因子模型和套利定價理論APT

因子模型和套利定價理論APT第一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五引入可以大大簡化計算量由于因子模型的引入，使得估計Markowitz有效集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡化。因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報率生成過程的一種新視點更準確第二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五CAPM與APT建立在均值—方差分析基礎(chǔ)上的CAPM是一種理論上相當完美的模型，它解釋了為什么不同的證券會有不同的回報率。除CAPM理論外，另一種重要的定價理論是由StephenRoss在70年代中期建立的套利定價理論(APT)。在某種意義上來說，它是一種比CAPM簡單的理論。最優(yōu)投資組合理論+市場均衡=CAPM因子模型+無套利=APT第三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五CAPM是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想化的模型，這些假設(shè)包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型時所作的假設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是，所有投資者的無差異曲線建立在證券組合回報率的期望和標準差之上。相反，APT所作的假設(shè)少得多。APT的基本假設(shè)之一是，當投資者具有在不增加風險的前提下提高回報率的機會時，每個人都會利用這個機會，即個體是非滿足的；另外一個重要的假設(shè)是，證券市場證券種類特別多，并且彼此之間獨立。第四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五1.因子模型(FactorModel)

實際中，所有的投資者都會明顯或者不明顯地應(yīng)用因子模型。第五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：市場模型

這里

=在給定的時間區(qū)間，證券

i

的回報率

=在同一時間區(qū)間，市場指標

I

的回報率

=截矩項

=斜率項

=隨機誤差項，

第六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：Flyer公司股票的下一個月回報率

這里

表示實際月回報率

表示期望回報率

表示回報率的非期望部分期望回報率是市場中投資者預(yù)期到的回報率，依賴于投資者現(xiàn)在獲得地關(guān)于該種股票的所有信息，以及投資者對何種因素影響回報率地全部了解。非期望部分由下一個月內(nèi)顯示的信息導(dǎo)致，例如：利率變動，經(jīng)濟增長情況，相關(guān)政策等等。

第七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：市場模型

這里

=在給定的時間區(qū)間，證券

i

的回報率

=在同一時間區(qū)間，市場指標

I

的回報率

=截矩項

=斜率項

=隨機誤差項，

第八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：Flyer公司股票的下一個月回報率

這里

表示實際月回報率

表示期望回報率

表示回報率的非期望部分期望回報率是市場中投資者預(yù)期到的回報率，依賴于投資者現(xiàn)在獲得地關(guān)于該種股票的所有信息，以及投資者對何種因素影響回報率地全部了解。非期望部分由下一個月內(nèi)顯示的信息導(dǎo)致，例如：利率變動，經(jīng)濟增長情況，相關(guān)政策等等。

第九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)濟系統(tǒng)中的某些共同因素影響幾乎所有的公司商業(yè)周期、利率、GDP增長率、技術(shù)進步、勞動和原材料的成本、通貨膨脹率這些變量不可預(yù)期的變化將導(dǎo)致整個證券市場回報率的不可預(yù)期變化定義1：因子模型（或者指標模型）是一種假設(shè)證券的回報率只與不同的因子或者指標的運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。

第十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五市場模型是一種單因子模型——以市場指標的回報率作為因子。由于在實際中，證券的回報率往往不只受市場指標變動的影響，所以，在估計證券的期望回報率、方差以及協(xié)方差的準確度方面，多因子模型比市場模型更有效。第十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

作為一種回報率產(chǎn)生過程，因子模型具有以下幾個特點。第一，因子模型中的因子應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價格的經(jīng)濟因素。第二，在構(gòu)造因子模型中，我們假設(shè)兩個證券的回報率相關(guān)——一起運動——僅僅是因為它們對因子運動的共同反應(yīng)導(dǎo)致的。第三，證券回報率中不能由因子模型解釋的部分是該證券所獨有的，從而與別的證券回報率的特有部分無關(guān)，也與因子的運動無關(guān)。第十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

因子模型在證券組合管理中的應(yīng)用在證券組合選擇過程中，減少估計量和計算量刻畫證券組合對因子的敏感度第十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五如果假設(shè)證券回報率滿足因子模型，那么證券分析的基本目標就是：辨別這些因子以及證券回報率對這些因子的敏感度。第十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五2.單因子模型把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏觀經(jīng)濟指標，假設(shè)它對整個證券市場產(chǎn)生影響，并進一步假設(shè)其余的不確定性是公司所特有的。例如，國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的預(yù)期增長率是影響證券回報率的主要因素。

