分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論

分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論第一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.1分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

分子動(dòng)理論方法的主要特點(diǎn):考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)分子碰撞的詳情。它的最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過(guò)程。第二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五分子動(dòng)理論:分子運(yùn)動(dòng)學(xué)+分子動(dòng)力學(xué)熱力學(xué)對(duì)不可逆過(guò)程所能敘述的僅是孤立體系的熵的增加，而分子動(dòng)理論則企圖能進(jìn)而敘述一個(gè)非平衡態(tài)氣體的演變過(guò)程。諸如：①分子由容器上的小孔逸出所產(chǎn)生的瀉流；②動(dòng)量較高的分子越過(guò)某平面與動(dòng)量較低的分子混合所產(chǎn)生的與黏性有關(guān)的分子運(yùn)動(dòng)過(guò)程；③動(dòng)能較大的分子越過(guò)某平面，與動(dòng)能較小的分子混合所產(chǎn)生的與熱傳導(dǎo)有關(guān)的過(guò)程；④一種分子越過(guò)某平面與其他種分子混合的擴(kuò)散過(guò)程；⑤流體中懸浮的微粒受到從各方向來(lái)的分子的不均等沖擊力，使微粒作雜亂無(wú)章的布朗運(yùn)動(dòng)；⑥兩種或兩種以上分子間以一定的時(shí)間變化率進(jìn)行的化學(xué)結(jié)合，稱為化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)。第三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

特點(diǎn):1.氣體分子動(dòng)理論在處理復(fù)雜的非平衡態(tài)系統(tǒng)時(shí)，都要加上一些近似假設(shè)。2.由于微觀模型細(xì)致程度不同，理論的近似程度也就不同，對(duì)于同一問(wèn)題可給出不同理論深度的解釋。微觀模型考慮得越細(xì)致，越接近真實(shí)，數(shù)學(xué)處理也越復(fù)雜。3.重點(diǎn)應(yīng)掌握基本物理概念、處理問(wèn)題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。4.在某些問(wèn)題（特別是一些非平衡態(tài)問(wèn)題）中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。因?yàn)橄喈?dāng)簡(jiǎn)單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，它常常能解決概念上的困難并能指出新的計(jì)算步驟及近似方法。第四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.2概率論的基本知識(shí)

§2.2.1伽爾頓板實(shí)驗(yàn)

解決問(wèn)題的關(guān)鍵：分子按速率的概率分布律第五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1.只要小球總數(shù)足夠多（N

→∞，則每一小槽內(nèi)都有小球落入，且第i個(gè)槽內(nèi)小球數(shù)Ni與小球總數(shù)N（N=∑Ni）之比有一定的分布。2.若重復(fù)做實(shí)驗(yàn)甚至用同一小球投入漏斗N次（N

→∞），其分布曲線都相同。說(shuō)明1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律：?jiǎn)蝹€(gè)小球的運(yùn)動(dòng)服從力學(xué)規(guī)律，大量小球按槽的分布服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律.2.漲落：漲落現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本特征之一結(jié)論第六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.2.2等概率性與概率的基本性質(zhì)

一.概率的定義在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，我們就稱這樣的事件為隨機(jī)事件。若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)（如擲骰子），在總次數(shù)N足夠多的情況下（即N→∞），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件（如哪一面向上）的次數(shù)NL，則其百分比即該事件出現(xiàn)的概率

第七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五二.等概率性等概率性原理：在沒(méi)有理由說(shuō)明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。第八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）相乘法則:例:把一個(gè)骰子連續(xù)擲兩次三.概率的基本性質(zhì)（1）相加法則:n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和.同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（沒(méi)有關(guān)聯(lián),獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積(3)概率歸一化:

互相排斥(簡(jiǎn)稱互斥)的事件:An個(gè)事件，出現(xiàn)事件Al，就不可能同時(shí)出現(xiàn)事件A2，A3,…An。互不相關(guān)事件(獨(dú)立事件):事件A的發(fā)生與否，不會(huì)因B事件是否已經(jīng)發(fā)生過(guò)而受到影響.第九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.2.3平均值及其運(yùn)算法則

