狀態(tài)空間表達(dá)式課件

狀態(tài)空間表達(dá)式PPT講座

二、控制系統(tǒng)中狀態(tài)空間表達(dá)式及結(jié)構(gòu)框圖

1.狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式（四種）

（1）

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（2）

線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（3）非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（4）非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式輸入向量、輸出向量、狀態(tài)向量狀態(tài)方程為一階微分方程組的向量矩陣表示形式輸出方程為代數(shù)方程組的向量矩陣表示形式研究重點(diǎn)為線性定常系統(tǒng)（A、B、C、D常數(shù)矩陣）2.控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

Bxy

1/s

C

A

Dux`注意：信號線為向量傳遞，矩陣乘法不存在交換律，矩陣下標(biāo)角碼要符合矩陣運(yùn)算條件。狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖[舉例1]：狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示，試?yán)L制模擬結(jié)構(gòu)圖。展開成一階方程組的形式為采用古典控制理論中的方框圖繪制法則和積分組件可以方便的獲得系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖；模擬結(jié)構(gòu)圖清楚的反映了系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)各變量（每一個(gè)標(biāo)量）之間的內(nèi)在聯(lián)系。

返回主頁三.根據(jù)物理模型建立狀態(tài)空間表達(dá)式1．依據(jù)物理模型建立狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟

(1)確定輸入u（t）和輸出y（t）和狀態(tài)x（t）。其中狀態(tài)變量x（t）的維數(shù)等于物理系統(tǒng)中獨(dú)立蓄能元件的個(gè)數(shù)；

(2)根據(jù)系統(tǒng)物理特性由輸入到輸出列寫描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性或運(yùn)動(dòng)規(guī)律的代數(shù)方程和微分方程組；（3）去掉多余的中間變量，得出狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變量、輸入變量的關(guān)系式。方程整理成狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。2．應(yīng)用舉例（1）三容水箱（2）無源網(wǎng)絡(luò)

返回主頁[例1]：三容水箱。輸入量：第一個(gè)水箱入水流量q1(t)。輸出量：第三個(gè)水箱的水位h3(t)。列寫狀態(tài)空間表達(dá)式，并繪制模擬結(jié)構(gòu)圖。Ai—水箱截面積，Ri—管路流動(dòng)阻力。

返回q1(t)h3(t)q4(t)q3(t)q2(t)R1R2R3h2(t)h1(t)[例2]：圖示阻容電路。輸入量：輸入電壓u1（t）。輸出流量：電容上的電壓u2（t）。列寫狀態(tài)空間表達(dá)式。

返回u1（t）u2（t）i1（t）i2（t）R1R2LC四.根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式1、控制系統(tǒng)的原始模型為微分方程（1）

微分方程不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)；

（2）微分方程含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且輸出項(xiàng)階次高于輸入項(xiàng)階次；

（3）微分方程含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且輸出項(xiàng)階次等于輸入項(xiàng)階次；2、控制系統(tǒng)的原始模型為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布形式（1）無重極點(diǎn)；（2）有重極點(diǎn)；（3）極點(diǎn)個(gè)數(shù)與零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。（含有D陣，自學(xué)推導(dǎo)過程）3、多輸入/多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的列寫

返回主頁1、控制系統(tǒng)的原始模型為微分方程

（1）微分方程不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)；

繪制模擬結(jié)構(gòu)圖，設(shè)置狀態(tài)變量得狀態(tài)空間表達(dá)式為：

返回

1、控制系統(tǒng)的原始模型為微分方程

（2）微分方程含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且輸出項(xiàng)階次高于輸入項(xiàng)階次

狀態(tài)空間表達(dá)式為：

返回1、控制系統(tǒng)的原始模型為微分方程

（3）微分方程含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且輸出項(xiàng)階次等于輸入項(xiàng)階次

狀態(tài)空間表達(dá)式為：

返回2、控制系統(tǒng)的原始模型為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布形式

（1）無重極點(diǎn)；返回2、控制系統(tǒng)的原始模型為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布形式

（2）有重極點(diǎn)；

得狀態(tài)空間表達(dá)式：

返回舉例：可以直接設(shè)狀態(tài)變量列寫狀態(tài)空間表達(dá)式：返回3、多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的列寫根據(jù)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式

1．典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換成模擬結(jié)構(gòu)圖

2.

由模擬結(jié)構(gòu)圖寫狀態(tài)空間表達(dá)式

3.

應(yīng)用舉例（自學(xué)）

[例1]：

P55-561-3-（a）

[例2]：P55-561-3-（b）

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1/s

六.由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)矩陣1、單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

由狀態(tài)空間表達(dá)式得：與古典控制理論的傳遞函數(shù)定義比較得：結(jié)論：傳遞函數(shù)的分母為系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式；

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為系統(tǒng)矩陣A的特征值。

2．多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣3．應(yīng)用舉例

[例1]：[例2]：P32（例1-12）說明傳遞函數(shù)矩陣中各元素表示的物理意義。

返回主頁七.組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的傳遞函數(shù)矩陣已知兩個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示。研究系統(tǒng)間各種連接后的數(shù)學(xué)模型1、串聯(lián)2、并聯(lián)3、反饋連接

返回主頁（1）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及串聯(lián)的條件

（2）狀態(tài)空間表達(dá)式（3）傳遞函數(shù)矩陣

返回y1=u2u1=uy=y21.串聯(lián)2.并聯(lián)（1）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及串聯(lián)的條件

