第九章方差及回歸

第九章方差分析及回歸分析§1單因素試驗的方差分析§2雙因素試驗的方差分析§3一元線性回歸§4多元線性回歸§1單因素試驗的方差分析(一)單因素試驗在科學(xué)試驗和生產(chǎn)實踐中,影響一事物的因素往往是很多的.例如,在化工生產(chǎn)中,有原料成分,原料劑量,催化劑,反應(yīng)溫度,壓力,溶液濃度,反應(yīng)時間,機(jī)器設(shè)備及操作人員的水平等到因素.每一個因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量.有些因素影響較大,有些較小.為了使生產(chǎn)過程得以穩(wěn)定,保證優(yōu)質(zhì),高產(chǎn),就有必要找出對產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響的那些因素.為此,我們需要進(jìn)行試驗,方差分析就是根據(jù)試驗的結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別各個有關(guān)因素對試驗結(jié)果影響的有效方法.在試驗中,我們將要考察的指標(biāo)稱為試驗指標(biāo).影響試驗指標(biāo)的條件稱為因素.因素可分為兩類,一類是人們可以控制的(可控因素);一類是人們不能控制的.例如,反應(yīng)溫度,原料劑量,溶液濃度等是可以控制的,而測量誤差,氣象條件等一般是難以控制的,以下我們所說的因素都是指可控因素.因素所處的狀態(tài)稱為該因素的水平.如果在一項試驗的過程中只有一個因素在改變稱為單因素試驗,如果多于一個因素在改變稱為多因素試驗.例1設(shè)有三臺機(jī)器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié)果如表9-1所示.機(jī)器I機(jī)器II機(jī)器III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262例2表9-2列出了隨機(jī)選取的,用于計算器的四種類型的電路的響應(yīng)時間(以毫秒計).類型I類型II類型III類型IV191520401617182220213315182218272619例3一火箭使用四種燃料,三種推進(jìn)器作射程試驗.每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭兩次,得射程如表9-3(以海里計):推進(jìn)器BB1B2B3燃料AA1A2A3A458.252.656.241.265.360.849.142.854.150.551.648.460.158.370.973.239.240.775.871.558.251.048.741.4例1設(shè)有三臺機(jī)器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié)果如表9-1所示.機(jī)器I機(jī)器II機(jī)器III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262表中數(shù)據(jù)可看成來自三個不同總體(每個水平對應(yīng)一個總體)的樣本值.將各個總體的均值依次記為,按題意需檢驗假設(shè)現(xiàn)在進(jìn)而假設(shè)各總體均為正態(tài)變量,且各總體的方差相等,但參數(shù)均未知.那么這是一個檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題.水平觀察結(jié)果樣本總和樣本均值總體均值設(shè)因素A有s個水平,在水平下,進(jìn)行次獨立試驗,得到如表9-4的結(jié)果.單因素的方差分析:我們假定:各個水平下的樣本來自具有相同方差,均值分別為的正態(tài)總體與未知,且設(shè)不同水平下的樣本之間相互獨立.由于,即有故可看成是隨機(jī)誤差.記,則可寫成(1.1)其中與均為未知參數(shù).(1.1)式稱為單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型.方差分析的任務(wù):1.檢驗s個總體的均值是否相等,即檢驗假設(shè)2.作出未知參數(shù)的估計.(1.2)(1.1)總平均:效應(yīng):稱為水平的效應(yīng).有(1.1)(1.1)’(1.1)總平均:效應(yīng):稱為水平的效應(yīng).有(1.2)(1.2)’(二)平方脾和的錄分解總偏畢差平侵方和:數(shù)據(jù)棄的總次平均:能反映全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異.因此又稱為總變差.水平下的樣本平均值又誤差熱平方魚平效應(yīng)麻平方噸和(三)的統(tǒng)計特性與相互獨立.且當(dāng)為真時,有誤差釀平方頁平效應(yīng)閃平方珠和(四)假設(shè)徐檢驗仁問題毯的拒賺絕域當(dāng)為真時,有當(dāng)為真時,有當(dāng)為真時,有與獨立.拒絕塊域:方差猴分析蜂表:總和F

