北師大版九年級上冊數(shù)學復習知識點及例題

結章特殊的平行四邊形復習中考：特殊平行四邊形矩形、菱形、正形，它們是歷年中考的考內容之一，主出現(xiàn)的題型樣，注重考查生的基礎證和計算能力以及靈活運數(shù)學思想方解決問題的力。內容主要包括：矩形、形、正方形性質與判定以及相關計，了解平行邊形與矩形菱形、正方形之間的聯(lián)系，掌平行四邊形是矩、菱形、正方的條件。知識目標握、形、方形概掌矩形菱形正的質和定，過的和應用教學，使學生逐步學會分別從題設和結論出發(fā)，尋找論證思路分析法和綜合法重難點：知識知識納矩形

菱形

正方形邊等，相等等性

角

角等

角質

對角線

互相垂直平分，且每角線平等對角分一角角三個角是直·四邊的形；判定對稱性

·是行四邊形且是平行四邊形且有一·矩形有鄰；有一個角是直鄰；·菱形有?！な切兴倪呅吻沂切兴倪呅吻覘l兩條對角線相線互。既是對稱圖形，又是中心稱形矩形義：有一角直的行邊形做形【強】

矩形（）平四邊）一．矩形的性性質矩的個角都是直角；性2

矩形的對角線等，具平四邊形所性質矩形的判矩形判定方法對角線相等的平行四邊形是矩形．注意此方法包括兩個條件）是一平行四形對角線等矩形判定方法2:四個角都是直的四邊形是矩形．矩形判斷方法有一個角是直角的平行四邊形是矩形。例若的對線為兩角的個角為，矩面為例菱形具有而形有質是（）A．互平分；等；等；補例：：，的交于點F，?H，?求：?四邊形是矩形．二．菱形菱形有一組邊相等的平行四邊形叫做菱形．【強調】是平四邊）一組鄰相等．菱形質性質菱形四條都相；性質形的對角互相平分，并每條對角線平分一對角；菱形定菱形判定方法1:對線相垂的行邊形是菱．注意此方包兩條件1）是一個平四形）條角互垂直．菱判方法2:邊都相等四邊形菱．例已如，邊是菱形，是一，于．求：∠．例已知圖直分與、分別交于、F．求：四邊形是菱形．例在，

O是對角線的中，點作垂線與、分別交于F求證四形是菱形.

A

E

DB

C例知圖，菱形中，是點，于M，若,2∠證

AB

E

C例．湖益陽如，在形，∠60°為對角線的中點，過作⊥，垂足E．D

(1)求段BE長．

A

E

B例四）如，四邊形是菱形，⊥交的延線于，⊥，交的長線于你猜想與大有么關系？證你猜想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例山煙）如，菱形的邊長為，2、分是邊，的個動，滿足（1）證：；（2）判說由；）設eq\o\ac(△,（)的面積為，求的取值范形正形是在平行邊形的前提定義，含層思：①一組鄰邊相的平行四邊形形）②一個角是直的平行四邊形形）正方形不僅是特的平行四邊形，且是特的矩形，是特殊的菱形．正方形定義：有組鄰邊相等并且有一個角是角平行四邊形正方形．正方中心圖形稱中對角點，形又對稱，對稱軸是對邊中點連線和對角線所直線，共有四條對稱；因為方是行邊、形，是形所它性是們性的合正形性質總結如：邊：平，邊等；角：四個角都是直角；對角線：對線相等，互相垂直分，每條對角平分一組對．：正形的條對線把方形成兩全等等腰角三形，角線邊的角是；正方形的條角把分四全等等直三形這正形的殊質．正方具有形性質，同時具有形性質．正方的判方：(1)一角是角的形正方形；(2)一鄰邊等的形正方形．?

注意：1正形三點：?（1）是平；12112它是時正，12112它是時正，方．．．（2）個直；（3）組相．、要個四邊形，應先菱形或是然后再加條件，定是正形例已知如圖，正方中對角線的交點為E是上點，⊥于G交于．求．例已：如圖形是正方別過點、兩作∥l，⊥l于M，⊥l于，線、分交于、P點．求證：邊形是正方形．例如圖P邊為正對上（AC不重合點E在線上，且（）求證：①②⊥；（設eq\o\ac(△,）)的面積為.①出關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值圍；②取何值時，取得最大值，并求出這個最大.