第十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五表6-1因子模型數(shù)據(jù)年份

GDP增長率

A股票回報率

1 5.7% 14.3% 2 6.4 19.2 3 7.9 23.4 4 7.0 15.6 5 5.1 9.2 6 2.9 13.0 第十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

4%

第十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五圖6-1中，橫軸表示GDP的預(yù)期增長率，縱軸表示證券A的回報率。圖上的每一點表示表6-1中，在給定的年份，A的回報率與GDP增長率的關(guān)系。通過線性回歸分析，我們得到一條符合這些點的直線。這條直線的斜率為2，說明A的回報率與GDP增長率有正的關(guān)系。GDP增長率越大，A的回報率越高。第十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五寫成方程的形式，A的回報率與GDP預(yù)期增長率之間的關(guān)系可以表示如下：

(6.1)

這里

=A在

t時的回報率,=GDP在

t時的預(yù)期增長率,=A在

t時的回報率的特有部分,=A對GDP的預(yù)期增長率的敏感度,=有關(guān)GDP的零因子。第十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

在圖6-1中，零因子是4%，這是GDP的預(yù)期增長率為零時，A的回報率。A的回報率對GDP增長率的敏感度為2，這是圖中直線的斜率。這個值表明，高的GDP的預(yù)期增長率一定伴隨著高的A的回報率。如果GDP的預(yù)期增長率是5%，則A的回報率為14%。如果GDP的預(yù)期增長率增加1%時，則A的回報率增加2%。第二十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個例子里，第六年的GDP的預(yù)期增長率為2.9%，A的實際回報率是13%。因此，A的回報率的特有部分（由給出）為3.2%。給定GNP的預(yù)期增長率為2.9%，從A的實際回報率13%中減去A的期望回報率9.8%，就得到A的回報率的特有部分3.2%第二十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五從這個例子可以看出，A在任何一期的回報率包含了三種成份：1．在任何一期都相同的部分（）2．依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分（）3．屬于特定一期的特殊部分（）。第二十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五從這個例子可以看出，A在任何一期的回報率包含了三種成份：1．在任何一期都相同的部分（

）2．依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分（

）3．屬于特定一期的特殊部分（

）。第二十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的最一般形式：對時間

t

的任何證券

i

有

(6.2)第二十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時間

t

的因子的值，對在時間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時間的變化而變化。

是證券

i

在時間

t

的回報率的特有部分。這是一個均值為0，標準差為

，且與因子

無關(guān)的隨機變量，我們以后簡稱為隨機項。第二十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因子模型，從而省掉角標t，從而(6.2)式變?yōu)?/p>

(6.3)并且假設(shè)：

1．任意證券

i

的隨機項

與因子不相關(guān);2．任意證券

i

與證券

j的隨機項

與

不相關(guān)。

對于證券

i

而言，其回報率的均值

(6.4)

第二十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，是因子在時間t

的因子的值，對在時間t

的所有的證券而言，它是相同的。是證券i

對因子的敏感度，對證券i而言，不隨時間的變化而變化。是證券i

在時間t

的回報率的特有部分。這是一個均值為0，標準差為，且與因子無關(guān)的隨機變量，我們以后簡稱為隨機項。第二十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時間

t

的因子的值，對在時間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時間的變化而變化。

是證券

i

在時間

t

的回報率的特有部分。這是一個均值為0，標準差為

，且與因子

無關(guān)的隨機變量，我們以后簡稱為隨機項。第二十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)1說明，因子具體取什么值對隨機項沒有影響。而假設(shè)2說明，一種證券的隨機項對其余任何證券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于因子對它們的共同影響導(dǎo)致的。如果任何假設(shè)不成立，則單因子模型不準確，應(yīng)該考慮不同的因子模型。第二十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這里，

是因子在時間

t

的因子的值，對在時間

t

的所有的證券而言，它是相同的。

是證券

i

對因子

的敏感度，對證券

i而言，

不隨時間的變化而變化。

是證券

i

在時間

t

的回報率的特有部分。這是一個均值為0，標準差為

，且與因子

無關(guān)的隨機變量，我們以后簡稱為隨機項。第三十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

