平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義說(shuō)課稿(楊振遠(yuǎn))

“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”說(shuō)課稿平江一中：楊振遠(yuǎn)說(shuō)課內(nèi)容：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（人教A版）《數(shù)學(xué)必修4》第二章第四節(jié)“平面向量的數(shù)量積”的第一課時(shí)---平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。下面，我從背景分析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)及教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)六個(gè)方面對(duì)本節(jié)課的思考進(jìn)行說(shuō)明。一、 背景分析1、 學(xué)習(xí)任務(wù)分析平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過(guò)物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對(duì)物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。2、 學(xué)生情況分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識(shí)，并且初步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再?gòu)母拍畛霭l(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解，一方面，相對(duì)于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過(guò)數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，特別是對(duì)性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)數(shù)量積的概念。二、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過(guò)物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3）能用運(yùn)數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，首先無(wú)論是在概念的引入還是應(yīng)用過(guò)程中，物理中“功”的實(shí)例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運(yùn)算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時(shí)也是進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和判斷的理論依據(jù)。最后，無(wú)論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運(yùn)算律，都希望學(xué)生在類(lèi)比的基礎(chǔ)上，通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)發(fā)現(xiàn)，因而對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類(lèi)比思想都無(wú)疑是很好的載體。綜上所述，結(jié)合“課標(biāo)”要求和學(xué)生實(shí)際，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為：1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算和判斷；

3、體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。三、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的理念，結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)的邏輯關(guān)系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學(xué)：回顧向量的線的線性T

抽象閃念探迥性質(zhì)援究薩算律應(yīng)箱概念 ?”T

抽象閃念探迥性質(zhì)援究薩算律應(yīng)箱概念淀義義分 *幾何、物理意義探究性質(zhì) ?<I證明性質(zhì) j探究運(yùn)算律i證明運(yùn)算律 例題與練習(xí)小施升即先從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，通過(guò)歸納和抽象得到數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上研究數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解，然后通過(guò)例題和練習(xí)使學(xué)生鞏固概念，加深印象，最后通過(guò)課堂小結(jié)提高學(xué)生認(rèn)識(shí)，形成知識(shí)體系。

四、 教學(xué)媒體設(shè)計(jì)和“大綱”教材相比，“課標(biāo)”教材在本節(jié)課的內(nèi)容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節(jié)提前做了介紹，但卻將原來(lái)分兩節(jié)課完成的內(nèi)容合并成一節(jié)，相比較而言本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)加重了許多。為了保證教學(xué)任務(wù)的完成，順利實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，考慮到本節(jié)課的實(shí)際特點(diǎn)，在教學(xué)媒體的使用上，我的設(shè)想主要有以下兩點(diǎn)：1、制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來(lái)節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。2、設(shè)計(jì)科學(xué)合理的板書(shū)（見(jiàn)下），一方面使學(xué)生加深對(duì)主要知識(shí)的印象，另一方面使學(xué)生清楚本節(jié)內(nèi)容知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、數(shù)量積的概念質(zhì)四、應(yīng)用與提高二、數(shù)量積的性1、、數(shù)量積的概念質(zhì)四、應(yīng)用與提高二、數(shù)量積的性1、概念：例1：2、2、概念強(qiáng)調(diào)（1）記法例2：3、幾何意義:（23、幾何意義:（2）“規(guī)定例3：三、數(shù)量積的運(yùn)算4、物理意義:五、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程，是教師和學(xué)生間互動(dòng)的過(guò)程，是師生共同發(fā)展的過(guò)程。為有序、有效地進(jìn)行教學(xué)，本節(jié)課我主要安排以下六個(gè)活動(dòng)：活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣正如教材主編寄語(yǔ)所言，數(shù)學(xué)是自然的，而不是強(qiáng)加于人的。平面向量的數(shù)量積這一重要概念，和向量的線性運(yùn)算一樣，也有其數(shù)學(xué)背景和物理背景，為了體現(xiàn)這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？問(wèn)題2：我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型f概念f性質(zhì)f運(yùn)算律f應(yīng)用問(wèn)題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,（2）請(qǐng)同學(xué)們分析這個(gè)公式的特點(diǎn)：W（功）是_量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，問(wèn)題1的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運(yùn)算，但與向量的線性運(yùn)算相比，數(shù)量積運(yùn)算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化。問(wèn)題2的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生在與向量加法類(lèi)比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動(dòng)指明方向。問(wèn)題3的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊?；顒?dòng)二：探究數(shù)量積的概念1、概念的抽象在分析“功”的計(jì)算公式的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題4問(wèn)題4：你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述功的計(jì)算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？學(xué)生通過(guò)思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實(shí)上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步明晰數(shù)量積的概念。2、概念的明晰已知兩個(gè)非零向量盤(pán)與b,它們的夾角為4,我們把數(shù)量2丨?弋Icos?叫做總與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：總?b卩：尬?=在強(qiáng)調(diào)記法和“規(guī)定”后,為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一概念,提出問(wèn)題5問(wèn)題5：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？并完成下表：角①的范圍0?！?<90°◎=90°0°〈氐<180°茂?的符號(hào)通過(guò)此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識(shí)到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律做好鋪墊。3、探究數(shù)量積的幾何意義這個(gè)問(wèn)題教材是這樣安排的：在給出向量數(shù)量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運(yùn)算律的第三條才直接以結(jié)論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，我覺(jué)得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學(xué)生自己歸納得出，所以做了調(diào)整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問(wèn)題5?！猺 —ne —r—nr —^r—r如圖，我們把"Icose（?ICOS?）叫做向量鳥(niǎo)在總方向上9在占方向上）的投影，記做：OB］二IZIcos^問(wèn)題6：數(shù)量積的幾何意義是什么？這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)量積的概念，從中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識(shí)的連貫性，而且也節(jié)約了課時(shí)?；顒?dòng)三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動(dòng)，在完成上述練習(xí)后，我不失時(shí)機(jī)地提出問(wèn)題8：將嘗試練習(xí)中的①②③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？—r —r -nr比較丨尬?占丨與丨尬丨乂丨心丨的大小，你有什么結(jié)論？在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)。2、明晰數(shù)量積的性質(zhì)

