復(fù)變函數(shù)第八章第六章

第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五§6.1共形映射1.共形映射的概念

設(shè)w=f(z)為z平面上區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，作為映射，它把z平面上的點z0映射到w平面上的點w0=f(z0)，把曲線C:z=z(t)映射到曲線C':w=f(z(t)).

過z0點的兩條曲線C1,C2，它們在交點z0處的切線分別為T1，T2，我們把從T1到T2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得的夾角定義為這兩條曲線在交點z0處從C1到C2的夾角.

第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(1)若在映射w=f(z)的作用下，過點z0的任意兩條光滑曲線的夾角的大小與旋轉(zhuǎn)方向都是保持不變的，則稱這種映射在z0處是保角的.

平移變換w=z+是一個保角映射.函數(shù)不是保角映射.它是關(guān)于實軸的對稱映射.原象的伸縮性:象點之間距離與原象點之間距離的比值.(2)若極限存在且不等于零，則這個極限稱為映射w=f(z)在z0處的伸縮率.并稱w=f(z)在z0具有伸縮率的不變性.第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五定義6.1

設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的，在z0具有保角性和伸縮率的不變性，那么稱映射w=f(z)在z0是共形的，或稱w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都是共形的，那么稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射.z0z1z2為點z0的一個小鄰域內(nèi)的三角形，在z0處的伸縮率記為A.經(jīng)過w=f(z)后變成了曲邊三角形w0w1w2.第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2.解析函數(shù)與共形映射設(shè)f(z)在z0處解析，且f'(z0)≠0.

過z0作一條光滑曲線C，它的方程為z=z(t),t0≤t≤T0,并設(shè)z0=z(t0)，且z'(t0)≠0.則Argz'(t0)為z平面上的正實軸到C在點z0的切線的夾角.

第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)過w=f(z)把C映射為w平面上光滑曲線C'，其方程為w=w(t)=f[z(t)],t0≤t≤T0.且w0=f[z(t0)].由于w'(t0)=f'(z0)z'(t0)≠0，所以在w平面上，正實軸到C'在w0處的切線的夾角為Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0)或Argw'(t0)-Argz'(t0)=Argf'(z0).

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

像曲線C'在w0處的切線與正實軸的夾角與原象曲線C在z0處的切線與正實軸的夾角之差總是Argf'(z0)，而與曲線C無關(guān).

Argf'(z0)就稱為映射w=f(z)在點z0處的轉(zhuǎn)動角.

過z0點作兩條光滑曲線C1,C2，它們的方程分別為C1:z=z1(t)t0≤t≤T,C2:z=z2(t)t0≤t≤T.且z1(t0)=z2(t0)=z0.

映射w=f(z)把它們分別映為過w0點的兩點光滑曲線C'1和C'2.它們的方程分別為C'1:w=w1(t)=f[z1(t)],t0≤t≤T0,C'2:w=w2(t)=f[z2(t)],t0≤t≤T0.

第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五Argw'1(t0)-Argz'1(t0)=Argf'(z0)=Argw'2(t0)-Argz'2(t0),即Argz'2(t0)-Argz'1(t0)=Argw'2(t0)-Argw'1(t0).上式左端是曲線C1和C2在z0處的夾角，右端是曲線C'1和C'2在w0處的夾角，而這個式子說明了w=f(z)在z0處是保角的.

因為f'(z0)存在，且不等于零，則這個極限與曲線C無關(guān).故w=f(z)在z0處的伸縮率具有不變性.第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因為w=f(z)在z0處解析，則在該點滿足柯西－黎曼方程在該點的雅各比式有映射w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一對應(yīng)的.第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五定理6.1如果函數(shù)w=f(z)在z0解析，且f'(z0)≠0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf'(z0)表示這個映射在z0的轉(zhuǎn)動角，|f'(z0)|表示伸縮率.如果解析函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處有f'(z)≠0,那么映射w=f(z)是D內(nèi)的共形映射.第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五§6.2分式線性變換1.分式線性變換的結(jié)構(gòu)

形如

的映射稱為分式線性變換，其中a,b,c,d為復(fù)常數(shù).逆變換兩個分式線性變換復(fù)合，仍是一個分式線性變換第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五其中它由下列三個變換復(fù)合而成第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2.分式線性變換的性質(zhì)(1)共形性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除點和z=∞以外處處存在，而且，映射除那兩個點以外是共形的.定理6.2分式線性變換在擴充復(fù)平面上是一一對應(yīng)的，且是共形的.(2)保圓性定理6.3分式線性變換將擴充z平面上的圓映射成擴充w平面上的圓，即具有保圓性.第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在擴充復(fù)平面上把直線看成是半徑為無窮大的圓周.