對于證券

i

而言，其回報率的方差為

(6.5)例子第三十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五定義2：

我們稱(6.5)式中的

為因子風險；

為非因子風險。對于證券

i

和

j

而言，它們之間的協(xié)方差為

(6.6)第三十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)。

第一個性質(zhì)，單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差分析中的估計量和計算量。

第二個性質(zhì)與風險的分散化有關(guān)。

（1）

（2）（3）

分散化導(dǎo)致因子風險的平均化，如上式（2）。

分散化縮小非因子風險，越分散w越小，上式（3）值就越小。第三十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)。第一個性質(zhì)，單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差分析中的估計量和計算量。第二個性質(zhì)與風險的分散化有關(guān)。

（1）

（2）

（3）

分散化導(dǎo)致因子風險的平均化，如上式（2）。

分散化縮小非因子風險，越分散w越小，上式（3）值就越小。第三十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3多因子模型經(jīng)濟是否健康發(fā)展影響絕大多數(shù)公司的前景，因此，對將來經(jīng)濟預(yù)期的變化會對大多數(shù)證券的回報率產(chǎn)生深遠的影響。但是，經(jīng)濟并不是一個簡單的單一體，用單一的因子來刻畫整個經(jīng)濟顯然是不準確的。第三十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3.1兩因子模型，即，回報率生成過程包括兩個因子。在

t

時的兩因子模型方程為：

(6.10)這里

和

是影響證券回報率的主要因素，

和

是證券

i

對兩因子的敏感度。

是隨機項，而

是零因子回報率。

第三十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子

表6-2因子模型數(shù)據(jù)

年份 GDP增長率 通貨膨脹率 A股票回報率

1 5.7% 1.1% 14.3%

2 6.4 4.4 19.2

3 7.9 4.4 23.4

4 7.0 4.6 15.6

5 5.1 6.1 9.2

6 2.9 3.1 13.0 第三十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

第三十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券B的回報率受GDP的增長率和通貨膨脹率預(yù)期值的影響。圖中的每一點描述了在特定的一年，證券B的回報率、GDP的增長率和通貨膨脹率之間的關(guān)系。通過線性回歸，可以確定一個平面，使得圖中的點符合這個平面。這個平面的方程為：第三十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

和單因子模型一樣，我們只考慮一期的模型，所以省掉時間的角標。兩因子模型方程如下：

(6.12)并且假設(shè)：1．證券的隨機項與因子不相關(guān)，2．證券i

與證券j

的隨機項與不相關(guān)。第四十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

和單因子模型一樣，我們只考慮一期的模型，

所以省掉時間的角標。兩因子模型方程如下：

(6.12)

并且假設(shè)：1．證券的隨機項與因子不相關(guān)，2．證券

i

與證券

j

的隨機項

與

不相關(guān)。第四十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五期望回報率:

方差:

協(xié)方差:第四十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五兩因子模型具有單因子模型的重要性質(zhì)。1．有關(guān)證券組合前沿的估計量和計算量大大減少。2．分散化導(dǎo)致因子風險的平均化。3．分散化縮小非因子風險。第四十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五3.2多因子模型一般形式

不同形式

其中

例子第四十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因素模型與均衡因素模型不是一個資產(chǎn)定價的均衡模型，因為ai不同，ri也會不同，進而造成不均衡。（1）（2）（2）式可以改寫為（3）式：所以因素模型如果要均衡，必然滿足下列要求：第四十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第四十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五4 套利機會何謂套利？是指利用同一種實物資產(chǎn)或證券的不同價格來賺取無風險利潤的行為，最具代表性的是以較高的價格出售證券并在同時以較低的價格購進相同的證券（或功能上等價的證券）。具體地說，有兩種類型的套利機會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負的），我們稱這種投資為第一類的套利機會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機會。第四十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

套利機會4何謂套利？是指利用同一種實物資產(chǎn)或證券的不同價格來賺取無風險利潤的行為，最具代表性的是以較高的價格出售證券并在同時以較低的價格購進相同的證券（或功能上等價的證券）。具體地說，有兩種類型的套利機會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負的），我們稱這種投資為第一類的套利機會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機會。第四十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五例子：

假設(shè)經(jīng)濟環(huán)境由四個狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。狀態(tài)證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設(shè)事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價格為P1=4，P2=2，證券組合甲的價格為P甲=40。第四十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

例子：

假設(shè)經(jīng)濟環(huán)境由四個狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。

