,A7,A8這四個(gè)元素兩兩之間，以及兩端共5個(gè)位置中的4個(gè)位置，有2A4，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知道共有2A44A44=1152種(二)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用2、例6、已知二項(xiàng)式Qx--)n,(￡*)的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的X2比是10：1，(1)求展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解析：(1)?.?第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1,C4?(-2)4 10，Kn = ，解得n=8C2?(-2)2 1nCr.2r,Cr.2r,Cr+1.2r+188(2)展開(kāi)式中第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)涕r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為Cr-1?2n-r8若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則必須滿足：Cr-1Cr-1.22r并且Cr+1?2r+1wCr?2r，解得5WrW6；n-r。r?888 811所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)7=179?六；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5=1120--6(三)概率的綜合應(yīng)用解決概率的綜合應(yīng)用題,首先要正確理解題意,要從不同的背景材料中弄清問(wèn)題的條件,及事件之間的關(guān)系,并且能夠靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)臈l件公式和有關(guān)定理來(lái)分析問(wèn)題,解決問(wèn)題；有時(shí)還可以采取“逆向思維”的方法，利用公式：P(A)=1-P(A)來(lái)處理正面解決比較困

難的問(wèn)題。例7、(06年山東卷)某種電路開(kāi)關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合1后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是5,從開(kāi)關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是3，出現(xiàn)綠燈的概率是3；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是3，出現(xiàn)綠燈的概率是2；問(wèn)：(1)第二次閉合后，出現(xiàn)紅燈的概率是多少？(2)從開(kāi)關(guān)第一次閉合到第三次閉合,出現(xiàn)一次紅燈,兩次綠燈的概率是多少？解析：(1)”第二次閉合后，出現(xiàn)紅燈”是下面兩個(gè)事件的和：A：紅，紅；B：綠，紅；并且A與B互斥。所以P(A+B)=P(A)+P(B)=—X—+—X—=—乙J乙JJLJ(2)“從開(kāi)關(guān)第一次閉合到第三次閉合,出現(xiàn)一次紅燈,兩次綠燈”是下面三個(gè)互斥事件的和：A：紅，綠，綠；B：綠，紅，綠；C：綠，綠，紅。P(A)=-X2X2=—()2 3 515P(B)=-X2X3=-()2355P(C)=-X2X3=—()2552521334P(A+B+C)=15+5+25=75例8、(06年廣東卷)玻璃球盒中裝有各色球12個(gè),其中5紅、4黑、2白、1綠,求從中取1球：或紅或黑或白的概率。解析：方法1：從12個(gè)球中任意取1球,得紅有5種取法,得黑有4種取法,得白有2種取法。所以取1球：或紅或黑或白的概率為5取法。所以取1球：或紅或黑或白的概率為5+4+2121112方法2：(間接方法)事件A：“取1球：或紅或黑或白”與事件B：“取1球是綠球”易見(jiàn)：事件A與事件B是對(duì)立事件，又P(B)=-1，所以P(A)=—P(B)=—5=]JL乙 JL乙JL乙1例9、(06年吉林卷)甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽，采取5局3勝制，若甲隊(duì)獲勝的概率是32乙隊(duì)獲勝的概率是3，求以下事件的概率：(1)甲隊(duì)以3：0獲勝；(2)甲隊(duì)以3：1獲勝；11解析：（1）甲隊(duì)以3：0獲勝P1=（3）3=27（2）甲隊(duì)以3：（2）甲隊(duì)以3：1獲勝，則甲勝前3局中的2局,且第四局勝,其概率P2212X—X—33227四、必備練習(xí)1、（0年6江西卷）袋中有40個(gè)小球,其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)、白色球8個(gè)、黃色球4個(gè),從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本,則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為C1C2C3C4、 C1C2C3C4、 4——8^~12 16C1040C2C3C1C4-4~六12——16C1040—1、 4 8^―12 16-C1040C1C3C4C2、——4——8^—12 16C1040年湖北卷在(JX+—)24的展開(kāi)式中的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有Vx3項(xiàng) 、4項(xiàng)B、5項(xiàng)C、6項(xiàng)D（0年6湖北卷）安排5名歌手的演出順序時(shí),要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng),另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng),不同排法的種數(shù)是 （0年6湖北卷）接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.8現(xiàn)0有,5人接種該疫苗,至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 5、（0年2上海卷）在某次花樣滑冰比賽中，發(fā)生裁判受賄事件，競(jìng)賽委員會(huì)決定將裁判由原來(lái)的9名增至14名，但只任意取其中7名裁判的評(píng)分作為有效分，若14名裁判中2人受賄，則有效分中沒(méi)有受賄裁判的評(píng)分的概率是 6、 年全國(guó)n卷、是治療同一疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)組由只小白鼠組成，其中只服用另只服用然后觀察療效若在一個(gè)試驗(yàn)組中服用有效的小白鼠的只數(shù)比服用有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白21鼠服用有效的概率為可服用有效的概率為5⑴求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;⑵觀察個(gè)試驗(yàn)組求這個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率

