統(tǒng)計決策與貝葉斯估計和特殊情況下的投資決策

1、統(tǒng)計決策一、統(tǒng)計決策的三個要素1樣本空間和分布族設總體X的分布函數(shù)為F(x;

),是未知參數(shù)，若設X1

,…,Xn是來自總體X的一個樣本，則樣本所有可能值組成的集合稱為樣本空間，記為X

2決策空間（判決空間）對于任何參數(shù)估計，每一個具體的估計值，就是一個回答，稱為一個決策，一個統(tǒng)計問題中可能選取的全部決策組成的集合稱為決策空間，一個決策空間至少應有兩個決策。3損失函數(shù)統(tǒng)計決策的一個基本假定是，每采取一個決策，必然有一定的后果，統(tǒng)計決策是將不同決策以數(shù)量的形式表示出來常見的損失函數(shù)有以下幾種（1）線性損失函數(shù)絕對損失函數(shù)（2）平方損失函數(shù)（3）凸損失函數(shù)（4）多元二次損失函數(shù)二、統(tǒng)計決策函數(shù)及風險函數(shù)1統(tǒng)計決策函數(shù)定義3.1：定義在樣本空間上X，取值于決策空間A內的函數(shù)d(x)，稱為統(tǒng)計決策函數(shù)，簡稱決策函數(shù)決策函數(shù)就是一個行動方案，如果用表達式處理，d(x)=d(x1,x2,…xn)本質上就是一個統(tǒng)計量

2風險函數(shù)決策函數(shù)d(X)，完全取決于樣本，損失函數(shù)L(,d)也是樣本X的函數(shù),當樣本取不同的值x時，決策d(X)可能不同，所以損失函數(shù)值L(,d)也不同，不能判斷決策的好壞，一般從總體上來評價、比較決策函數(shù)，取平均損失，就是風險函數(shù)定義3.2設樣本空間，分布族分別為X，F(xiàn)*，決策空間為A，損失函數(shù)為L(,d),d(X)為決策函數(shù),為決策函數(shù)d(X)的風險函數(shù)，R(,d),表示采取決策d(X)所蒙受的平均損失（L(,d)的數(shù)學期望）

優(yōu)良性準則定義3.3設d1,d2是統(tǒng)計問題中的兩個決策函數(shù)，若其風險函數(shù)滿足不等式則稱決策函數(shù)d1優(yōu)于d2定義3.4設D={d(X)}是一切定義在樣本空間X上，取值于決策空間A上的決策函數(shù)全體，若存在一個決策函數(shù)d*(X)，使對任意一個d(X)都有則稱d*(X)為一致最小風險決策函數(shù)，或一致最優(yōu)決策函數(shù)問題總結1風險函數(shù)是二元函數(shù)，極值往往不存在或不唯一2在某個區(qū)間內的逐點比較不現(xiàn)實（麻煩）3對應不同參數(shù)的，同一決策函數(shù)，風險值不相等4由統(tǒng)計規(guī)律的特性決定不能點點比較5必須由一個整體指標來代替點點比較2.貝葉斯估計

1)統(tǒng)計推斷的基礎

經典學派的觀點：統(tǒng)計推斷是根據(jù)樣本信息對總體分布或總體的特征數(shù)進行推斷，這里用到兩種信息：總體信息和樣本信息；貝葉斯學派的觀點：除了上述兩種信息以外，統(tǒng)計推斷還應該使用第三種信息：先驗信息。

（1）總體信息:總體分布提供的信息。（2）樣本信息:抽取樣本所得觀測值提供的信息。（3）先驗信息:人們在試驗之前對要做的問題在經驗上和資料上總是有所了解的，這些信息對統(tǒng)計推斷是有益的。先驗信息即是抽樣（試驗）之前有關統(tǒng)計問題的一些信息。一般說來，先驗信息來源于經驗和歷史資料。先驗信息在日常生活和工作中是很重要的?；谏鲜鋈N信息進行統(tǒng)計推斷的統(tǒng)計學稱為貝葉斯統(tǒng)計學。它與經典統(tǒng)計學的差別就在于是否利用先驗信息。貝葉斯統(tǒng)計在重視使用總體信息和樣本信息的同時，還注意先驗信息的收集、挖掘和加工，使它數(shù)量化，形成先驗分布，參加到統(tǒng)計推斷中來，以提高統(tǒng)計推斷的質量。忽視先驗信息的利用，有時是一種浪費，有時還會導出不合理的結論。