數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)匚和血都是非零向量，則u住丄3劇??3=o-r—r -r—r _r _r —r_r2、當(dāng)總與占同向時(shí)，|總■占|=|尬| |止I；當(dāng)尬與止反向時(shí)，—r—r —r —r —r —r —r —r IL -|lj?&| |a |\b \,特別地，a ~a=\ a |!^|? |=Va-3-r—r -r —r'、\a~b\^\a\x\b\3、性質(zhì)的證明這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)?；顒?dòng)四：探究數(shù)量積的運(yùn)算律1、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)關(guān)于運(yùn)算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問(wèn)題9問(wèn)題9：我們學(xué)過(guò)了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？通過(guò)此問(wèn)題主要是想使學(xué)生在類(lèi)比的基礎(chǔ)上，猜測(cè)提出數(shù)量積的運(yùn)算律。學(xué)生可能會(huì)提出以下猜測(cè)：①°（占?c） ③（農(nóng)+占）?c=a?c+b ?c猜測(cè)①的正確性是顯而易見(jiàn)的。關(guān)于猜測(cè)②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問(wèn)題:猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？學(xué)生通過(guò)討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測(cè)②是不正確的。這時(shí)教師在肯定猜測(cè)③的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運(yùn)算律：2、明晰數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量JC和實(shí)數(shù)―貝U：TOC\o"1-5"\h\z-r —r _r —r _r —r -r —r _r —r（1）a?h=h-a（2）（Xa）?b=\（a-b）=a-（Xi）-r —r - —r - _r -（3）（a +占）? c=a -c +b ?c3、證明運(yùn)算律學(xué)生獨(dú)立證明運(yùn)算律（2）我把運(yùn)算運(yùn)算律（2）的證明交給學(xué)生完成，在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到入＞0的情況，為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問(wèn)題：當(dāng)入＜0時(shí)，向量總與入尬，心與入心的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量入住與b及住與入b的夾角與向量住與占的夾角相等嗎?師生共同證明運(yùn)算律（3）運(yùn)算律（3）的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，為了節(jié)約課時(shí)，這個(gè)證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類(lèi)比的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類(lèi)比創(chuàng)新的意識(shí)，將知識(shí)的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起?；顒?dòng)五：應(yīng)用與提高例—：已知|a1=5.|b|=4.a與b的夾角為120°，求a?b, (a)21解a-b=\aI-1b丨cosl20。=5x4x(--)=-10a2=\a\2二52二25練習(xí)：已知在△ABC中，a=8,b=7,ZC=60°,求BC?CA例二.判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.a-0=0；0?a=0；對(duì)任意向量a,b,c都有(a-b)-c=a-(b-c)若a-b=0，貝Ua=0或b=0若a-b=a-c則b=c?X②X?X④X⑤X例三.已知a|=6.|b|=4,當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，求(a+2b)-(a-3b),(a+b)2,\a+b\讓學(xué)生獨(dú)立完成，當(dāng)學(xué)生在求\a+b\時(shí)遇到困難時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意(a+b)2與\a+b\之間的關(guān)系：\a+b\=(a+b)2 ??????解：(a+2b)-(a—3b)=a2—a-b—6b2=\a\2-\a\-\b\-cos0—6\b\2

1=62一6x4x—6x42 =-722(a+b)2二a2+2a-b+b2=|a|2+21aI-1bI-cos0+IbI21=1=62+2x6x4x+42=76Ia+bI=(a+b)2=、：76=2\：19例四：已知Ia|=3,|b|=4，且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？分析：a+kb與a-kb垂直，即證(a+kb)?(a-kb)=0解：若向量a+kb與a-kb互相垂直貝U(a+kb)?(a-kb)=0—> ?a2-k2b2=0 ?/a2二9,b2二163.k=+-4本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學(xué)生實(shí)際選擇了其中的三道，并對(duì)例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，我重點(diǎn)從對(duì)運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過(guò)程的規(guī)范書(shū)寫(xiě)兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。完成計(jì)算后，進(jìn)一步提出問(wèn)題：此運(yùn)算過(guò)程類(lèi)似于哪種運(yùn)算？目的是想讓學(xué)生在類(lèi)比多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上自己猜測(cè)提出例2給出的兩個(gè)公式，再由學(xué)生獨(dú)立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生通過(guò)類(lèi)比這一思維模式達(dá)到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運(yùn)算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來(lái)判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)給學(xué)生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理?；顒?dòng)六：小結(jié)提升與作業(yè)布置1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的兩個(gè)基本應(yīng)用是什么？3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行