37 年天津卷理某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為5且各次射擊的結(jié)果互不影響.⑴求射手在次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率⑵求射手第次擊中目標(biāo)時(shí)恰好射擊了次的概率8、（0年6湖南卷）某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門(mén)對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查.若安檢不合格,則必須整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5整,改后安檢合格的概率是0.8,計(jì)算：⑴恰好有兩家煤礦必須整改的概率⑵平均有多少家煤礦必須整改;⑶至少關(guān)閉一家煤礦的概率。2 139 年陜西卷甲乙丙人投籃投進(jìn)的概率分別是彳y-現(xiàn)人各投籃次求：⑴人都投進(jìn)的概率⑵3人中恰有2人投進(jìn)的概率.10、（01年上海卷）對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z,MZ={3I3=z2nT,nGN}設(shè)a是方程x+-=的一個(gè)根，試用列舉法表示集合M，若在M中任意取兩個(gè)數(shù)，X a a求其和為零的概率附：必備練習(xí)答案附：必備練習(xí)答案第十章排列、組合、概率與二項(xiàng)式定理第六十六講：排列與組合

必備練習(xí)答案1、解：對(duì)于(5,1,1),(1,1,5),(1,5,1),分別重復(fù)2次,故有C1C1C1A3-3=33故選A.1233、解各位數(shù)字之和為奇數(shù)只能兩偶一奇或三奇若兩偶一奇有C1-A3=18種三奇有33A3=6種,共24種 故選有C有C2C2A2=364323解①分配方案為故共有2＋436=種6有,13解①分配方案為故共有2＋436=種6故選D、解由題意知：數(shù)字與符號(hào)均不相鄰有A3.A2=12種 故選325、解:考查有條件限制的排列問(wèn)題,其中要求部分元素間的相對(duì)順序確定:依據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進(jìn)行,故可把兩個(gè)視為一個(gè)大元素,先不管其它限制條件,使其與其它四個(gè)進(jìn)行排列共有A55種排法在所有的這些排法中甲、乙、丙相對(duì)順序固定共有A3種故滿足A5條件的排法種數(shù)共有-^=20 答案A33、解???甲、乙二人從，，，，日中選天有A52種排法剩余人在天內(nèi)全排列有A5種排法5???共有A52xA5 種排法 答案7、解析：若三塊試驗(yàn)田種同一種作物共有CiA2=6種種植方法；若一塊種一種作物而剩32余的四塊每?jī)蓧K種同一種作物共有3X2X3X2=36種種植方法；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有6+36=42種種植方法。8、解析：⑴一種最近走法與“東東東東，北北北北”的一種排列一一對(duì)應(yīng).???共有C4=70種不同的最近走法.8⑵從A經(jīng)過(guò)C到B地共有C3Ci=30種不同的最近走法.539、解析：由三棱拄的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有C4-3個(gè)，每個(gè)四面體可確定三對(duì)異面直線，6滿足條件的異面直線共有(C4-3)x3=36對(duì)6

10、解析：⑴6個(gè)小扇形分別著上6種不同