貝葉斯學派的基本觀點：任一未知量

都可看作隨機變量，可用一個概率分布去描述，這個分布稱為先驗分布；在獲得樣本之后，總體分布、樣本與先驗分布通過貝葉斯公式結合起來得到一個關于未知量新的分布—后驗分布；任何關于的統(tǒng)計推斷都應該基于的后驗分布進行。2)先驗分布利用先驗信息的前提（1）參數(shù)是隨機的，但有一定的分布規(guī)律（2）參數(shù)是某一常數(shù)，但無法知道目標：充分利用參數(shù)的先驗信息對未知參數(shù)作出更準確的估計。貝葉斯方法就是把未知參數(shù)視為具有已知分布的隨機變量，將先驗信息數(shù)字化并利用的一種方法，一般先驗分布記為(

)3)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式(后驗分布）

設總體X的分布密度函數(shù)P(x;)在貝葉斯統(tǒng)計中記為P(x|)，它表示在隨機變量θ取某個給定值時總體的條件概率密度函數(shù)；P(x;)=P(x|)

根據(jù)參數(shù)的先驗信息確定先驗分布(

)；

樣本x1,x2

,

…,xn的聯(lián)合條件分布密度函數(shù)為這個分布綜合了總體信息和樣本信息；0

是未知的，它是按先驗分布(

)產生的。為把先驗信息綜合進去，不能只考慮0，對的其它值發(fā)生的可能性也要加以考慮，故要用()進行綜合。這樣一來，樣本x1

,

…,xn和參數(shù)的聯(lián)合分布為:f(x1,x2

,

…,xn,

)=q(x1,x2

,

…,xn)(

)，

簡記為f(x,

)=q(x)(

)

這個聯(lián)合分布把總體信息、樣本信息和先驗信息三種可用信息都綜合進去了；在有了樣本觀察值x1,x2

,

…,xn之后，則應依據(jù)f(x,

)對作出推斷。由于f(x,

)=h(

x1,x2

,…,xn)m(x1,x2

,…,xn)，其中m(x1,x2

,…,xn)是x1,x2

,

…,xn的邊際概率函數(shù)，它與無關。因此能用來對作出推斷的僅是條件分布h(

x1,x2

,

…,xn)，它的計算公式是這個條件分布稱為

的后驗分布，它集中了總體、樣本和先驗中有關

的一切信息。

后驗分布h(x1,x2

,

…,xn)的計算公式就是用密度函數(shù)表示的貝葉斯公式。它是用總體和樣本對先驗分布(

)作調整的結果，貝葉斯統(tǒng)計的一切推斷都基于后驗分布進行。

4）共軛先驗分布定義：設總體X的分布密度為p(x|),F*為的一個分布族，()為

的任意一個先驗分布，()∈F*,若對樣本的任意觀測值x,的后驗分布h(|x)仍在F*內，稱F*為關于分布密度p(x|)的共軛先驗分布族，簡稱共軛族。計算共軛先驗分布的方法

當給定樣本的分布（似然函數(shù)）q(x|)

和先驗分布(

)；由貝葉斯公式得h(x|

)=(

)

q(

x

)/m(x)由于m(x)不依賴于,改寫為h(x|

)∝(

)

q(

x

)上式不是正常的密度函數(shù),是h(x|

)的主要部分,稱為h(x|

)的核例8X1,X2

,

…,Xn來自正態(tài)分布N(

,2)的一個樣本，其中已知，求方差2的共軛先驗分布例9X1,X2

,

…,Xn來自二項分布B(N

,

)的一個樣本，求的共軛先驗分布計算共軛先驗分布的方法1.h(|x)=()q(x|)/m(x),m(x)不依賴于

先求出q(x|),再選取與q(x|)具有相同形式的分布作為先驗分布，就是共軛分布2.當參數(shù)存在適當?shù)慕y(tǒng)計量時，設X的分布密度為p(x|),T(X)是的充分統(tǒng)計量,