狀態(tài)

證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設(shè)事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價格為

P1=4，P2=2，證券組合甲的價格為

P甲=40。

第五十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個經(jīng)濟中是否存在套利機會。第一，P甲=4011*P1=44，這屬于第一類套利機會。第二，我們把證券組合甲當作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價格為11（4）+1（40）0第五十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在這個經(jīng)濟中是否存在套利機會。第一，P甲=4011*P1=44，這屬于第一類套利機會。第二，我們把證券組合甲當作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價格為11（4）+1（40）0

第五十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第五十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券組合乙在期末的支付為狀態(tài) 證券組合乙 概率

1 00.2 2 00.3 3、4 00.5

因此，P(證券組合乙的支付=0)=1，這是第一類的套利機會。第五十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五第三，定義證券組合丙：賣空10份證券1，買入一份證券3。則證券組合丙的價格為10（4）+1（40）=0。證券組合丙在期末的支付為狀態(tài)證券組合概率

1 50.2 2 50.3 3、4 100.5

因此，P(證券組合丙的支付0)=1且P(證券組合丙的支付0)=10。這是第二類套利機會。第五十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5 套利定價理論(APT)假設(shè)1：市場是完全競爭的、無摩擦的。假設(shè)2：投資者是非滿足的：當投資者具有套利機會時，他們會構(gòu)造套利證券組合來增加自己的財富。假設(shè)3：所有投資者有相同的預(yù)期：任何證券i

的回報率滿足因子模型：第五十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

(6.18)

=證券

i

的隨機回報率，

=證券

i

對第

j

個因子的敏感度，

=均值為零的第

j

個因子，

=證券

i

的隨機項。第五十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

假設(shè)4：

，

與所有因子不相關(guān)且

假設(shè)5：市場上的證券的種類遠遠大于因子的數(shù)目

k

。第五十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因子模型說明，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合，除非因子風險外，其行為是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合的期望回報率（或者說價格）是一樣的。否則，就存在第二類套利機會，投資者就會利用它們，直到消除這些套利機會。這就是APT的實質(zhì)。第五十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.1例子：（單因子模型）假如市場上存在三種股票，每個投資者都認為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9股票2 21% 3.0

股票3 12% 1.8（假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財富為4000元，投資者現(xiàn)在總的投資財富為12000元。）第六十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個證券市場是否存在套利證券組合。

顯然，一個套利證券組合

是下面三個方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報率為正：第六十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五討論滿足這三個條件的解有無窮多個。例如，=(0.1,0.075,0.175)就是一個套利證券組合?？傊?，對于任何只關(guān)心更高回報率而忽略非因子風險的投資者而言，這種套利證券組合是相當具有吸引力的。它不需要成本，沒有因子風險，卻具有正的期望回報率。那么，投資者如何調(diào)整自己的初始財富12000元呢（投資者的持有頭寸）？第六十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五套利證券組合如何影響投資者的頭寸第六十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在上面的例子，因為(0.1,0.075,0.175)是一個套利證券組合，所以，每個投資者都會利用它。從而，每個投資者都會購買證券1和2，而賣空證券3。由于每個投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報率。特別地，由于購買壓力的增加，證券1和2的價格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報率下降（因為r=p1/p0—1）。相反，由于銷售壓力的增加，證券3的價格將下降，這又使得證券3的回報率上升。第六十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這種價格和回報率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機會消失為止。此時，證券市場處于一個均衡狀態(tài)。所以，不需要成本、沒有因子風險的證券組合，其期望回報率必為零。無套利時，三種證券的期望回報率

和因子敏感度

滿足，對任意組合

，如果：第六十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五則必有

(6.21)

根據(jù)Farkas引理，而此時預(yù)期回報率和敏感性將近似滿足如下的線性關(guān)系，即必存在常數(shù)

和

，使得下面的式子成立：

該式即為套利定價方程。第六十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為：

=8%，

=4%。這將導(dǎo)致證券1、2、3的均衡回報率為11.6%,20.0%,15.2%.第六十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五下圖說明了套利定價關(guān)系(6.21)。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上。常數(shù)

