平穩(wěn)隨機(jī)過程

平穩(wěn)隨機(jī)過程第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

定義6.1

設(shè){X(t)，tT

}是隨機(jī)過程，對任意常數(shù)和正整數(shù)n，

t1,t2,,tnT,t1+,t2+,,tn+

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))與

(X(t1+),

X(t2+),,

X(tn+))

有相同的聯(lián)合分布，則稱{X(t)，tT

}為嚴(yán)平穩(wěn)過程，也稱狹義平穩(wěn)過程。第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

定義6.2

設(shè){X(t)，tT

}是隨機(jī)過程，并滿足：(1){X(t)，tT

}是二階矩過程；(2)對任意tT

，mX(t)=EX(t)=常數(shù)；(3)對任意s,tT

，

RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，則稱{X(t)，tT

}為寬平穩(wěn)過程，也稱廣義平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。若T為離散集，稱平穩(wěn)過程{Xn，nT

}為平穩(wěn)序列。第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念寬平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程正態(tài)過程二階矩存在第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念例6.1

設(shè)X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t>0，且Y,Z相互獨(dú)立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，試討論隨機(jī)過程{X(t),t>0}的平穩(wěn)性。解第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

所以{X(t)，tT

}為寬平穩(wěn)過程。第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念例6.2

設(shè){Xn,n=0,1,2,}是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]

=2

，試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。

解因?yàn)镋[Xn]=0，

所以{Xn,n=0,1,2,}是平穩(wěn)隨機(jī)序列。第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念例6.3

設(shè)狀態(tài)連續(xù)、時間離散的隨機(jī)過程X(t)=sin(2t)，其中是(0,1)上的均勻分布隨機(jī)變量，t只取整數(shù)值1,2,，試討論隨機(jī)過程X(t)的平穩(wěn)性。解第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

所以X(t)是平穩(wěn)過程。第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程

定義6.4

設(shè){X(t)，tT

}和{Y(t)，tT

}是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)E[X(t)Y(t-)]及E[Y(t)X(t-)]僅與有關(guān)，而與t無關(guān)，即

RXY(t,t-)=E[X(t)Y(t-)]=RXY()RYX(t,t-)=E[Y(t)X(t-)]=RYX()

則稱X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。

第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程

命題：當(dāng)X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程時，W(t)=X(t)+Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。事實(shí)上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常數(shù)，第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程例6.4

設(shè)X(t)=Asin(t+)，

Y(t)=Bsin(

t+

-)為兩個平穩(wěn)過程，其中A,B,

是常數(shù)，是(0,2)上的均勻分布隨機(jī)變量，證明：X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。證明：第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程所以X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念推廣到隨機(jī)過程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分上即隨機(jī)分析第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定義6.5

設(shè)有二階矩隨機(jī)序列{Xn}和二階矩隨機(jī)變量X，若有成立，則稱{Xn}均方收斂于X。記作或(meansquare)(limitinmean)第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.1（柯西收斂定理）二階矩隨機(jī)序列{Xn}收斂于二階矩隨機(jī)變量X的充要條件是第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.2

設(shè){Xn},{Yn},{Zn},都是二階矩隨機(jī)序列，U是二階矩隨機(jī)變量，{cn}為常數(shù)序列，a,b,c為常數(shù)，令則(1)(2)(3)第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介(4)(5)(6)第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.3

設(shè){Xn}為二階矩隨機(jī)序列，則{Xn}均方收斂的充要條件是下列極限存在第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定義6.6

設(shè)有二階矩過程{X(t),tT}，若對每一個tT

，有則稱X(t)在t點(diǎn)均方連續(xù)，記作若對T中的一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則稱X(t)在T上均方連續(xù)。第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.4（均方連續(xù)準(zhǔn)則）二階矩過程{X(t),tT}，在t點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(diǎn)(t,t)處連續(xù)。

推論若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上連續(xù)，則它在TT上連續(xù)。

第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定義6.7

二階矩過程{X(t),tT}，若存在隨機(jī)過程X(t)，滿足則稱X(t)在t點(diǎn)均方可微，記作并稱X(t)為X(t)在t點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介若X(t)在T上每一點(diǎn)均方可微，則稱X(t)在T上均方可微。類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.5（均方可微準(zhǔn)則）二階矩過程{X(t),tT}，在t點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(diǎn)(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。

推論1

二階矩過程{X(t),tT}在T上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一點(diǎn)廣義二階可微。

推論2

若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一點(diǎn)廣義二階可微，則第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介均方積分設(shè){X(t),tT}為二階矩過程，f(t)為普通函數(shù)，其中T=[a,b]，用一組分點(diǎn)將T劃分如下：a=t0<t1<<tn=b，第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介定義6.8

如果當(dāng)n0時，Sn均方收斂于S，即

，則稱在區(qū)間[a,b]上均方可積，并記為第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.6（均方可積準(zhǔn)則）

f(t)X(t)在區(qū)間[a,b]上均方可積的充要條件為

存在，特別地，二階矩過程X(t)在區(qū)間[a,b]上均方可積的充要條件為RX(t1,t2)在[a,b][a,b]上可積。第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.7

設(shè)f(t)X(t)在區(qū)間[a,b]上均方可積，則有(1)(2)第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

定理6.8

設(shè)二階矩過程{X(t),tT}在區(qū)間[a,b]上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機(jī)過程{Y(t),tT}在區(qū)間[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。推論設(shè)X(t)均方可微，且X(t)均方連續(xù)，則第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介例6.5

設(shè){X(t),tT}是實(shí)均方可微過程，求其導(dǎo)數(shù)過程{X(t),tT}的協(xié)方差函數(shù)BX(s,t)。解由定理6.5推論2(1)由定理6.6推論2(4)第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.3隨機(jī)分析簡介

所以第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.4平穩(wěn)過程的遍歷性

定義6.9

設(shè){X(t),-<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則時間均值時間相關(guān)函數(shù)第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.4平穩(wěn)過程的遍歷性

定義6.10

設(shè){X(t),-<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若

則稱平穩(wěn)過程的均值具有遍歷性；若

則稱平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六6.4平穩(wěn)過程的遍歷性

定義6.11

如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程{X(t),-<t<}的均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則稱該平穩(wěn)過程具有遍歷性。例6.9

設(shè)隨機(jī)相位過程X(t)=acos(t+)，a,為常數(shù)，為服從(0,2)上均勻分布的隨機(jī)