與實戰(zhàn)演練：（）A形形形形2.順連接菱形各邊中點所得的四邊形一定（）A腰梯形形.平行四邊形形3.如，知邊是平四形下列結論不確是（）A當時它形是形C當0時，形當是形AB

C

如中，點F分邊，BC，，且DE∥，DF∥BA下列四個判斷中，不正的（）A四形AEDF是平行四邊形那么四邊形AEDF是矩形．果分，那么四邊形AEDF形．果且，那么邊形形形ABCD為形紙片．紙片ABCD折使點恰落在邊點處折痕為若CD

則AF等（）BCBCA．4

B．

．42

D．8

A

E

D

B

C形ABCD為

AD，BCE，F(xiàn)CEeq\o\ac(△,，)CDEA

B

CD7.在右圖的方格紙中有一個菱（A、B、、D四點均格點，若方格紙中每個最小正方形的邊長為，則菱形的面積為A

A

DB

DB

CC如形中對角線，于點O知AOD120，AB2.5則AC的長為．邊為５的菱形，一條對角線長是，則另一條對角線的長是如圖所示形中角線，BD相交點再補充一個條件使菱形ABCD成為正方，則這個條件是個件即．A

D

P

DO11.圖，已知是方對線一，且，∠是．12.圖，形ABCD，O是AC與

過點直線EF與，的延長分別交于，F(xiàn)．求：eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,；)DOF當與AC滿么時以，E，F(xiàn)為點的四邊形是菱形？證明你的結論．FE

DOC第題圖圖eq\o\ac(△,)方到1111圖eq\o\ac(△,)方到111113.將兩塊全等的含30°角的角尺如圖放起較角為．

A

B

D

D

D

B

D

圖

C

C

圖

圖

圖四邊形是平行四形嗎？說出你的論和理．如，線移D的位置，四邊形是行四邊形嗎？說出你的結論和理．eq\o\ac(△,在)沿射線方向平移的程中，當點的動為，形為形，其；當點B的距為四形菱形，其理由是(圖、圖用于究應用探究：如圖，將矩形紙片沿對角線BD折疊，使點落在，BC于，若在添任何輔助線的況下，圖中（虛線也視為的（）A．

B

DB5個C個D3個A

C22.5CC

D

A

M

B2.如圖，方形ABCD的為，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是（）3A．10

1B．3

24C．．53.已知

AC

為形ABCD的則圖中與一定相的是）D

C

DC

C

DA

B

A

B

B

A

BA．

B．．

D．4.紅帶是關注艾病治題的際標將為1的絲交成60°角疊在（如重四的積為2HDF5.如將形紙的四個角向起好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形＝厘＝4厘米，則邊長是厘.6.如圖，已知，OB點在OB邊上，形AEBF是矩．請只用刻的直尺在圖畫出AOB的線（請保畫圖痕．

AFEB

E

DC7.如圖形紙在紙沿折點B恰好落在上長是．A

DPB

E

C章程程）一二次方定義含有一未知數(shù)并且未知數(shù)的最高數(shù)是的整式方叫做一元二次方程。）一元二方程的般形式axbx(0)它的是：左邊一個未知數(shù)x多項，等式右邊是零，其中ax次叫做二次項系數(shù)；叫做一次項b叫做次項系數(shù)叫常數(shù)項。例(m

)x是元方，則____.法1、直接開法如x)2當x，x當時，方程沒有數(shù)根。例限內點（x—1，2—2于軸的對稱點，且，則．2、配方法驟：方程ax2c(a)邊同以將二次項系數(shù)化為將所得程的常數(shù)項到方程的右。（3）方程兩都加上一次系數(shù)一半的方配方，成)2開方，當b0時，；當b<0時，程沒實數(shù)。例程，則的值范是（．A．a

B．a0

C．

D．法確定3、公式法公式是用根公式解一元二次方程解的方法它是一元次方的一般方法。一元次方程axc(a)求根公式：

b2

ac

(b2)例4x－2=0，那么＋x＋的值為4、因式分法一元次方的一邊為，另一邊于分成兩一次式的乘積時使用此方法。例個三角形兩邊長是方程-815=0的根，則第三邊的取值范是（．A．y<8B．3<y<5．2<y<8D．無法確定補一元二次方程根的判別式判1定一二次方程c0a0)，ac一二次方程ax

2

bxc()的判別式。2、性質：當2ac＞0個的實數(shù)根當2ac0方個的實數(shù)根當bac＜0。例方程–2(a–1)x=2有兩個相等的實根則的值為例的方程–2x()+6=0無實根，則可的最小整數(shù)（）（A）（）（）D）-補一元二次方程與關韋理）aa

ax2(a0)xxxx2

ba

xx2

12

11nAAPA2

3例袋裝樣質同球白色擬“摸白球”以下替代物行“拋擲枚普骰子現(xiàn)機會“拋擲枚”會“拋擲枚質機會D“現(xiàn)”機會例54同

3

54

34ABCD．．．．例個小球從A沿制定軌道下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種機會均等的結果小球最到達的概率（）111（A））C））268例一副撲牌中取的兩組牌，分別是黑桃、3、4和方塊1、2、3、4，將它們面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面字之和等5的概率（）1（A）2