再由定理3.1，求得共軛先驗分布族定理3.1設f(

)為任一固定的函數(shù),滿足

若后驗分布h(

x)與(

)屬于同一個分布族，則稱該分布族是的共軛先驗分布(族)。二項分布b(n,

)中的成功概率的共軛先驗分布是貝塔分布Be(a,b)；泊松分布P(

)中的均值的共軛先驗分布是伽瑪分布Γ(,)；指數(shù)分布中均值的倒數(shù)的共軛先驗分布是伽瑪分布Γ(,)；在方差已知時，正態(tài)均值的共軛先驗分布是正態(tài)分布N(,2);在均值已知時，正態(tài)方差2的共軛先驗分布是倒伽瑪分布IΓ(,)。5）貝葉斯風險定義：稱為決策函數(shù)d(X)在給定先驗分布(

)下的貝葉斯風險，簡稱d(X)的貝葉斯風險相當于隨機損失函數(shù)求兩次期望，一次對后驗分布，一次對X的邊緣分布6)貝葉斯點估計定義：設總體X的分布函數(shù)F(x,)中參數(shù)為隨機變量，()為的先驗分布，若在決策函數(shù)類D中存在一個決策函數(shù)d*(X)，使得對決策函數(shù)類D中的任一決策函數(shù)d(X)，均有

則稱為d*(X)參數(shù)的貝葉斯估計量定理3.2設的先驗分布為()，損失函數(shù)為L(,d)

=(-d)2,則的貝葉斯估計是其中h(|x)為參數(shù)的后驗密度。定理3.3—3.7，給出了各種損失函數(shù)下的貝葉斯估計，不證定理3.3設的先驗分布為()

，取損失函數(shù)為加權平方損失函數(shù)則的貝葉斯估計為定理3.4

設(1,2,…,p)T

的先驗分布為()

，損失函數(shù)為則的貝葉斯估計為定義：設d=d(x)為任一決策函數(shù)，損失函數(shù)為L(,d)，則L(,d)對后驗分布h(|x)的數(shù)學期望稱為后驗風險，記作

若存在一個決策函數(shù)d*(x)使得則d*(x)稱為在后驗風險準則下的最優(yōu)決策函數(shù)定理3.5對給定的統(tǒng)計決策問題（包括先驗分布）和決策函數(shù)類D當滿足則貝葉斯決策函數(shù)d*(x)與貝葉斯后驗型決策函數(shù)d**(x)等價定理3.6設的先驗分布為()

，損失函數(shù)為絕對值損失則的貝葉斯估計d*(x)為后驗分布h(|x)的中位數(shù)定理3.7設的先驗分布為()

，在線性損失函數(shù)下,則的貝葉斯估計d*(x)為后驗分布h(|x)的k1/(k0+k1)上側分位數(shù)常用貝葉斯估計基于后驗分布h(x

)的貝葉斯估計，常用如下三種：用后驗分布的密度函數(shù)最大值作為

的點估計，稱為最大后驗估計；用后驗分布的中位數(shù)作為

的點估計，稱為后驗中位數(shù)估計；用后驗分布的均值作為

的點估計，稱為后驗期望估計。用得最多的是后驗期望估計，簡稱為貝葉斯估計，記為。求貝葉斯估計的一般步驟1.根據(jù)總體X的分布，求得條件概率q(x|)

2.在已知

的先驗分布()下，求得x與的聯(lián)合分布密度f(x,)=()q(x|)3.求得X的邊緣分布m(x)4.計算h(|x)=()q(x|)/m(x)5.求數(shù)學期望6.求得貝葉斯風險（如果需要的話）例3.11設總體X~B(1,p)，其中參數(shù)p未知，且服從[0,1]上的均勻分布，損失函數(shù)取二次損失函數(shù)L(,d)

=(-d)2，求參數(shù)p的貝葉斯估計及貝葉斯風險若在試驗前對事件A沒有什么了解，對其發(fā)生的概率

也沒有任何信息。貝葉斯本人建議采用“同等無知”的原則使用區(qū)間（0,1）上的均勻分布U(0,1)作為

的先驗分布，因為?。?,1）上的每一點的機會均等。貝葉斯的這個建議被后人稱為貝葉斯假設。某些場合，貝葉斯估計要比極大似然估計更合理一點。比如:“抽檢3個全是合格品”與“抽檢10個全是合格品”，后者的質量比前者更信得過。這種差別在不合格品率的極大似然估計中反映不出來（兩者都為0），而用貝葉斯估計兩者分別是0.2和0.83。由此可以看到，在這些極端情況下，貝葉斯估計比極大似然估計更符合人們的理念。例設總體X~N(,1)，其中未知，假定~N(0,1)，對于給定的損失函數(shù)L(,d)