統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè)ui為隨機(jī)變量（例如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）u1值的次（或人）數(shù)為N1，u2值的次（或人）數(shù)為N2……，則該隨機(jī)變量（年齡）的平均值為因?yàn)槭浅霈F(xiàn)ui值的百分比，當(dāng)N時(shí)它就是出現(xiàn)ui值的概率Pi，故一、

平均值第十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)（3）若C為常數(shù)，則(4)若隨機(jī)變量u和隨機(jī)變量v是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。f(u)又是u的某一函數(shù)，g（v）是v的另一函數(shù)，則以上討論的各種概率都是歸一化的，即

(1)設(shè)f（u）是隨機(jī)變量u的函數(shù)，則二、平均值的運(yùn)算法則注意第十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.2.4均方偏差

隨機(jī)變量會(huì)偏離平均值，即。一般其偏離值的平均值為零（即)，但均方偏差不為零。因?yàn)椤?，所以定義相對(duì)均方根偏差

相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開(kāi)的程度，也稱為漲落、散度或散差。第十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.2.5概率分布函數(shù)

v到v+dv的概率分布有關(guān)打靶試驗(yàn)的例子:飛鏢第十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖（a）直角坐標(biāo)表示靶板上的分布；圖（b）極坐標(biāo)表示其分布

只要數(shù)出在x到x+⊿x范圍內(nèi)的那條窄條中的黑點(diǎn)數(shù)⊿N，把它除以靶板上總的黑點(diǎn)數(shù)N（N應(yīng)該足夠大），則其百分比就是黑點(diǎn)處于x~x+Δx范圍內(nèi)這一窄條的概率。第十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

然后以為縱坐標(biāo)，以x為橫坐標(biāo)，畫(huà)出圖.若令⊿x→0，就得到一條連續(xù)曲線。

這時(shí)的縱坐標(biāo)稱為黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度，表示黑點(diǎn)沿x方向的相對(duì)密集程度。而f(x)dx表示處于x到x+dx范圍內(nèi)的概率。在曲線中x~x+dx微小線段下的面積則表示黑點(diǎn)處于x~x+dx范圍內(nèi)的概率位置處于x1到x2范圍內(nèi)的概率

(歸一條件)第十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五類似地可求出并令可得到黑點(diǎn)處于y~y+dy范圍內(nèi)的概率為f(y)dy。黑點(diǎn)處于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點(diǎn)數(shù)與總黑點(diǎn)數(shù)之比。根據(jù)概率相乘法則，粒子處于該面積上的概率為第十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

概率密度分布函數(shù):若要求出處于x1~x2、y1~y2范圍內(nèi)的概率，只要對(duì)x、y積分1.平均值：黑點(diǎn)的x方向坐標(biāo)偏離靶心（x=0）的平均值x的某一函數(shù)的平均值

說(shuō)明第十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.極坐標(biāo)表示考慮對(duì)稱性drr~r+dr小圓環(huán)內(nèi)的dN第十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.3.1分子射線束實(shí)驗(yàn)

1.分子束中能穿過(guò)第一個(gè)凹槽的分子一般穿不過(guò)第二個(gè)凹槽，除非它的速率v滿足如下關(guān)系

測(cè)量原理通過(guò)改變角速度ω的大小，選擇速率v

§2.3麥克斯韋速率分布

第十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.以為縱坐標(biāo)（其中N是單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)第一個(gè)圓盤上的凹槽的總分子數(shù)），以分子的速率v為橫坐標(biāo)作一圖形，如圖所示。2.通過(guò)細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間4.當(dāng)Δv→0時(shí)，即得圖（b）所示的一條光滑的曲線，稱為分子束速率分布曲線。第二十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五5.在v到v+dv速率區(qū)間內(nèi)的細(xì)長(zhǎng)條的面積就表示分子速率介于v~v+dv區(qū)間范圍內(nèi)的概率

意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)比率第二十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.3.2麥克斯韋速率分布

一.氣體分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布?xì)怏w分子的速率分布與分子束速率分布不同,但它們存在一定關(guān)系，故可利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的曲線求得理想氣體速率分布。第二十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五二.麥克斯韋速率分布定律(麥克斯韋速率分布概率密度

