固體物理第三章晶格振動

固體物理第三章晶格振動第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五晶格振動與格波

實際晶體中的原子并非完全固定不動，原子是不斷運動的，具有動能，但是通常情況下原子又不能遠(yuǎn)離格點，被束縛在格點附近做周期性振動

由于晶體具有周期性結(jié)構(gòu)，原子振動相互關(guān)聯(lián)，在晶體中形成格波。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3.1一維晶格的振動一、一維簡單格子

設(shè)晶格常量為

a，原子

n偏離平衡位置的位移為un，只考慮最近鄰的相互作用，晶格振動時相鄰兩原子在t時刻的距離第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

晶格作小幅度振動，即|d|<<a，則相鄰兩原子的相互作用能可以展開為其中U(a)為相鄰兩原子在間距等于晶格常量時的相互作用能，一般可取為0，而為相鄰原子間的作用力1、一維簡單格子的互作用力第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

忽略高階項，只保留到2階項，則該近似稱為簡諧近似，在該近似下，原子間的相互作用力是彈性恢復(fù)力，式中

是彈性恢復(fù)力常數(shù)第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

第n

個原子的所受作用力為第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、一維單原子鏈的運動方程與解

第

n個原子的運動方程

每個原子對應(yīng)一個方程，如果原子鏈有N

個原子則有N

個方程，上式實際上就是N

個聯(lián)立的齊次方程組第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3、玻恩-卡門條件（周期性邊界條件）：

設(shè)想在實際晶體外，仍然有無限多個相同的晶體相聯(lián)結(jié)，各晶體中相對應(yīng)的原子的運動情況都一樣。

12nNN+1N+2N+n第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

上述方程具有波動形式的解其中A為振幅，是圓頻率，q是波矢。q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單

位距離兩點間的振動位相差。格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振

動，不同原子間有振動位相差，這種振動以波

的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。

對于確定的n：第n個原子的位移隨時間作簡諧振動

對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五把該解代入運動方程

即由上式可以看出頻率是波矢q的周期函數(shù)，周期為，正好為一維鏈的倒格矢，即格波頻率具有倒格子周期性,式中q換成-q時，頻率也不變，頻率具有反演對稱性。第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五11設(shè)波包的傳播速度為v，則由得波格傳播的速度是波長的函數(shù)，波長不同的波格傳播速度不同。通常稱與q的關(guān)系稱為色散關(guān)系。第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五12

格波的波矢量q

的取值范圍？對于指數(shù)函數(shù)如果qa

改變2p

值，結(jié)果并沒有什么不同，因為所以qa

可以取在–p與p

之間，已涵蓋該指數(shù)函數(shù)的所有獨立值或此即一維單原子鏈的第一布里淵區(qū)第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五133、波矢q的個數(shù)，模式數(shù)由于晶體的體積是很有限的，因而格波波矢的取值不能是任意的，必然受到邊界條件的限制，設(shè)晶體包含N個原子，由邊界條件的周期性有：帶入位移的表達(dá)式可得到oq第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五14重要結(jié)論：上式說明晶格振動的波矢數(shù)目等于晶格原胞數(shù)目，由色散關(guān)系式知給定一個q總有一個與之對應(yīng)。給定一組就表示原子的一種振動形式，我們稱之為振動模式。這說明q只能取一系列不連續(xù)的值，在q空間，一個q值與一個點對應(yīng)，這些點在空間均勻分布，相鄰q點的“距離”為，而q的取值在第一布里淵區(qū)，它的大小為,所以允許的q的總數(shù)為第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3.2一維雙原子鏈晶格的振動一、一維雙原子鏈晶格的振動第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第2n號原子,由虎克定律F2n-1

F2n+12n2n號原子的運動方程2n+22n

2n+1

2n-1第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3、試探解

同理，2n+1號原子的運動方程為

F2n

F2n+2第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五把u2n、u2n+1代入以上兩個運動方程關(guān)于A、B的兩個方程A、B非零解，系數(shù)行列式為0

第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五4、色散關(guān)系abMmMmβ1β2u2n－1色散關(guān)系與力常數(shù)β和格常數(shù)a有關(guān)

對于實際晶體，＋(0)在1013

~1014Hz，對應(yīng)于遠(yuǎn)紅外光范圍。離子晶體中光學(xué)波的共振可引起對遠(yuǎn)紅外光在＋(0)附近的強烈吸收。第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)q=0ωA=0

當(dāng)q=

第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五5、波矢q

的取值、格波支數(shù)利用波恩—卡門邊界條件，波矢q的取值

m=0,±1,±2,……波矢數(shù)=原胞數(shù)

