軸對稱、等腰三角形經(jīng)典練習(xí)題

【知識點回憶】軸對稱一個圖形沿著*一條直線折疊，重合，則就說這兩個兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等線段垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等〔簡寫成“等邊對等角〞〕。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，則這兩個角所對的邊也相等〔簡寫成“等角對等邊〞?！惩普?：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半【典型例題】例1.如圖，中，，BD平分。求證：。分析：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。證明：在BC上截取，連結(jié)DE、DF在和中，又而即【隨堂作業(yè)】1、以下圖形中，不是軸對稱圖形的是〔〕A．有兩個內(nèi)角相等的三角形B.有一個內(nèi)角是45°直角三角形C.有一個內(nèi)角是30°的直角三角形D.有兩個角分別是30°和120°的三角形2、以下說法中正確的選項是〔〕角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等角是軸對稱圖形③線段不是軸對稱圖形線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④3、小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如下圖實際時間是〔〕A．21：10B.10：21C.10：51D.12：014、以下推理中，錯誤的選項是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形5、等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個三角形的周長是()A．9cm B．12cmC．9cm和12cm D．在9cm與12cm之間6、假設(shè)等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為________.7、如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)是________如圖，在等腰三角形中，，點是底邊上一個動點，分別是的中點，假設(shè)的最小值為2，則的周長是〔〕A． B． C． D．在等邊三角形ABC中，CD是∠ACB的平分線，過D作DE∥BC交AC于E，假設(shè)△ABC的邊長為a，則△ADE的周長為()A．2aB．C．1．5a D．a(chǎn)如圖，在中，，，點為的中點，于點，則等于〔C〕A． B． C． D．如圖7—111，在Rt△ABC中，B為直角，DE是AC的垂直平分線，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，則∠C＝_________.如圖7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分線，過M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足為D，ME＝10cm，則MD＝_________.：如圖7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的點，且滿足EA＝CF．求證：DE＝DF．14、：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE，求證：AH=2BD．【課后作業(yè)】PAECBD1、如圖：等邊三角形ABC中，BD＝CE，ADPAECBD∠APE的度數(shù)是〔〕A．45° B．55°C．60° D．75°等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩局部的差為3cm，則腰長為〔〕A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有〔〕A.6個B.7個C.8個D.9個4、如圖,

∠MPN＝25°,又PA＝AB＝BC＝CD,則∠DCM＝_______度。：在△ABC中,∠A=20°,D為AB上一點,AD=DC,且∠ACD∶∠BCD=2∶3,則∠ABC=_______．6、等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．ACACBQPP：如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延長線于F，連結(jié)AF．求證：∠B=∠CAF.ABDABDFEC求證：AF=FC選擇題〔每題3分，共30分〕1．以下圖案中是軸對稱圖形的是()2．以下四個圖形中對稱軸條數(shù)最多的一個圖形是()3．到三角形的三個頂點距離相等的點是()A．三條角平分線的交點B．三條中線的交點C．三條高的交點D．三條邊的垂直平分線的交點4．點P在線段AB的中垂線上，點Q在線段AB的中垂線外，則()A．PA＋PB>QA＋QBB．PA＋PB<QA＋QBC．PA＋PB＝QA＋QBD．不能確定5．等腰三角形的一個外角等于100°，則與它不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為()A．40°

，40°

B．80°，20°

C．50°，50°

D．50°，50°或80°

，20°

6．以下說法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，則它的周長是32或40．其中不正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．47．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，假設(shè)∠BDC＝75°，則∠A的度數(shù)為()A．30°

B．40°

C．45°

D．60°

8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個局部，則這個等腰三角形的底邊長為()A．7B．11C．7或11D．7或109．如圖，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，則∠B的度數(shù)是()A．40°

B．35°

C．25°

D．20°

10．如圖，直線l是一條河，P，Q兩地相距8km，P，Q兩地到l的距離分別為2km，5km，欲在l上的*點M處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是()填空題〔每題3分，共24分〕11．粗圓體的漢字“口〞“天〞等都是軸對稱圖形，請再寫出至少三個以上這樣的漢字_______．12．如圖，△ABC中，DE垂直平分AC，與AC交于點E，與BC交于點D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，則△ABC是_______三角形．13．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°，則其頂角的大小為_______．14．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線DE交AC于點E，D為垂足，假設(shè)∠ABE：∠EBC＝2：1，則∠A＝_______．15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，角平分線BE與CD相交于點F，如果不添加其他線和字母，則圖中等腰三角形有_______個．16．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直線AD折疊后，點C落在C'的位置上，則BC'的長為_______．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，點E是AD的任一點，假設(shè)△ABC的面積為12cm，則圖中陰影局部的面積是_______cm．18．△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上的任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BN⊥AC于點N，則DE，DF，BN三者的數(shù)量關(guān)系為_______．三、解答題〔共46分〕19．〔6分〕〔2013．**〕如圖①是3*3正方形方格，將其中兩個方格涂黑，并且使涂黑后的整個圖案是軸對稱圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖②中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有幾種？20．〔6分〕：如圖，△BCE、△ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等邊三角形．求證：△ABC是等邊三角形．答案：考點精練1．82.52．30a3．2204．105°5．3686．7秒或25秒7．〔2，-2〕8．10°9．D10．B11．B12．B13．7cm或11cm14．關(guān)系：DE=DB，∵CD=CE，∴∠E=∠EDC，又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°，又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE15．〔1〕①③或②③〔2〕①②求證△ABC是等腰三角形．證：先證△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形16．〔1〕△DEF是等邊三角形，提示證△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等邊三角形〔2〕AD=BE=CF成立．證略．【例題經(jīng)典】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD與CE相交于點O，如圖，∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？假設(shè)∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？假設(shè)∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過程中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=90°+∠A；∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=120°+∠A；∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=·180°+∠A．【點評】在例1圖中，假設(shè)AE=AB，AD=AC．類似上題方法同樣可證得BD=CE．上述規(guī)律仍然存在．會用等腰三角形的判定和性質(zhì)計算與證明例2．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩局部，求這個三角形的腰長及底邊長．【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15兩種情況討論．利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3．〔2006年**市〕如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ．〔1〕觀察并猜測AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．〔2〕假設(shè)PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．【分析】〔1〕把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．〔2〕連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．【點評】利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明．【考點精練】一、根底訓(xùn)練1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC=_____°．〔1〕〔2〕〔3〕2．如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，假設(shè)中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_______．3．如圖3，一個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2=________度．4．〔2006年**市〕如圖4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△AB′C′，則∠BAC′等于________．〔4〕〔5〕〔6〕5．〔2006年**市〕如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工．從AC上的一點B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直線，則開挖點E離D的距離約為_______米〔準確到1米〕．6．〔2006年**市〕等腰△ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開場向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應(yīng)為________．7．如圖6，等邊△ABC，B點在坐標原點，C點的坐標為〔4，0〕，點A關(guān)于*軸對稱點A′的坐標為_______．8．〔2006年江陰市〕如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，則∠CDE=________．〔7〕〔8〕〔9〕9．〔2005年**市〕如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于〔〕A．44°B．68°C．46°D．22°10．〔2006年**省〕如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，假設(shè)考慮既要符合設(shè)計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用〔〕A．L1B．L2C．L3D．L11．〔2006年日照市〕如圖10，在△ABC中，AB=AC，