高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)系列之一預(yù)備知識

第4頁第一章預(yù)備知識一，函數(shù)1函數(shù)的定義：⑴傳統(tǒng)定義：如果在某變化過程中的兩個(gè)變量,并且對于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)法則，都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就是的函數(shù)。⑵近代定義：函數(shù)就是由一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射。記：（X∈A）其中稱為自變量，稱為因變量。表示函數(shù)在點(diǎn)處的值，A稱為函數(shù)的定義域，記為：；稱為函數(shù)的值域，記為：。解析：兩變量之間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，不在于一個(gè)變量引起另一個(gè)變量的變化，而在于是否存在對應(yīng)法則（對函數(shù)變量的作用模式）使一個(gè)變量在其取值范圍內(nèi)任取一值時(shí)，另一個(gè)變量總有確定的值與之對應(yīng)。函數(shù)的本質(zhì)就是對應(yīng)關(guān)系。2函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則。解析：⑴常見函數(shù)定義域的求法：①分式函數(shù)分母不能為0。②定義域。③定義域。④（ａ>O，ａ≠1）定義域。⑤定義域。⑥定義域。⑦定義域。⑧定義域。⑨定義域。⑩定義域。⑾某些實(shí)際問題要注意函數(shù)的實(shí)際意義。⑿求復(fù)雜函數(shù)的定義域時(shí)要綜合考慮取各部分的交集。⑵在研究函數(shù)時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則。⑶注意定義域與定義區(qū)間的區(qū)別：對于初等函數(shù)定義區(qū)間即為它的連續(xù)區(qū)間，但須小心定義域與定義區(qū)間是不同的例如：的定義域由這些孤立的點(diǎn)組成而無定義區(qū)間。（結(jié)合冪級數(shù)的收斂域和收斂區(qū)間）⑷函數(shù)值域的常見求法：①配方法（類二次函數(shù)）②判別式法（要求X）③反函數(shù)法（即互換法）。④均值定理法。⑤函數(shù)的單調(diào)性法（一般方法）⑥換元法：㈠代數(shù)換元法㈡三角換元法。⑦復(fù)數(shù)法（利用復(fù)數(shù)的模）⑧構(gòu)造法（構(gòu)造函數(shù)，向量（內(nèi)積與模積的關(guān)系），絕對值不等式（利用其性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等。）⑨形如的對號函數(shù)（圖象命名）在不能用重要不等式的情況下（等號不成立）可考慮用函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)>O時(shí)，單減區(qū)間為，單增區(qū)間為其分界點(diǎn)為至于<O的情況可根據(jù)奇偶性解決。3函數(shù)的表示法：⑴具體函數(shù)的表示法：①表格法（清晰，直觀，精確）②圖象法（形象，明顯，易比較）③解析法，公式法（便于分析與計(jì)算）⑵抽象函數(shù)的表示方法：①坐標(biāo)法（概括）②敘述法（語言描述具有啟發(fā)性）4函數(shù)的性質(zhì)（定義域范圍內(nèi)，假設(shè)性定義）：㈠界性：①有界性：如果存在正數(shù)M使得對任意ｘ∈Ｘ都成立，則稱函數(shù)有界；若則有上界，若則有下界。既有上界又有下界稱為有界。②無界性：對于任給的正數(shù)Ｍ，總存在使得則稱函數(shù)無界。即：對任意給定一個(gè)正數(shù)Ｍ都不可能是的界，但相對于每一部分卻是有上或下界的。㈡單調(diào)性：設(shè)函數(shù)，對于任意的（代數(shù)角度）①如果當(dāng)<時(shí)恒有(或)則稱在上是單調(diào)增(減)函數(shù)(單調(diào)函數(shù))。②如果當(dāng)<時(shí)恒有(或)則稱在上是嚴(yán)格增(減)函數(shù)(嚴(yán)格單調(diào)函數(shù))。解析：與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)那么>0(或<0)在上是增(減)函數(shù),幾何屬性:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于(小于)0。㈢奇偶性:設(shè)對于任意的屬于A有-屬于A如果在A上定義并且對于任意的屬于A滿足=（)則稱是一個(gè)定義在A上的奇(偶)函數(shù)。解析：⑴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇偶性存在的必要條件。⑵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。（利用其畫圖象）⑶如果是奇函數(shù),那么在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,若為偶函數(shù),那么在關(guān)于軸對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。