變換w=az+b是由ξ=az（旋轉(zhuǎn)與伸長）和w=ξ+b（平移）復(fù)合而成的.而這個映射將原象平面內(nèi)的圓或直線映射到象平面內(nèi)的圓或直線，從而w=az+b在擴充復(fù)平面上具有保圓性.z平面上的圓的一般方程為經(jīng)過映射后在擴充復(fù)w平面上它仍是圓的方程.第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五推論6.1

在分式線性變換下，圓C映射成圓C'.如果在C內(nèi)任取一點z0，而點z0的象在C'的內(nèi)部，那么C的內(nèi)部就是映射到C'的內(nèi)部；如果z0的象在C'的外部，那么C的內(nèi)部就映射成C'的外部.

證明：設(shè)z1,z2為C內(nèi)的任意兩點，用直線段把這兩點連接起來.如果線段z1z2的象為圓弧w1w2，且w1在C'之外，w2在C'之內(nèi)，那么弧w1w2必與C'交于一點w*，于是w*必是C上某一點的象.但w*又是線段z1z2上某一點的象，因而就有兩個不同的點被映射為同一點.這就與分式線性映射的一一對應(yīng)性相矛盾.故推論成立.

第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(3)保對稱性定義6.2設(shè)C為以z0點為中心，R為半徑的圓周.如果點z,z*在從z0出發(fā)的射線上，且滿足|z-z0|·|z*-z0|=R2,則稱z,z*關(guān)于圓周C是對稱的.如果C是直線，則當(dāng)以z和z*為端點的線段被C平分時，稱z,z*關(guān)于直線C為對稱的.規(guī)定：無窮遠(yuǎn)點關(guān)于圓周的對稱點是圓心.z,z*是關(guān)于圓周C的對稱點的充要條件是經(jīng)過z,z*的任何圓周Γ與C正交第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五定理6.4

設(shè)點z,z*是關(guān)于圓周C的一對對稱點，那么在分式線性變換下，它們的象點w及w*也是關(guān)于C的像曲線C'的一對對稱點.證明：設(shè)經(jīng)過w與w*的任何一圓周Γ'是經(jīng)過z與z*的圓周Γ由分式線性變換映射過來的.由于Γ與C正交，由保角性，所以Γ'與C'也正交.因此w與w*是一對關(guān)于C'的對稱點.第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五§6.3確定分式線性變換的條件定理6.5

在z平面上任意給定三個不同點z1,z2,z3，在w平面上也任意給定三個不同點w1,w2,w3，那么就存在分式線性變換，將zk依次映射成wk(k=1,2,3)，且這種變換是唯一的.證明：設(shè)且第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五求出w，即得所求分式線性變換.推論6.2

z1,z2,z3所在的圓C的象C′是w1,w2,w3所在的圓.且如果C依z1→z2→z3

的繞向與C′依w1→w2→w3的繞向相同時，則C的內(nèi)部就映射成C′的內(nèi)部（相反時，C的內(nèi)部就映射成C′的外部）

第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例6.1

求將上半平面映射為單位圓，且將上半平面的定點z0映射為圓心w=0的分式線性變換.解:由定理6.4，z0關(guān)于實軸的對稱點的像應(yīng)變?yōu)辄cw=.所求分式線性變換有形式,其中k為常數(shù).因為，而實軸上的點z對應(yīng)著|w|=1上的點，這時，所以|k|=1，即，這里是實數(shù)，所求的分式線性變換的一般形式為第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例6.2

求將單位圓|z|<1映射為單位圓|w|<1的分式線性變換.解：不妨設(shè)將第一個單位圓內(nèi)的點z0映射到第二個單位圓的中心w=0.由于關(guān)于|z|=1與z0對稱，因此的象為.故所求映射有形式由條件當(dāng)|z|=1時，|w|=1故將z=1代入上式，有第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五從而，|k|=1，即于是，所求映射的一般形式為.第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五§6.4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)w=zn(n≥2)，

當(dāng)z=z0≠0時.設(shè)，則所以映射w=zn在z=z0的轉(zhuǎn)動角為(n-1)0，伸縮率為即映射w=zn在z0點是共形的.

在z0=0處，設(shè)和，由w=zn得和.因此在w=zn的映射下，圓|z|=r映射成|w|=rn，

第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五|z|=1映射成|w|=1.即在以原點為中心的圓有保圓性.射線=0映射成射線；正實軸=0映成正實軸=0；角形域映射成角形域當(dāng)n≥2