)m為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律說(shuō)明(1)從統(tǒng)計(jì)的概念來(lái)看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒(méi)有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對(duì)處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。第二十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)(1)由圖可見(jiàn)，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

(2)在dv間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv··(3)在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2T第二十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五vOT(速率分布曲線)(4)曲線下面的總面積，等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時(shí),所對(duì)應(yīng)的速率稱為最概然速率

(5)(歸一化條件)f(v)第二十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五①m

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動(dòng)②T一定,

m

越大,這時(shí)曲線向左移動(dòng)vp越大,vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)m1f(v)vOm2(>m1)由于曲線下的面積不變,由此可見(jiàn)

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系(6)第二十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五三.分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

1.平均速率式中Mm

為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量是否表示在v1~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？思考：

第二十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.方均根速率理想氣體狀態(tài)方程第二十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.最概然速率

氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多。物理意義第二十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五T一般三種速率用途各不相同

（2）在計(jì)算分子平均自由程、氣體分子碰壁數(shù)及氣體分子之間碰撞頻率時(shí)則用到平均速率說(shuō)明（3）討論分子的平均平動(dòng)動(dòng)能用方均根速率（1）在討論速率分布，比較兩種不同溫度或不同分子質(zhì)量的氣體的分布曲線時(shí)常用到最概然速率f(v)vO第三十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:2、三種速率的比較

N2分子在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布第三十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.1試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。解（1）氮分子平均速率

（2）氫分子平均速率

●以上計(jì)算表明，除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級(jí)

第三十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)試在圖上畫(huà)出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例2.3.2求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率O第三十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.3根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)f(v)vO第三十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.4在溫度為300K時(shí)，空氣中速率在(1)vp附近；(2)10vp附近，速率區(qū)間Δv＝1m/s

內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率是多少？第三十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.5金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個(gè)電子，其中電子的最大速率為v

m,設(shè)電子速率分布函數(shù)為式中A

為常數(shù)。求該電子氣的平均速率。第三十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.6有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)求O第三十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.3.7氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布規(guī)律思考最概然平動(dòng)動(dòng)能是否等于最概然速率所對(duì)應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能?第三十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.4麥克斯韋速度分布

§2.4.1速度空間一、速度矢量、速度空間中的代表點(diǎn)要描述氣體分子的速度大小和方向，需引入速度矢量這一概念，速度矢量的方向和大小恰與此瞬時(shí)該分子速度的大小、方向一致。一個(gè)分子僅有一個(gè)速度矢量。

第三十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)速度空間中的代表點(diǎn)把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐標(biāo)圖，且把所有分子速度矢量的起始點(diǎn)都平移到公共原點(diǎn)O上。平移后，僅以矢量的箭頭端點(diǎn)的點(diǎn)來(lái)表示這一矢量，而把矢量符號(hào)抹去。這樣的點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。如圖的P點(diǎn)所示。

第四十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

(2)以直角坐標(biāo)表示的速度空間

以速度分量vx、vy、vz為坐標(biāo)軸,以從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量來(lái)表示分子速度方向和大小的坐標(biāo)稱為速度空間。二、速度空間中代表點(diǎn)的分布

若把某一瞬時(shí)所有分子所對(duì)應(yīng)的速度矢量代表點(diǎn)都標(biāo)在速度空間中，就構(gòu)成代表點(diǎn)在速度空間中的一種分布圖形。第四十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五速度空間中的代表點(diǎn)分布與前面介紹過(guò)的靶板上的靶點(diǎn)分布圖十分類似：靶點(diǎn)位于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率是以f（x，y）dxdy來(lái)表示的，其中dxdy為這一區(qū)域大小，f（x，y）是黑點(diǎn)的概率密度。第四十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五微分元中的代表點(diǎn)的數(shù)目dN（vx、vy、vz）坐標(biāo)為vx、vy、vz處的麥克斯韋速度分布概率密度速度在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz區(qū)間分子的概率:第四十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五介于之間的分子數(shù)

有限速度區(qū)間的分子數(shù)

實(shí)際上獨(dú)立事件概率相乘其中i可分別代表x、y、z。第四十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§2.4.2麥克斯韋速度分布（Maxwellvelocitydistribution）

