角的平分線知識(shí)點(diǎn)

角平分線考點(diǎn)掃描掌握角平分線性質(zhì)定理和它逆定理；能夠利用它們證實(shí)一些對(duì)應(yīng)問題；了解互逆命題和互逆定理概念．名師精講1．角平分線性質(zhì)定理及其逆定理性質(zhì)定理：角平分線上任意點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等；逆定理：到一個(gè)角兩邊距離相等點(diǎn)．在這個(gè)角平分線上．由此可知，角平分線是到兩邊距離相等全部點(diǎn)集合．注意：要分清角平分線性質(zhì)定理和它逆定理題設(shè)和結(jié)論，這兩個(gè)定理，一個(gè)是性質(zhì)，一個(gè)是判定，它們是有區(qū)分，這兩個(gè)定理題設(shè)和結(jié)論恰好相反．2．逆命題定義也能夠敘述為：交換一個(gè)已知命題題設(shè)和結(jié)論所得新命題叫做已知命題逆命題．每個(gè)命題都有它逆命題，原命題和逆命題二者是相正確．要注意真命題逆命題不一定是真命題，假命題逆命題也不一定是假命題．3．依照一個(gè)已知命題表述出它逆命題是本節(jié)一個(gè)難點(diǎn)．這就要求在對(duì)原命題深刻了解基礎(chǔ)上，把原命題寫成“假如……，那么……”句式，然后把兩部分內(nèi)容交換，就得到它逆命題．說明：中考中單獨(dú)測(cè)驗(yàn)角平分線性質(zhì)題目較少，往往把角平分線與其它知識(shí)組合成較復(fù)雜題目．角平分線使用一、平分線應(yīng)用幾何題中，經(jīng)常出現(xiàn)“已知角平分線”這一條件。這個(gè)條件通常有下面幾個(gè)方面應(yīng)用：

（1）利用“角平分線上點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等”性質(zhì)，證實(shí)兩條線段相等。

（2）利用角是軸對(duì)稱圖形，結(jié)構(gòu)全等三角形。

（3）結(jié)構(gòu)等腰三角形。二、應(yīng)用舉例：1.利用角平分線定義例1.如圖，已知AB=AC，AD//BC，求證AD平分∠EAC。證實(shí)：因AB=AC，故∠B=∠C。又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。2.利用等腰三角形三線合一例2.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，且AE=DC+CE，求證：AF平分∠DAE。證實(shí)：連結(jié)EF并延長，交AD延長線于G，則ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是等腰三角形底邊上中線，于是AF平分∠DAE。3.利用定理定理：到一個(gè)角兩邊距離相等點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。例3.如圖，已知ΔABC兩個(gè)外角∠MAC、∠NCA平分線相交于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P在∠B平分線上。證實(shí)：過P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是D、E、F，因P在∠MAC平分線上，故PD=PE。又因P在∠ACN平分線上，故PE=PF，于是PD=PF，故點(diǎn)P在∠B平分線上。4.和平行線結(jié)合使用，輕易得到相等線段。基本圖形：P是∠CAB平分線上一點(diǎn)，PD∥AB，則有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。例4.如圖，ΔABC中，∠B平分線與∠C外角平分線交于D，過D作BC平行線交AB、AC于E、F，求證EF=BE-CF。分析：由BD平分∠ABC，ED∥BC，不難得出BE=DE。要證EF=BE-CF，就轉(zhuǎn)化為要證EF=DE-CF。下面要證FD=FC，即要證∠FCD=∠FDC。由CD平分∠ACG，ED∥BC，很輕易得出∠FCD=∠FDC，從而問題得證。5.利用角平分線對(duì)稱性。例5.如圖，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證AB-AC>PB-PC。分析：證實(shí)不等關(guān)系，通常要把所證實(shí)關(guān)于線段放在一個(gè)三角形內(nèi)。

經(jīng)過角平分線這一條件能夠結(jié)構(gòu)全等三角形：在AB上截取AC'=AC，則有ΔAC