⑷一般情況，證明定義在奇函數(shù)時(shí)要考慮特殊點(diǎn)即:；此外若函數(shù)滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)。⑸可對關(guān)系等式進(jìn)行四則運(yùn)算即：①奇函數(shù)或。②偶函（橫軸截距型。橫軸交點(diǎn)且）。重要特性：ⅰ。ⅱ。建立一次函數(shù)與二次函數(shù)之間的關(guān)系：。ⅲ。根據(jù)圖象研究其根的分布。④絕對值函數(shù)：，其圖象為第一，二象限角分線。⑤指數(shù)函數(shù)：。ⅰ。定義域：。ⅱ。值域：，圖象恒過點(diǎn)。ⅲ。當(dāng)是為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。⑥對數(shù)函數(shù)：ⅰ。定義域：。ⅱ。值域：，圖象恒過點(diǎn)。ⅲ。當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。⑦冪函數(shù)：（由于取值的不同其定義域A的情況也不同）ⅰ。當(dāng)＞0時(shí)，函數(shù)在上有定義且是嚴(yán)格增函數(shù)。＜0時(shí)函數(shù)在上有定義且是嚴(yán)格減函數(shù)。ⅱ。當(dāng)越小時(shí)，其圖象越接近于直線。ⅲ。當(dāng)取某些有理數(shù)時(shí)其定義域可擴(kuò)展到負(fù)半軸。⑧三角函數(shù)：ⅰ。函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)函數(shù)符號函數(shù)圖象定義域值域RR單調(diào)性增減增減增減奇偶性奇偶奇奇周期性最小正周期：最小正周期：最小正周期：最小正周期：界性有界函數(shù)有界函數(shù)無界函數(shù)無界函數(shù)最值時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)無無對稱性既是中心對稱，又是軸對稱。既是中心對稱，又是軸對稱。中心對稱中心對稱對稱中心對稱軸無無ⅱ。一般表達(dá)式：（其中，A為振幅決定伸縮性（縱軸），決定伸縮性（橫軸）周期，相位，初相決定奇偶性。）⑨反三角函數(shù)：ⅰ。函數(shù)名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)函數(shù)符號定義域值域圖象單調(diào)性增減增減奇偶性奇無奇無界性ⅱ。已知三角函數(shù)值求角：函數(shù)函數(shù)函數(shù)⑩多項(xiàng)式函數(shù)：。有理函數(shù)：（均為多項(xiàng)式函數(shù)）第二類函數(shù)：①符號函數(shù)：奇函數(shù)；單調(diào)上升（非嚴(yán)格）；非周期；有界②最大整數(shù)函數(shù)：取整的兩個(gè)重要關(guān)系：㈠㈡（表示小數(shù)部分）非奇非偶；單調(diào)上升（非嚴(yán)格）；非周期；無界③小數(shù)部分函數(shù)：非奇非偶；非單調(diào)；周期函數(shù)，周期為1；有界④狄里克雷(Dirichlet)函數(shù)：（使得數(shù)學(xué)研究函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)的概念，性質(zhì)，結(jié)構(gòu)。）偶函數(shù)；非單調(diào)；周期函數(shù)，任意有理數(shù)是它的周期，不存在最小周期；有界⑤整標(biāo)函數(shù)（數(shù)列）：我們將定義在正整數(shù)集上的函數(shù)叫做整標(biāo)函數(shù)（數(shù)列）。常用關(guān)系：⑥黎曼(Riemann)函數(shù)：（周期為1且在無理數(shù)時(shí)連續(xù)）⑦雙曲函數(shù)（工程技術(shù)中經(jīng)常用到，屬于初等函數(shù)）：ⅰ。雙曲正弦函數(shù)：ⅱ。雙曲余弦函數(shù)：ⅲ。雙曲正切函數(shù)：ⅳ。雙曲余切函數(shù)：ⅴ。雙曲正割函數(shù)：ⅵ。雙曲余割函數(shù)：。函數(shù)名稱雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切函數(shù)符號函數(shù)圖象定義域值域單調(diào)性增減增增減奇偶性奇偶奇奇界性無無有無最值無當(dāng)時(shí)，無無對稱性中心對稱軸對稱中心對稱中心對稱對稱中心無對稱軸無軸無無⑧反雙曲函數(shù):ⅰ。反雙曲正弦：ⅱ。反雙曲余弦：ⅲ。反雙曲正切：ⅳ。反雙曲余切：ⅴ。反雙曲正割：ⅵ。反雙曲余割：函數(shù)名稱反雙曲正弦反雙曲正切反雙曲余切函數(shù)符號定義域值域函數(shù)圖象單調(diào)性增增減奇偶性奇奇奇界性無無無⑨雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的比較函數(shù)名稱雙曲函數(shù)三角函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)奇偶性為奇函數(shù)，為偶函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)基本關(guān)系式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶⑷⑸⑹界性無界，有界有界無界周期非周期函數(shù)周期函數(shù)最值有，其余無有和，其余無漸近線與存在存在二，不等式1常用不等式：⑴設(shè)則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）。