因?yàn)辂溈怂鬼f速度分布有第四十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若系統(tǒng)總分子數(shù)為N，欲求分子速度的x分量在vx~vx+dvx內(nèi)而vy、、vz任意的分子數(shù)dN(vx),可對(duì)vy、vz積分后求出：利用定積分公式可知上式中的兩個(gè)積分都是1，故第四十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五概率分布曲線如圖所示：它對(duì)稱于縱軸，圖中打上斜線的狹條的面積即*由于麥克斯韋在導(dǎo)出麥克斯韋速度分布律過(guò)程中沒(méi)有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一速度分布律一般適用于平衡態(tài)的理想氣體。第四十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五*§2.4.3相對(duì)于vp

的（麥克斯韋）速度分量分布與速率分布誤差函數(shù)

一、相對(duì)于vp的速度分量（麥克斯韋）分布

令相對(duì)于最概然速率的速度分量分布第四十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

若要求出分子速度x方向分量小于某一vx數(shù)值的分子數(shù)所占的比率，則可對(duì)上式積分在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義下式為誤差函數(shù)，以erf（x）表示誤差函數(shù)有表可查，如表第四十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.4.1

試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮?dú)夥肿铀俣鹊膞分量小于800m·s-1的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比。解首先求出273K時(shí)氮?dú)夥肿樱栙|(zhì)量Mm=0.028kg）的最概然速率查得erf（2）=0.995，故這種分子所占百分比為=49.8%這么小?第五十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、相對(duì)于vp的麥克斯韋速率分布若令，可將麥克斯韋速率分布表示為

再利用誤差函數(shù)可求得在0~v范圍內(nèi)的分子數(shù)第五十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五考慮對(duì)稱性drr~r+dr小圓環(huán)內(nèi)的dN§2.4.4從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布

一、以極坐標(biāo)表示的射擊點(diǎn)分布第五十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

二、氣體分子的速率分布

對(duì)于麥克斯韋速度分布，則在速度空間中，所有分子速率介于v~v+dv

范圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)應(yīng)該都落在以O(shè)原點(diǎn)為球心，v

半徑，厚度為dv的一薄層球殼中根據(jù)分子混沌性假設(shè)，代表點(diǎn)的數(shù)密度是球?qū)ΨQ的。在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)dN設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為:第五十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五麥克斯韋速度分布代入這就是麥克斯韋速率分布.

第五十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五物理意義?例2.4.2第五十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.5氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用

前面已用最簡(jiǎn)單的方法導(dǎo)出了單位時(shí)間內(nèi)碰撞在單位面積器壁上的平均分子數(shù)的近似公式第五十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.5.1由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式一.的證明

若容器內(nèi)裝有分子數(shù)密度為n的理想氣體。內(nèi)壁上有一dA的面積元。

現(xiàn)以dA的中心O為原點(diǎn)，畫(huà)出一直角坐標(biāo)，其x軸垂直于dA面元。

為了表示容器內(nèi)氣體分子的速度方向，還引入一個(gè)速度坐標(biāo)。速度坐標(biāo)的方向正好與以O(shè)為原點(diǎn)的位置坐標(biāo)方向相反。第五十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在容器中處于位置坐標(biāo)為x=vxdt，y=vydt，z=vzdt的B點(diǎn)附近的小體積內(nèi)的氣體，只要其速度在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz范圍內(nèi)的分子，在dt時(shí)間內(nèi)均可運(yùn)動(dòng)到dA面元之相碰。

只有在以dA為底、vxdt為高，其母線與BO直線平行的斜柱體中的所有速度的分子，在dt時(shí)間內(nèi)均會(huì)與dA碰撞.

