一道等差數(shù)列題的幾何解法及變題

一道等差數(shù)列題的幾何解法及變題江蘇省海門市四甲中學(xué)吳焱焱新課程標(biāo)準(zhǔn)下等差數(shù)列的能力要求是理解，掌握；靈活和綜合應(yīng)用，可見，等差數(shù)列這一節(jié)在高考中是必考也是重點(diǎn)考內(nèi)容。同行都知道，很多學(xué)生遇上計(jì)算總是容易出錯(cuò)，所以在能用幾何方法解的情況下總是優(yōu)先選擇幾何解法。那么等差數(shù)列這一節(jié)純代數(shù)的內(nèi)容該怎么和幾何掛鉤呢？等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：。我們發(fā)現(xiàn)，它的解析式可以看做定義域?yàn)檎麛?shù)集的關(guān)于n的一次函數(shù)。其圖像是一直線上的幾個(gè)孤立的點(diǎn)。如圖：（1）若，則：(2)若，則：(3)若，則：(4)若，則：123123…nn+1…yx圖（2）123…nn+1…yx圖（1）123…nn+1…yx圖（3）1123…nn+1…yx圖（4）123…123…nn+1…yx圖（5）(1)若（圖（5））則：123…nn+1…yx123…nn+1…yx圖（7）123…nn+1…yx圖（8）123…nn+1…yx圖（6）(3)若，則：圖（7））(4)若，則：圖（8））一般情況，情況（2），（3）所涉及的變化單一，考得較少另外：，則圖像對稱軸n=且圖像所在拋物線必過（0,0）所以：設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則拋物線的兩個(gè)零點(diǎn)為0和，則可設(shè)例：等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？求此最大值。常規(guī)解法一：由，得常規(guī)解法二：由，得1…1…9…1317…yx圖（9）速解：，且有最大值拋物線對稱軸方程為，如圖（9）：如圖：拋物線與X軸的交點(diǎn)分別為：（0,0），（26,0）∴可設(shè)，由時(shí)，練習(xí)1：等差數(shù)列中，，，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？解：∵，∴的圖像所在的拋物線的對稱軸為，又,，∴的前8項(xiàng)和最小。練習(xí)2：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則中哪一個(gè)值最大,并說明理由.解：易知d<0,拋物線開口向下，設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則拋物線的兩個(gè)零點(diǎn)為0和，因，則，故的值最大.練習(xí)3：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求的值解：拋物線對稱軸方程為，則拋物線兩個(gè)零點(diǎn)為0和，所以=0練習(xí)4：設(shè)等差數(shù)列滿足，且，則前n項(xiàng)和中最小的是_____解：，拋物線開口向上，由對稱軸53.5，最小變題：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若eq\f(a11,a10)<－1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使得Sn>0的最大值n為_______________1…21…19yx…圖（10）解：由題意前n1…21…19yx…圖（10），如圖（10）如圖（10）：滿足題意的有19,20項(xiàng)，又1……yx圖（11）5.56.51……yx圖（11）5.56.5611練習(xí)：在等差數(shù)列{an}中，求的最小值求使>0的n的最小值比較解：（1）由題意可得，則：如圖（11）：∴的最小值為∴圖像所在拋物線的對稱軸，則∴使>0的n的最小