【解題指導(dǎo)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

例1在等比數(shù)列{an}中，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q．（1）a4＝2，a7＝8，求an；（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．（1）方法一

因?yàn)樗杂?/p>

得q3＝4，從而q＝

，而a1q3＝2，于是所以an＝a1qn－1＝

方法二

因?yàn)閍7＝a4q3，所以q3＝4，q＝

所以an＝a4qn－4＝2·（

）n－4＝

在等比數(shù)列{an}中，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q．（1）a4＝2，a7＝8，求an；（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．（2）方法一

因?yàn)橛?/p>

得q＝

，從而a1＝32，又an＝1，所以32×（

）n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6．方法二

因?yàn)閍3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝

由an＝a1qn－1＝1，知n＝6．由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．例1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例2已知{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：方法一

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠0），因?yàn)閍4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，即q－3＋q－1＝2（q－2＋1），q－1（q－2＋1）＝2（q－2＋1），從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1．所以a4＋a6＝2（a5＋1），所以q＝

．故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝qn－7＝（

）n－7．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用已知{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：方法二

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠0），由a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，知q－3＋q－1＝2（q－2＋1），由已知a7＝1，得an＝a7qn－7＝qn－7．所以a4＝q－3，a5＝q－2，a6＝q－1．即q－1（q－2＋1）＝2（q－2＋1），從而q＝

．故an＝qn－7＝（

）n－7．例2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用已知{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：方法三

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠0），則a4＋a6＝2（a5＋a7），即a4＋a6＝2q（a4＋a6）．由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，知a4，a5＋a7，a6成等差數(shù)列，注意到a4＋a6≠0，所以q＝

，故an＝a1qn－1＝a7qn－7＝qn－7＝（

）n－7．例2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用已知{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：方法四

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠0），知a4，a5＋a7，a6成等差數(shù)列，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，所以

于是an＝a1qn－1＝a7qn－7＝qn－7＝（

）n－7．例2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用已知{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．名師點(diǎn)評(píng)：不同解法的出現(xiàn)，源于對(duì)題目條件結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的不同，應(yīng)該說(shuō)下面的認(rèn)識(shí)更接近問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)．（1）兩個(gè)條件“a7＝1，且a4，a3＋1，a6成等差數(shù)列”合起來(lái)說(shuō)明a4，a5＋a7，a6成等差數(shù)列，在解題過(guò)程中，要靈活運(yùn)用“a7＝1”這個(gè)條件．（2）對(duì)于等比數(shù)列{an}，只要ak，ak＋1＋ak＋3，ak＋2成等差數(shù)列，就恒有q＝

．（3）對(duì)于等比數(shù)列{an}，把等差中項(xiàng)a5＋a7＝

表示成

更利于與公比“溝通”．例2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例3有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，求這四個(gè)數(shù)．思路點(diǎn)撥：本題由于涉及的數(shù)列的項(xiàng)比較特殊，巧妙設(shè)為對(duì)稱項(xiàng)，會(huì)給解題帶來(lái)方便．解析：方法一

設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為

，a，aq（q≠0），則第四個(gè)數(shù)為2aq－a．當(dāng)q＝2時(shí)，a＝6，這四個(gè)數(shù)為3，6，12，18；由題意得解得q＝2或q＝

．當(dāng)q＝

時(shí)，a＝

，這四個(gè)數(shù)為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，求這四個(gè)數(shù)．解析：方法二

設(shè)后三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則第一個(gè)數(shù)為

，因此這四個(gè)數(shù)為

，a－d，a，a＋d．故這四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或由題意得由題意得或例3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，求這四個(gè)數(shù)．解析：方法三

設(shè)第一個(gè)數(shù)為a，則第四個(gè)數(shù)為21－a，設(shè)第二個(gè)數(shù)為b，則第三個(gè)數(shù)為18－b，故這四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或由題意得由題意得或則這四個(gè)數(shù)為a，b，18－b，21－a，例3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，求這四個(gè)數(shù)．名師點(diǎn)評(píng)：解決已知三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的問(wèn)題，靈活地設(shè)項(xiàng)至關(guān)重要．當(dāng)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)為

，aq，aq3，此時(shí)公比為q2，在解題中要特別注意，若四個(gè)數(shù)成公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，則不可如此設(shè)項(xiàng)，