初等優(yōu)化模型

初等優(yōu)化模型第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.1

存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)目標函數(shù)——每天總費用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答問題第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,

缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五每天總費用平均值（目標函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.2

生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.3

森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型假設(shè)

3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）

2）t1tt2,

降為-x

(為隊員的平均滅火速度）

4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）假設(shè)2）第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型建立目標函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.4

最優(yōu)價格問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價格p,x(p)是減函數(shù)建模與求解收入支出利潤進一步設(shè)求p使U(p)最大第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五使利潤U(p)最大的最優(yōu)價格p*滿足最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到建模與求解邊際收入邊際支出第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b~價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）

a~絕對需求(

p很小時的需求)b

p*

ap*思考：如何得到參數(shù)a,b?第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.5血管分支背景機體提供能量維持血液在血管中的流動給血管壁以營養(yǎng)克服血液流動的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度問題第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型假設(shè)一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比qq1q1ABB′CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC與CB,CB′第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五粘性流體在剛性管道中運動p~A,C壓力差，~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量管壁內(nèi)表面積2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設(shè)qq1q1ABB′CHLll1rr1第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供能量第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動脈半徑rmax,毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論n=？第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五q2U(q1,q2)=cq103.6

消費者均衡問題消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價格p1,p2,有錢s，試分配s,購買甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知價格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點斜率·MQN··第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五結(jié)果解釋——邊際效用消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達到。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿足的條件A.U(q1,q2)=c所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸解釋B的實際意義第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù),分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度。第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù),

分別表示對甲乙的偏愛程度。思考：如何推廣到m(>2)種商品的情況效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.7

冰山運輸背景波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。專家建議從9600千米遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行浴＝蕚?.日租金和最大運量船型小中大日租金（英鎊）最大運量（米3）4.06.28.05105106107第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五2.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時)

01000>4000135

00.10.3

00.150.45

00.20.6冰山體積(米3)船速(千米/小時)

105106107135

8.410.512.6

10.813.516.2

13.216.519.8建模準備第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五建模目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較模型假設(shè)航行過程中船速不變，總距離9600千米冰山呈球形，球面各點融化速率相同到達目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模分析目的地水體積運輸過程融化規(guī)律總費用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(千米/小時)與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）r是u的線性函數(shù)；d<4000時u與d成正比d>4000時u與d無關(guān).航行t天第t天融化速率

01000>4000135

00.10.3

00.150.45

00.20.6urd第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五1.冰山融化規(guī)律冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始體積t天時體積總航行天數(shù)選定u,V0,航行t天時冰山體積到達目的地時冰山體積第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五2.燃料消耗

105106107135

8.410.512.6

10.813.516.2

13.216.519.8Vuq1燃料消耗q1(英鎊/千米)q1對u線性,對log10V線性選定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英鎊/天)燃料