比均方自由度平方和方差來源因素A誤差方差輪分析帆表:例1設(shè)有奏三臺騙機(jī)器,用來拜生產(chǎn)穴規(guī)格論相同漆的鋁挽合金陵薄板.取樣,測量幕薄板漏的厚尋度精片確至榜千分遼之一書厘米.得結(jié)推果如它表9-蘋1所示.機(jī)器I機(jī)器II機(jī)器III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262檢驗傭假設(shè)總和F

比均方自由度平方和方差來源因素A誤差拒絕.(五)未知戲參數(shù)欠的估遮計為的一個無偏估計.分別為的無偏估計.點估撇計:(五)未知算參數(shù)蛋的估油計區(qū)間甘估計:當(dāng)拒絕時,需要作為兩總體和的均值壤差的區(qū)趴間估砍計.§2多因置素試棒驗的便方差歷分析§3一元納線性顫回歸一、助一元慎線性條回歸例1為了研究某一化學(xué)應(yīng)用過程中,溫度對產(chǎn)品得率的影響,測得數(shù)據(jù)如下:溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589據(jù)此粱數(shù)據(jù),估計忠一下筑當(dāng)溫曾度為20蚊0度時屯產(chǎn)品物的得姨率.1、一按元線載性回爆歸模暈型其中未知參數(shù)a,b及都不依賴于x，則稱此模型為一元

線性與回歸鉗模型劇。b稱為回歸卵系數(shù)。(3聰.2毒)此模福型也公可表夏為2、回冶歸函滾數(shù)二、a,b的估丹計（役最小下二乘迷估計耕）取x的n個不潔全相覺同的派值作獨哭立試酷驗,得樣竹本為有且各相互獨立.二、a,b的估菊計（拿最大配似然敵估計臥）取x的n個不折全相妨同的托值作獨扶立試命驗,得樣稻本為有且各相互獨立.于是且相互獨立.從而和聯(lián)合密度函數(shù)為顯然痕，L取最堂大值規(guī)時，宜當(dāng)且同僅當(dāng)取最謎小值蠅。對a,b求偏焦導(dǎo)，默并令沙其為0：整理掀得正則淚方程積組其唯膛一解升為于是,回歸躺函數(shù)的估陽計為稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗變回歸萌函數(shù).稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗攏回歸微方程.簡稱回歸辜方程.也可護(hù)表為記為簡鄭便,引入叼如下也記號于是例1為了研究某一化學(xué)應(yīng)用過程中,溫度對產(chǎn)品得率的影響,測得數(shù)據(jù)如下:(Y服從(3.2)的條件)溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589求Y關(guān)于x的線滾性回板歸方程程.解列表詠計算糾如下:求溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589xy10011012012014015016017018019045515461667074788589100001210014400169001960022500256002890032400361004500561064807930924010500118401326015300169101450673218500101570溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589得回鑄歸方橫程為或表困為三、

的估計殘差褲平方干和作分蘿解,得分旋解式于是定理記則得的一個無偏估計為例1為了研究某一化學(xué)應(yīng)用過程中,溫度對產(chǎn)品得率的影響,測得數(shù)據(jù)如下:(Y服從(3.2)的條件)溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589求Y關(guān)于x的線濤性回燙歸方何程.并求的無偏估計.溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589xy10011012012014015016017018019045515461667074788589100001210014400169001960022500256002890032400361004500561064807930924010500118401326015300169101450673218500101570溫度x100110120130140150160170180190得率y(%)45515461667074788589xy10011012012014015016017018019045515461667074788589100001210014400169001960022500256002890032400361002025260129163721435649005476608472257921450056106480793092401050011840132601530016910145