這些碰撞分子的總數(shù)等于單位體積內(nèi)速度在范圍內(nèi)的分子數(shù)與斜柱體體積的乘積.第五十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五dt時(shí)間內(nèi)，速度分量在vx~vx+dvx，-∞＜vy＜∞，-∞＜vz＜∞范圍內(nèi)的，碰撞在dA面元上的分子數(shù)

若要求出dt

時(shí)間內(nèi)碰撞在dA面元上所有各種速度分子的總數(shù)N′則還應(yīng)對(duì)vx積分:vx>0第五十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中為麥克斯韋分布的平均速率。單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上總分子數(shù)為第六十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

二.氣體壓強(qiáng)公式

氣體壓強(qiáng)是在單位時(shí)間內(nèi)大多數(shù)氣體分子碰撞器壁而施于單位面積器壁的平均沖量。

一個(gè)速度分量為vx、vy、vz的分子，對(duì)圖中面元dA作完全彈性碰撞時(shí)將施予器壁2mvx的沖量，而與vy、vz

的大小無(wú)關(guān).

若在dt時(shí)間內(nèi)，所有速度分量在vx~vx+dvx，-∞＜vy＜∞，-∞＜vz＜∞范圍內(nèi)的、碰撞在面元dA上的分子數(shù)為dN’（vx），則所有這些分子由于碰撞而給予面元dA的沖量為第六十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五則氣體分子給予器壁的壓強(qiáng)為考慮到處于平衡態(tài)的理想氣體其分子的混沌性，故有代入在dt時(shí)間內(nèi)，所有各種速度的分子碰撞在dA上的總沖量為第六十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、瀉流及其應(yīng)用若器壁開(kāi)個(gè)小孔，小孔的器壁又較薄，則分子射出小孔的數(shù)目是與碰撞到器壁小孔處的氣體分子數(shù)相等的，氣體分子如此射出小孔的過(guò)程稱為瀉流。處于平衡態(tài)的氣體，在dt時(shí)間內(nèi)，從△A面積小孔逸出的分子數(shù)小孔ABT1,n1T2，n2例2.5.1熱分子壓差若A、B中氣體是同種的第六十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.5.2小孔瀉流:容器體積V,真空,小孔面積A,大氣壓強(qiáng)P0,溫度T0,打開(kāi)小孔求：容器中氣體壓強(qiáng)增至P0/2時(shí)所需時(shí)間?第六十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.6外力場(chǎng)中自由粒子的分布·玻爾茲曼分布

§2.6.1等溫大氣壓強(qiáng)公式

一.等溫大氣壓強(qiáng)公式（isothermalbarometricformula)

現(xiàn)假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣溫度隨高度變化是怎樣的？考慮在大氣中垂直高度為z到z+dz，面積為A的一薄層氣體（見(jiàn)圖).該系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件為

第六十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中p(0)及p(z)分別為高度0及z處大氣壓強(qiáng)。改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布公式，則氣體分子熱運(yùn)動(dòng)與分子受重力場(chǎng)作用這一對(duì)矛盾。注意等溫氣壓公式積分，則有第六十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五二.等溫大氣標(biāo)高

因指數(shù)上量綱為1，故中的具有高度的量綱。定義大氣標(biāo)高H

大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，它反映了氣體分子熱運(yùn)動(dòng)與分子受重力場(chǎng)作用這一對(duì)矛盾。上式表明，大氣分子的標(biāo)高H與溫度成正比，與分子量成反比，即溫度愈高，分子愈輕，它們相對(duì)而言就愈多地分布在高層大氣。在登山運(yùn)動(dòng)和航空駕駛中，往往根據(jù)上式，從測(cè)出的壓強(qiáng)變化估算上升的高度。第六十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五大氣標(biāo)高的物理意義（1）在高度z=H處的大氣壓強(qiáng)為z=0處大氣壓強(qiáng)的1/e（2）設(shè)把整個(gè)大氣分子都?jí)嚎s為環(huán)繞地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的一層假想的均勻大氣層，則這一層大氣的厚度也是H第六十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中m*稱為等效質(zhì)量。

1908年法國(guó)科學(xué)家佩蘭(Perrin)首次觀測(cè)到，測(cè)出了表征原子-分子論特征的阿伏伽德羅常量及分子、原子的近似大小。1926年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。設(shè)每一個(gè)微粒的質(zhì)量為m，體積為V，微粒的質(zhì)量密度為ρ。將其放在質(zhì)量密度為溶液中。微粒受力是三.懸浮微粒按高度的分布第六十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.6.1實(shí)驗(yàn)測(cè)得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低133.3Pa。試用恒溫氣壓公式驗(yàn)證此結(jié)果（海平面上大氣壓按1.013×105Pa計(jì)，溫度取273K）。第七十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.6.2拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當(dāng)海平面上的氣壓為1.013×105Pa時(shí)，(1)拉薩的大氣壓強(qiáng)；(2)若某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩呼吸多少

