【人教數(shù)學(xué)A版選修】《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-1--1-了解函數(shù)極大(小)值的概念；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)求二次多項(xiàng)式函數(shù)的極大值和極小值．重點(diǎn)是：求函數(shù)極值的方法及求二次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值．難點(diǎn)是：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.-1-1.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有①________，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)②________，記作③________；如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有④________，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)⑤________，記作⑥________.極大值與極小值統(tǒng)稱為⑦_(dá)_______.2．當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，判斷f(x0)是否存在極大(小)值的方法是：

-1-(1)如果在x0附近的左側(cè)⑧________，右側(cè)⑨________，那么f(x0)是極⑩________值；

(2)如果在x0附近的左側(cè)?________，右側(cè)?________，那么f(x0)是極?________值；

(3)如果f′(x)在點(diǎn)x0的左右兩側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)?________函數(shù)f(x)的極值．-1-3．一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)：

(1)求出導(dǎo)數(shù)?________；

(2)解方程?________；

(3)對(duì)于方程f′(x)＝0的每一個(gè)解x0，分析f′(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性)，確定?________：

①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為?________；②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為?________；-1-

③若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0?________極值點(diǎn)：-1-自我校對(duì)：①f(x)≤f(x0)

②極大值③y極大值＝f(x0)

④f(x)≥f(x0)

⑤極小值⑥y極小值＝f(x0)

⑦極值⑧f′(x)>0

⑨f′(x)<0

⑩大?f′(x)<0

?f′(x)>0

?小?不是?f′(x)

?f′(x)＝0

?極值?極大值點(diǎn)?極小值點(diǎn)?不是-1-1.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是 (

)A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C．f(x)在定義域內(nèi)最多只能有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值D．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，則f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)-1-解析：根據(jù)極值的定義判斷．答案：D-1-2．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為 (

)A．1，－3

B．1,3C．－1,3 D．－1，－3解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①又當(dāng)x＝1時(shí)有極值－2，∴a＋b＝－2.②答案：A-1-3．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出下列命題：(1)f(x)是增函數(shù)，無極值；(2)f(x)是減函數(shù)，無極值；(3)f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；(4)f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．其中正確的有 (

)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)-1-解析：f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0和x＝2時(shí)，函數(shù)分別取得極大值0和極小值－4.答案：B-1-4．函數(shù)y＝2x3－6x2－18x＋7在x＝______處取得極大值______，在x＝______處取得極小值______．解析：y′＝6x2－12x－18，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：-1-x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y極大值極小值所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極大值，f(－1)＝17；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得極小值，f(3)＝－47.答案：－1

17

3－47-1-5．求函數(shù)y＝(x2－4)3＋5的極值．解：y′＝6x(x2－4)2，令y′＝0，得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：∴當(dāng)x＝0時(shí)，y有極小值，y極?。剑?9.-1-x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0,2)2(2，＋∞)y′－0－0＋0＋y5－595-1-1.正確理解極值的概念極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)極值是一個(gè)局部概念．由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小．-1-

(2)函數(shù)的極值不是唯一的．即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)．

(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如圖所示，x1是極大值點(diǎn)，x4是極小值點(diǎn)，而f(x4)>f(x1)．

(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．-1-

2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格．檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值.-1-例1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如右圖所示，則函數(shù)f(x) (

)A．無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)-1-[分析]

通常給出函數(shù)的圖象或與函數(shù)極值有關(guān)的命題形式，進(jìn)行辨別和判斷函數(shù)極值的存在情況．[解析]

設(shè)f′(x)與x軸的4個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當(dāng)x<x1時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點(diǎn)，同理，x＝x3為極大值點(diǎn)，x＝x2，x＝x4為極小值點(diǎn)，故選C.[答案]

C-1-練1

下列說法正確的是 (

)A．若f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為f(x)的極小值B．若f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)的極大值C．若f(x0)為f(x)的極大值，則f(x)≤f(x0)D．以上都不對(duì)-1-[答案]

D-1-[分析]

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值．特別注意：f′(x)無意義的點(diǎn)也要討論．即可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)無意義的點(diǎn)，這些點(diǎn)都稱為可疑點(diǎn)，再用定義去判斷．-1-[解]

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：-1-x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值16極小值－16從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(－2)＝16.當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為f(2)＝－16.(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.-1-由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1.-1-x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值－3極大值－1(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：-1-x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值0極大值4e－2-1-[點(diǎn)撥]

(1)解答本題時(shí)應(yīng)注意f′(x0)＝0只是函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要條件，只有再加上x0左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，方能斷定函數(shù)在x0處取得極值，反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，它的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增區(qū)間的分界點(diǎn)應(yīng)是其導(dǎo)數(shù)符號(hào)正負(fù)交替的分界點(diǎn)．解題時(shí)，按照求函數(shù)極值的步驟，要注意表格的使用，利用表格，可使極值點(diǎn)兩邊的增減性一目了然，便于求極值．-1-練2求下列函數(shù)的極值：(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝x3(x－5)2.[解]

(1)y′＝6x2＋12x－18，令y′＝0，解得x1＝－3，x2＝1.當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：-1-x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y極大值57極小值－7∴當(dāng)x＝－3時(shí)，y有極大值57；當(dāng)x＝1時(shí)，y有極小值－7.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：-1-x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y無極值極大值108極小值0∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點(diǎn)，y極小值＝f(5)＝0.-1--1--1--1-[點(diǎn)撥]

本題運(yùn)用待定系數(shù)法，從逆向思維出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了問題由已知到未知的轉(zhuǎn)化．-1-練3已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處有極值，且極大值為4，極小值為0.試確定a，b，c的值．[解]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．(1)設(shè)a>0，列表如下：-1-x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值-1-(2)設(shè)a<0，列表如下：-1-x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值例4設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．-1--1--1--1-[點(diǎn)撥]

利用極值判斷方程根的問題，實(shí)際上是利用連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原理，即若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，存在f(a)·f(b)<0，則f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．-1-練4

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R，(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．-1--1-導(dǎo)數(shù)的極值常與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)聯(lián)合考查，是高考的?？純?nèi)容，常常三者結(jié)合與含參數(shù)的討論等知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系，綜合考查．解決時(shí)可以以大化小分步解決，嚴(yán)格遵循解決極值問題和單調(diào)性的解題步驟，遇到該討論時(shí)要進(jìn)行合理、恰當(dāng)?shù)赜懻摚@種綜合題在解決時(shí)要弄清思路，分步進(jìn)行，切忌主次不分，討論混亂．-1-例5

(2009·天津理)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；-1-[解]

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e.(2