N格波模式總數(shù)=原子總數(shù)=2N第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五原子間力常數(shù)均為β第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五ωAωOqωo第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五§3.2三維晶格振動一、關(guān)于波矢q一個m值對應(yīng)一個q點，波矢取分離值，均勻分布相鄰q點“距離”為內(nèi)，q

點的取值數(shù)=（1）一維第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)N1、N2和N3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N＝N1N2N3

a1a2a3（2）三維h1,h2,h3＝整數(shù)一組（h1、h2、h3）確定一個波矢q點，波矢q分離值、均勻分布。第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五可取的q

點數(shù)=在q空間中，每一個q的取值（狀態(tài)）所占的空間為：第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：三維晶體有N個原胞，每個原胞內(nèi)有s個原子（一個基元）波矢數(shù)=原胞數(shù)N振動模式數(shù)=所有原子自由度數(shù)3sN第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3.3晶格振動的量子化和聲子

在簡諧近似下，晶體中存在3sN個獨立的簡諧格波，晶體中任一原子的實際振動狀態(tài)由這3sN個簡諧格波共同決定.

晶格振動的系統(tǒng)能量是否可表示成3sN個獨立諧振子能量之和嗎？第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五首先以單原子為例波矢為q的格波引起的第n個原子的位移為格波不同引起的原子位移一般也不同一、簡正振動第n個原子的總位移應(yīng)為所有格波引起位移的迭加第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五將和Aq寫在同一表達(dá)式中其中按經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為動能和勢能之和包含交叉項交叉項第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五有交叉項對建立物理模型和數(shù)學(xué)處理都帶來困難.簡正變換:式中稱為簡正坐標(biāo).

Q(q,t)代表一個新的空間坐標(biāo)，它已不再是描述某個原子運動的坐標(biāo)了，而是反映晶體中所有原子整體運動的坐標(biāo)，稱為簡正坐標(biāo)。第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五廣義動量經(jīng)典諧振子能量簡正坐標(biāo)

由N個原子組成的一維晶體，其晶格振動能量可看成N個諧振子的能量之和.廣義坐標(biāo)第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五按照量子力學(xué)，獨立的簡諧振子的能量所以一維晶格振動的總能量晶格振動的能量是量子化的，能量的增減以計量.當(dāng)n=0時---零點能上述方法可以推廣到三維晶格,設(shè)每個原胞中含p個原子第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五光子1905年愛因斯坦在研究光電效應(yīng)時提出光子的概念.光是運動著的粒子流→光子每個光子的能量為對照光子的概念,我們將格波的能量量子稱為聲子.注:(1)聲子是準(zhǔn)粒子.光子是真實粒子,可在真空中存在.聲子是人們?yōu)榱烁美斫夂吞幚砭Ц窦w振動而設(shè)想的一種粒子,不能游離于固體之外.二、聲子第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五3.6晶格的比熱一、固體的定容熱容E—固體的平均內(nèi)能按照經(jīng)典理論,每個自由度的平均能量---能均定理N個原子，晶體總能量熱容是一個與溫度和材料無關(guān)的常數(shù).---杜隆－珀替定律實驗表明在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零!與實驗不符第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

根據(jù)量子理論,在簡諧近似下,晶體的能量為

頻率的計算比較復(fù)雜,在一般討論中，常用愛因斯坦模型和德拜模型.比熱的量子理論第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五二、愛因斯坦模型

1907年愛因斯坦采用了非常簡單的假設(shè)：假設(shè)晶體中的原子振動是相互獨立的，所有原子都具有同一頻率0.

第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五---愛因斯坦溫度溫度較高時——與杜隆—珀替定律相符溫度非常低時——按溫度的指數(shù)形式降低第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五——按溫度的指數(shù)形式降低

這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果，解決了長期以來困擾物理學(xué)的一個疑難問題.實驗表明:溫度很低時---愛因斯坦模型過于簡單,忽略了各格波之間的頻率差別.溫度較高時

——與杜隆—珀替定律相符溫度非常低時第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

德拜于1912年提出了另一個簡化模型,考慮了格波的的頻率分布.(1)把晶體視為連續(xù)介質(zhì),即把格波看作是彈性波.(2)假定橫波和縱波的波速相等.低溫時，只有長聲學(xué)波被激發(fā)，對比熱容產(chǎn)生影響，所以實際上，德拜模型考慮的正是長聲學(xué)波對比熱的影響.基本思想:三、德拜模型第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五q是準(zhǔn)連續(xù)的,所以頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的，則第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五德拜T3定律：低溫時晶體的比熱與T3成正比。低溫

T<<

高溫T>>