次才能吸入同樣的質(zhì)量的空氣。M=29×10-3kg/mol求第七十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五hdrrωl在距轉(zhuǎn)軸r出取dr一段氣體作為研究對(duì)象§2.6.2

旋轉(zhuǎn)體中微粒徑向分布第七十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.6.3玻爾茲曼分布（Bortzmanndistribution）

等溫大氣重力場(chǎng)中氣體分子數(shù)密度隨高度的分布公式接下來(lái)看麥克斯韋速度分布

分布都是按粒子能量ε的分布，它們都有一個(gè)稱為“玻爾茲曼因子”的因子第七十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五

規(guī)律:這些分布中都有因子，稱為玻爾茲曼因子。具有玻爾茲曼因子的分布，稱為玻爾茲曼分布（Bortzmanndistribution）

若n1和n2分別是在溫度為T的系統(tǒng)中，處于粒子能量為的某一狀態(tài)與粒子能量為的另一狀態(tài)上的粒子數(shù)密度。則玻爾茲曼分布可表示為

玻爾茲曼分布表示：粒子處于能量相同的各狀態(tài)上的概率是相同的；粒子處于能量不同的各狀態(tài)的概率是不同的，粒子處于能量高的狀態(tài)上的概率反而小---能量最小原理。第七十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五玻爾茲曼分布能為我們提供用來(lái)表示溫度的另一表達(dá)式對(duì)于粒子只能取兩個(gè)能級(jí)的系統(tǒng)：產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（populationinversion）的負(fù)溫度狀態(tài)。討論若若

它表示處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無(wú)相互作用）粒子的兩個(gè)不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與系統(tǒng)的溫度及能量之差有確定的關(guān)系。第七十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.7能量均分定理

§2.7.1理想氣體的熱容（一）熱容（heatcapacity）

熱容：在存在溫度差所發(fā)生的傳熱過(guò)程中，物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。C=νCm,C=mcCm：摩爾熱容，c：比熱容CV

定體熱容，Cp

定壓熱容第七十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（二）理想氣體熱容與理想氣體內(nèi)能單原子理想氣體只有熱運(yùn)動(dòng)平動(dòng)動(dòng)能，沒(méi)有勢(shì)能。一個(gè)分子的熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能由于在等體過(guò)程中不作功，所吸收熱量就等于內(nèi)能增加，即摩爾內(nèi)能為單原子理想氣體的定體摩爾熱容第七十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五理想氣體熱運(yùn)動(dòng)無(wú)擇優(yōu)取向而

這說(shuō)明在理想氣體中，x、y、z三個(gè)方向的平均平動(dòng)動(dòng)能都均分第七十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五自由度數(shù)：確定一個(gè)分子的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.剛性分子：分子內(nèi)原子之間的距離保持不變的分子.分子種類平動(dòng)自由度t轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r總自由度i＝t＋r單原子分子303剛性雙原子分子325剛性三原子以上分子336§2.7.2自由度與自由度數(shù)自由度（degreeoffreedom）定義：描述一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱為該物體的自由度。第七十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.非剛性雙原子分子有一個(gè)沿兩質(zhì)心聯(lián)線振動(dòng)的振動(dòng)自由度說(shuō)明2.N個(gè)原子組成的多原子分子，其自由度數(shù)最多為3N個(gè)。一般來(lái)說(shuō)，在這3N自由度中，有三個(gè)（整體）平動(dòng)、三個(gè)（整體）轉(zhuǎn)動(dòng)及3N-6個(gè)振動(dòng)自由度。第八十頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子t

平動(dòng)r轉(zhuǎn)動(dòng)v振動(dòng)3003剛性3205非剛性3216剛性非剛性3306333N-63N自由度分子的自由度第八十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五單原子分子每個(gè)平動(dòng)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能為由于沿x,y,z三個(gè)方向