的一個自然解釋是，它表示均衡時因子的風險酬金。而

表示無風險利率。第六十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五APT定價方程的解釋在套利定價方程中，出現(xiàn)的常數(shù)該如何解釋呢？假定存在一個無風險資產(chǎn)，它具有一個常數(shù)預(yù)期回報率，因而對因素無敏感性，有又有，所以，從而方程可改寫為：。就而言，可以考察一個純因素模型，用表示，該組合對因素具有單位敏感性，意味著，從而得出。所以這個組合具有如下的預(yù)期回報率：，改寫為于是，是單位敏感性的組合的預(yù)期超額回報率（即高出無風險利率的那部分預(yù)期回報率），被稱為因素風險溢價或因素預(yù)期回報率溢酬。令，所以有，故得到套利定價方程的第二形式：第六十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.2例子：（

二因子模型）假如市場上存在四種股票，每個投資者都認為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9 2.0股票2 21% 3.0 1.5股票3 12% 1.8 0.7股票4 8% 2.0 3.2

假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財富為5000元，投資者現(xiàn)在總的投資財富為20000元。第七十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個證券市場是否存在套利證券組合。顯然，一個套利證券組合

是下面四個方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報率為正：第七十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五首先，我們看看這個證券市場是否存在套利證券組合。顯然，一個套利證券組合

是下面四個方程的解：初始成本為零：

(6.19)對因子的敏感度為零：

(6.20)期望回報率為正：第七十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五滿足這四個條件的解有無窮多個。例如，=(0.1,0.088,0.108,-0.08)就是一個套利證券組合。這時候，投資者如何調(diào)整自己的初始財富20000元。第七十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因為，(0.1,0.088,0.108,-0.08)是一個套利證券組合，所以，每個投資者都會利用它。從而，每個投資者都會購買證券1和2，而賣空證券3和4。由于每個投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報率。特別地，由于購買壓力的增加，證券1和2的價格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報率下降。相反，由于銷售壓力的增加，證券3和4的價格將下降，這又使得證券3和4的回報率上升。第七十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五這種價格和回報率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機會消失為止。此時，證券市場處于一個均衡狀態(tài)。在這時的證券市場里，不需要成本、沒有因子風險的證券組合，其期望回報率必為零。無套利時，四種證券的期望回報率和因子敏感度，對任意組合，如果：第七十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五則必有

(6.21)根據(jù)Farkas引理，必存在常數(shù)

，

，

使得下面的式子成立：刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為

=8%，

=4%，

=-2%。這將導(dǎo)致證券1、2、3、4的均衡回報率為7.6%,17%,13.8%,9.6%.第七十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五5.3一般情形

選擇證券組合

，使其成本為0

回報率為第七十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五為了得到無風險的證券組合，我們必須消除因子風險和非因子風險。滿足下面三個條件的證券組合符合這一要求：1）所選的每個權(quán)充分小；2）所包括的證券種類盡量多；3）對每個因子而言，證券組合的因子敏感度為零。第七十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五

用數(shù)學(xué)式子表示，這些條件是

是一個很大的數(shù)

對每個因子而言，

第七十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五因為隨機項是獨立的，由大數(shù)定律，當

越來越大時，隨機項的加權(quán)和趨向于零。換言之，通過分散化，不需要花任何成本就能消去非因子風險。因此，我們得到：

第八十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在形式上看起來，這是一個隨機量。但是，由(6.26)式，證券組合的每個因子敏感度為零，所以，所有的因子風險為零。由于我們選擇的權(quán)消除了所有的風險，最后，證券組合的回報率變成了一個常數(shù)。(6.27)式變成：

(6.28)第八十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在形式上看起來，這是一個隨機量。但是，由(6.26)式，證券組合的每個因子敏感度為零，所以，所有的因子風險為零。由于我們選擇的權(quán)消除了所有的風險，最后，證券組合的回報率變成了一個常數(shù)。(6.27)式變成：

第八十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五在我們構(gòu)造的證券組合的過程中，投資者既不需要成本，也不承擔風險，如果構(gòu)造的證券組合的回報率不為零，它就是一個套利證券組合，當市場達到均衡時，這是不可能的。因此，滿足條件(6.24)-(6.26)的證券組合，其回報率一定為零，即，

(6.29)第八十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期五證券市場無套利時，證券的期望回報率和因子敏感度滿足下列性質(zhì)：對任何向量，如果它既垂直于單位常向量，又垂直于每個因子敏感度向量，則它一定垂直于期望回報率向量，由Farkas引理，期望回報率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即，存在個k+1

常數(shù)，使得