⑵絕對值三角不等式：⑶設(shè)則⑷均值不等式：設(shè)則（當(dāng)且僅當(dāng)ａ=ｂ時(shí)取等）反映了和與積的關(guān)系。推廣：設(shè)（分別稱為：調(diào)和平均，幾何平均，算術(shù)平均，平方平均）⑸伯努力（Bernoulli）不等式：設(shè)則⑹對于任意的則⑺柯西(Cauchy)不等式：對任意實(shí)數(shù)有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）（可以順利地求出某些含有約束條件的多變量函數(shù)的最值問題）⑻排序不等式：設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，為的任一排列，則有（即：反序和亂序和順序和）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。⑼切比曉夫不等式：設(shè)為任意兩組實(shí)數(shù)，①如果且或且，則：②如果而或而，則：上述兩式中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。⑽加權(quán)平均不等式：設(shè)為正數(shù)，都是正有理數(shù)，并且，那么有：⑾楊格（W。H。Young）不等式：設(shè)為有理數(shù)，滿足條件（互稱共軛指標(biāo)），為正數(shù)，則：（體現(xiàn)了有理數(shù)逼近無理數(shù)的思想，與定積分的聯(lián)系）。2常用不等式的證明方法：⑴比較法⑵綜合法⑶分析法⑷反證法⑸放縮法⑹判別式法⑺換元法⑻構(gòu)造法⑼歸納法：①不完全歸納法②完全（枚舉）歸納法③數(shù)學(xué)歸納法三，任意小正數(shù)假設(shè)ａ，ｂ為兩實(shí)數(shù)，如果對任意給定的小正數(shù)都有則必有。解析：任意小正數(shù)的靈魂所在是任意小的，它的本質(zhì)所在是確定的正常數(shù)。四，鄰域的鄰域及ａ的無（去）心鄰域。解析：數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)性概念。附注1：三角函數(shù)公式1兩角和差的三角函數(shù)公式：⑴⑵⑶，特別地，⑷2二倍角和三倍角公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹運(yùn)用隸莫弗公式得：其中，，對于任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，有，3半角公式：⑴⑵⑶⑷4和差化積公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺5積化和差公式：⑴⑵⑶⑷6輔助角公式：⑷7基本公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺;⑻⑼；⑽8常見公式：若則：⑴⑵⑶⑷9三角形基本定理：⑴正弦定理：（其中為外接圓半徑）⑵余弦定理：（其余公式循環(huán)置換即可）⑶正切定理：⑷半角定理：①②③（其中為內(nèi)切圓半徑，為周長之半，且）10三角形面積公式：=（，，所代表的意義同上）(其中)。附注2：雙曲函數(shù)公式1雙曲函數(shù)的和差公式：⑴⑵⑶2雙曲函數(shù)的二倍角公式：⑴⑵⑶3雙曲函數(shù)的半角公式：⑴；⑵⑶附注3：常見的指對數(shù)運(yùn)算1指數(shù)運(yùn)算：⑴⑵；；；2對數(shù)運(yùn)算：如果那么，⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁（換底公式，固定了底，避免了分類討論）附注4：數(shù)學(xué)方法1變換與轉(zhuǎn)化：把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決的問題中去。⑴問題轉(zhuǎn)化：①特殊化②簡單化③一般化④極端化⑤明朗化⑵結(jié)構(gòu)變換：改變問題的條件或結(jié)論，可以簡化解題途徑。⑶等價(jià)變換：恒等式與不等式的證明中常常采用此種方法。①配方法②裂項(xiàng)法③待定系數(shù)法④特殊值法0或1。⑷易元變換：化繁為簡，轉(zhuǎn)難為易。①線性代換②倒數(shù)代換③指對數(shù)代換④三角代換⑤復(fù)變量代換⑥增量代換等。2分解與組合：分解深入內(nèi)部，把握本質(zhì)。組合實(shí)現(xiàn)化歸，宏觀把握。分解的對象：①問題本身②問題條件③問題外延④實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。3關(guān)系映射反演（RMI）⑴函數(shù)法⑵坐標(biāo)法⑶復(fù)數(shù)與向量法⑷參數(shù)法。4模型與構(gòu)造：⑴模式構(gòu)造⑵公式構(gòu)造⑶特例構(gòu)造⑷方程構(gòu)造⑸圖形構(gòu)造⑹命題構(gòu)造⑺函數(shù)構(gòu)造。5概括與抽象：6觀察與實(shí)驗(yàn)：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，深入事物本質(zhì)，反映規(guī)律。7比較與分類：發(fā)現(xiàn)