=(

-d)2，求的貝葉斯估計量例3.15X1,X2

,

…,Xn來自正態(tài)分布N(

,02)的一個樣本，其中02已知，

未知，假設的先驗分布為正態(tài)分布N(

,2)，其中先驗均值

和先驗方差2均已知，試求

的貝葉斯估計。解：樣本x的聯(lián)合分布和

的先驗分布分別為由此可以寫出x與的聯(lián)合分布其中，若記則有

注意到A,B,C均與

無關，樣本的邊際密度函數(shù)

應用貝葉斯公式即可得到后驗分布

這說明在樣本給定后，

的后驗分布為N(B/A,1/A)，即|x~N(B/A,1/A)

后驗均值即為其貝葉斯估計：它是樣本均值與先驗均值的加權平均。貝葉斯估計的誤差貝葉斯區(qū)間估計兩種區(qū)間估計的區(qū)別1）構造一個統(tǒng)計量，并求得其概率分布2）利用參數(shù)的后驗分布區(qū)間估計求解步驟前面同貝葉斯點估計；求得后驗分布后按置信度，分開單側、雙側查表，得出置信上下界。注意：貝葉斯區(qū)間估計的置信區(qū)間較短；貝葉斯點估計不再要求無偏性。例3.15x1,x2

,

…,xn來自正態(tài)分布N(

,02)的一個樣本，其中02已知，

未知，假設的先驗分布為正態(tài)分布N(

,2)，其中先驗均值

和先驗方差2均已知，試求

的貝葉斯區(qū)間估計。解：由貝葉斯點估計知例3.16對某一兒童做智力測驗x=115，設結果為X~N(,100),為智商，根據(jù)經驗~N(100,225)，求該兒童智商的0.95貝葉斯置信區(qū)間解：由上題結論知，的后驗分布服從正態(tài)分布

最大最小估計（極大極小）minmax定義：設D是決策函數(shù)的集合，若有d*(x)=d*(x1,x2,…xn),d*∈D，使得對任意一個決策函數(shù)d(x1,x2,…xn)，總有

則稱d*為最大最小決策函數(shù)，當上界能取到時可記為解題步驟（1）對D中所有決策函數(shù)求最大風險（2）在所有最大風險值中選取最小值此最小值所對應的決策函數(shù)就是最大最小決策函數(shù)。例設總體X服從兩點分布，試求p的極大極小估計量，其中L(p,d)d=0.25d=0.5P1=0.2514P2=0.532解：決策空間為A={0.25,0.5}，選取容量為1的子樣，x只能取0,1a只能取0.25，0.5，則決策函數(shù)d(x)有四個：dxad1(x)d2(x)d3(x)d4(x)00.250.50.250.510.250.50.50.25風險函數(shù)R(p,d)R(p1,di)R(p2,di)maxR(pi,dj)d1133d2434d37/45/25/2d413/45/213/4min(maxR(pi,dj))=5/2則極大極小估計為R(p,d)計算舉例例：地質學家把地層狀態(tài)分為0，1兩種，并把當?shù)責o石油記為0，有石油記為1，分布規(guī)律如下表

x010

（無油）0.60.41（有油）0.30.7決策空間為A={a1,a2,a3}，其中a1為鉆探石油，a2為出賣土地，a3為開發(fā)旅游。損失函數(shù)L(

,a)取下表aa1a2a30（無油）12161（有油）0105決策函數(shù)d(x)取下表(取n=1)（9個決策函數(shù)）x1d1d2d3d4d5d6d7d8d90a1a1a1a2a2a2a3a3a31a1a2a3a1a2a3a1a2a3風險函數(shù)R(i,dj)及最大值表di(x1)d1d2d3d4d5d6d7d8d9R(0,di)127.69.65.4138.446R(1,di)073.53106.51.58.55maxR(,di)127.69.65.4106.58.48.56可知：min(maxR(,di))=5.4，其對應的決策函數(shù)為d4，所以d4是這個統(tǒng)計決策問題的最大最小決策函數(shù)。

d4為：d4(0)=a2,d4(1)=a1即當?shù)刭|學家的結論是無油時出賣土地，有油時鉆探石油。R(,d)計算舉例定理3.8給定一個統(tǒng)計決策問題，如果存在某個先驗分布下的貝葉斯決策函數(shù)的風險函數(shù)是一個常數(shù)，那么該決策函數(shù)必定是這個統(tǒng)計問題的一個最大最小決策函數(shù)。若給定的統(tǒng)計決策問題是參數(shù)的點估計，在定理條件下，相應的決策函數(shù)必為參數(shù)的最大最小估計量例3.18設總體X~B(1,p)，p未知，服從分布損失函數(shù)為L(,d)

