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解的存在唯一性定理內(nèi)容提要一階方程的初值問題利普希茨條件存在唯一性定理概念和定義定理1定理1的證明逐步逼近的思想定理2命題1命題2命題3命題4命題5一、概念與定義1.一階微分方程這里是定義在矩形域上的連續(xù)函數(shù)。問題：給定初值，什么條件下解存在且唯一？？？2.利普希茨條件函數(shù)在矩形域上關(guān)于滿足利普希茨條件，如果存在常數(shù)二、存在唯一性定理定理1證明思路：5個(gè)步驟步驟1證明求解微分方程的初值問題等價(jià)于求解

一個(gè)積分方程步驟2用逐次迭代法構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序

列步驟3證明此逐步逼近序列一致收斂步驟4證明此收斂的極限函數(shù)為所求的初值問題

的解步驟5證明連續(xù)解的唯一性命題1初值問題(1.1)等價(jià)于積分方程證明:反之故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得且現(xiàn)在取構(gòu)造畢卡逐步逼近函數(shù)列如下注命題2證明:(用數(shù)學(xué)歸納法，只在正半?yún)^(qū)證明，另半?yún)^(qū)類似)命題3證明:考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它的前n項(xiàng)部分和為對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有現(xiàn)設(shè)命題4證明:即命題5證明:由綜合命題1—5得到存在唯一性定理的證明.一存在唯一性定理1定理1

考慮初值問題命題1

初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列命題2命題3命題4命題52存在唯一性定理的說明3一階隱方程解存在唯一性

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