（2）狀態(tài)空間表達(dá)式（3）傳遞函數(shù)矩陣

返回u=u1=u2y1y2y3.反饋連接（1）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及串聯(lián)的條件

（2）狀態(tài)空間表達(dá)式（3）傳遞函數(shù)矩陣

返回-y2y=y1=u2u1u狀態(tài)空間表達(dá)式的特征標(biāo)準(zhǔn)型

一種最能直接反映系統(tǒng)內(nèi)部特性的狀態(tài)空間表達(dá)式1、系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換2、系統(tǒng)的特征值和特征向量

3、化狀態(tài)空間表達(dá)式為對角標(biāo)準(zhǔn)型4、化狀態(tài)空間表達(dá)式為約旦標(biāo)準(zhǔn)型1.系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換（1）線性變換的方法l

系統(tǒng)在x狀態(tài)空間表達(dá)式為：l

Tn×n為任意非奇異矩陣，n為系統(tǒng)狀態(tài)空間的維數(shù)。l

設(shè)作線性變換，得系統(tǒng)在新的狀態(tài)空間的表達(dá)式為：（2）線性變換的特點(diǎn)

l

線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣；

l

線性變換不改變系統(tǒng)的特征方程；

l系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式是非唯一的，但輸入輸出特性是唯一的。（3）

線性變換在系統(tǒng)性能分析中的作用根據(jù)需要，選擇確定的變換陣，使?fàn)顟B(tài)空間表達(dá)式的形式規(guī)范化。便于進(jìn)行系統(tǒng)的性能分析。

返回

2.系統(tǒng)的特征值和特征向量

（1）

系統(tǒng)的特征值l系統(tǒng)l特征多項(xiàng)式：l特征方程：l

特征值（特征根）：特征方程的解。

（2）系統(tǒng)的特征向量若存在一個(gè)n維非零向量pi滿足則稱pi為系統(tǒng)對應(yīng)于特征值λi的特征向量。特征向量是非唯一的。

（3）系統(tǒng)的廣義特征向量設(shè)λi為系統(tǒng)的重根，

pi為系統(tǒng)對應(yīng)于λi的特征向量，則存在同維非零向量pi+1，pi+2…，且滿足

則稱pi+1，pi+2…為系統(tǒng)對應(yīng)于特征值λi的廣義特征向量。廣義特征向量的個(gè)數(shù)等于特征根λi重根的個(gè)數(shù)。廣義特征向量亦是非唯一的。（4）

特征向量和廣義特征向量的作用構(gòu)成線性變換陣，化狀態(tài)空間表達(dá)式中的狀態(tài)陣A為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約旦標(biāo)準(zhǔn)型。

返回3.

化狀態(tài)空間表達(dá)式為對角標(biāo)準(zhǔn)型

（1）

化對角標(biāo)準(zhǔn)型的條件：系統(tǒng)特征根無重根。

（2）

化對角標(biāo)準(zhǔn)型的方法

l

計(jì)算特征值λ1，λ2，…λn；

l

求特征值λ1，λ2，…λn對應(yīng)的特征向量p1，p2，…pn-1，pn；

l

選擇線性變換陣p=[p1

p2…pn-1pn]；

l

對原狀態(tài)空間表達(dá)式實(shí)施線性變換得對角標(biāo)準(zhǔn)型為：

（3）

應(yīng)用舉例

[例1]：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，化對角標(biāo)準(zhǔn)型。解：

求

特征值：λ1=-1，λ2=-2。

求特征向量：求線性變換陣：對原狀態(tài)空間表達(dá)式實(shí)施線性變換：

[例2]：P39例1-15。

[例3]：P42例1-16。

返回

4.化狀態(tài)空間表達(dá)式為約旦標(biāo)準(zhǔn)型

（1）

化約旦標(biāo)準(zhǔn)型的條件：特征根具有重根。（2）

化約旦標(biāo)準(zhǔn)型的方法

l

計(jì)算特征值λ1=λ2（二重根），λ3，…λn；

l求特征值λ1，λ2，…λn對應(yīng)的特征向量和廣義特征向量p1，p2，…pn-1，pn；

l

選擇線性變換陣p=[p1

p2…pn-1pn]；

l

對原狀態(tài)空間表達(dá)式實(shí)施線性變換得約旦標(biāo)準(zhǔn)型為：（3）

應(yīng)用舉例

[例1]：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，化約旦標(biāo)準(zhǔn)型。解：

求特征值：λ1=λ2=-3。

求特征向量：

求廣義特征向量：

求線性變換陣：對原狀態(tài)空間表達(dá)式實(shí)施線性變換：

[例2]：P45例1-16[例3]：P45例1-17

返回主頁離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

1.離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的形式

（1）線性定常系統(tǒng)：

（2）線性時(shí)變系統(tǒng)：

（3）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖：

1/z

G

H

C

Dy（k）x（k）x（k+1）u（k）

2．離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的求取和模擬結(jié)構(gòu)圖的繪制（1）

由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)化狀態(tài)空間表達(dá)式（以三階系統(tǒng)為例）

l

輸入只有b0u（k）時(shí)差分方程為：

脈沖傳遞函數(shù)為：建立狀態(tài)空間表達(dá)式：設(shè)：

整理得：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：模擬結(jié)構(gòu)圖為：l輸入包括u（k），u（k+1），u（K+2）時(shí)（自學(xué)）

l輸入包括u（k），u（k+1），u（K+2），u（K+3）時(shí)（自學(xué)）

（2）脈沖傳遞函數(shù)為零極點(diǎn)分布形式化狀態(tài)空間表達(dá)式（自學(xué)）