=(-d)2，參數(shù)p的貝葉斯估計為p的最大最小估計定理3.9給定一個貝葉斯決策問題，設{k(

):k

≥1}為參數(shù)空間Θ上的先驗分布列，{dk:

k≥1}和{RB(dk)}:k≥1}分別為相應的貝葉斯估計列和貝葉斯風險列，若d0是的一個估計，且風險函數(shù)滿足，

則d0為的最大最小估計定理3.10給定一個貝葉斯決策問題，若d0是的一個估計，其風險函數(shù)R(,d0)在參數(shù)空間Θ上為常數(shù)ρ，且{k(

):k

≥1}為先驗分布列，使得相應的貝葉斯估計列{dk:

k≥1}的貝葉斯風險滿足

則d0為的最大最小估計例3.19x1,x2

,

…,xn來自正態(tài)分布N(

,1)的一個樣本，設的先驗分布N(0

,2)，其中2已知，在0-1損失函數(shù)下的貝葉斯為估計證明樣本均值是的最大最小估計證明：由例3.15知的貝葉斯為估計為幾種特殊情況下的投資決策?設備更新決策設備更新決策是比較設備更新與否對企業(yè)的利弊。通常采用凈現(xiàn)值作為投資決策指標。設備更新決策可采用兩種決策方法，一種是比較新、舊兩種設備各自為企業(yè)帶來的凈現(xiàn)值的大??；另一種是計算使用新、舊兩種設備所帶來的現(xiàn)金流量差量，考察這一現(xiàn)金流量差量的凈現(xiàn)值的正負，進而做出恰當?shù)耐顿Y決策。?例（教材97－98頁）

方法1，新舊設備凈現(xiàn)值比較繼續(xù)使用舊設備:每年經營現(xiàn)金流量為20萬元，凈現(xiàn)值為：NPV＝20萬元×PVIFA（10％，10）＝20萬元×6.145＝122.9萬元?使用新設備：初始投資額＝120－10－16＝94(萬元)經營現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝40×PVIFA(10%,10)＝40×6.145＝245.8(萬元)終結現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝20×0.386＝7.72(萬元)凈現(xiàn)值＝－94＋245.8＋7.72＝159.52(萬元)由于使用新設備的凈現(xiàn)值大于繼續(xù)使用舊設備的凈現(xiàn)值，故采用新設備。?方法2：差量比較法初始投資額＝120－10－16＝94(萬元)經營現(xiàn)金流量差量＝40－20＝20(萬元)經營現(xiàn)金流量差量現(xiàn)值＝20×6.145＝122.9(萬元)終結現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝20×0.386＝7.72(萬元)現(xiàn)金流量差量凈現(xiàn)值＝－94＋122.9＋7.72＝36.62(萬元)?設備比較決策這一決策比較購置不同設備的效益高低。一般來講，進行這一決策時應比較不同設備帶來的成本與收益，進而比較其各自凈現(xiàn)值的高低。但有時我們也假設不同設備帶來的收益是相同的，因而只比較其成本高低即可。很多情況下，不同設備的使用期限是不同的，因此我們不能直接比較不同設備在使用期間的凈現(xiàn)值大小，而需要進行必要的調整。這種調整有兩種：一種是將不同設備的凈現(xiàn)值轉化為年金。一種是將不同設備轉化為相同的使用年限。?例：（教材98－99頁）

設備A、B的使用期間成本現(xiàn)值分別為643573元和471622元，雖然B設備的成本現(xiàn)值小于設備A，但使用期限也小于設備A，所以二著不能直接比較。方法1，等年金比較年金現(xiàn)值公式：PV＝A×年金現(xiàn)值系數(shù)所以：A＝PV/年金現(xiàn)值系數(shù)A設備的成本現(xiàn)值＝40＋6.1×PVIFA(8%,5)=40＋6.1元×3.993＝64.36萬元其年金為：AA＝64.3