1（B）3

1（C）4

3（D）5例甲、乙兩個轉盤中，指針指向每一個數(shù)字的機會是均等的當同時轉兩個轉盤，停止后指針所指的兩個數(shù)字表示兩條線段長，如第三條線的長5，那么這三條線段不能構成三角形的概率是（）

6（A）

9（B）

（C）

（D）

甲

乙三題例袋有紅、色外其余都相同，每次任取一個兩次。求列事件的概率。（1）紅（2）色全同（）白解：紅黃白紅（紅，）））黃（黃，）））白（白，）））P(全紅顏色全無說明：顏色全同包括是紅色或都黃色或都是白色；無白指沒有白色球。例密險的密碼由個數(shù)字組成，個數(shù)字都是由～9這十個字中的一個，王叔忘了中最后面兩數(shù)，那一次能保柜概是解：面的個數(shù)字都有最后兩數(shù)字忘記了，最后兩個數(shù)字每個數(shù)字出的能果都有么組成兩個數(shù)字的能結果有種是碼上后兩數(shù)1的概是。例有、色、色、白色球個小又放5個球后小次摸后摸到紅球、黃、球白球黑球的率次25，，305，××估計袋中紅色、黃色、色球及色各有多個？解：小剛放入個黑球后摸到的色的率為，則可以由此估計出中共有球(個)。中能有球括個黑），色球％％個，黃球×％個色球×％＝個，球×％個。例.、兩人用圖所示兩個轉盤做游戲，轉動兩轉盤各次的對值為或，則甲，否則勝這個游對方公平？為什么？兩和是的，則甲和是倍或的，乙個戲對雙公平嗎？為什么？

解）表的方出所有結果：從表中可以看出兩個數(shù)字之差的對值，為的有種可能果，的有種可能結果，有種可能結果，所甲勝的概率為為此甲勝的可能性比乙大所以不平。（）過：出的個字之是倍有種，的個字和是的倍數(shù)有種倍有種甲率為為能比乙小，以不平。例小明與同學起想知道個人有兩人生相的概們想設計一個擬實驗來估計人中恰有兩個人肖相同的概率，你能幫他們設計這模擬方案嗎？分析：可以用摸球、撲牌、轉盤、計算器模擬隨機整數(shù)等方法。注意“一次實驗”設計。1111

126

關例鏡正原正方具怎樣關呢？析要注意正原正方改變它們定例列各組平行；②圓③矩；內8°正五內0°定填序)析根定但定而矩腰都屬于唯而圓正頂0°腰唯它們都答案②⑤⑥例段于條線段如果線段長度條線段長度那么條線段例線簡例段

abd

a條線段例作bd

能式例線段順序性a2在例bd

例項例外項例項d項3如果例內項線段

ab

那線線段和例項(4)通常線段單位致但時了方便ab單和單位整體示例已線6,求

a析求求長度單先單求b例已例且63

32

求c度析例寫例式所各線段單位求性性質正確理定確”關系2確“”自書寫且要確具順性例若長8ABD最長四分邊邊四四1①相四分邊邊四四1①相，11似11則BCD的最邊長是多少？1析：與形ABD似，它們的似比為應的最邊長的比即為相3似邊形對應邊成比例的性質，利用方程思想求出最小邊的長．知點．似三角形的概念對應角相等，應邊之相的三角叫相似三形．解讀）相角相邊的；應合相似多邊形的性質來理解相似三角形；足形狀一樣，但大；相用“∽”表示，讀作“相似于；角形的之比叫比．1意：是比如eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)B相比若ABeq\o\ac(△,∽)則相似比為k②若個角的似為則這兩三角形等全等三形相似三形特殊情。兩個角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等．例如圖知eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)，，4，則和的相似比是多？點D，分，中嗎？AEBC注：解決此類問題應注意兩方面）相似的順序性形別．DEADAEDE解因為eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)所以，為，ABBCAE所以2

，以D，分別，的點．知識點．相似三的判定方法定義對角等對邊比例兩三形似；平行于角形一邊的直截其他兩（其他兩邊的延長線）所構成的三角形與原三形相似．如果一個三角形的兩個角分別另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．（4）角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比，并且夾角等，那么這個三形相．如果一個角形三條邊分別與另一個三角的三條邊對成比，那這兩三角形相似．直角三角形被斜上的高分成的兩直角三角形與原三角形都相．經過歸納和總結，相似三角形有以下幾種基本類型：①平行線常見的有如下兩，∥，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)A

E

DDEBC

ABC②型常見有下種形如，已∠1=B，則共∠A得，eq\o\ac(△,△)A

AEC

E

DB

D

BC如下圖，知1=∠，則公共角∠A，eq\o\ac(△,得)eq\o\ac(△,)如下圖已∠頂角∠得，eq\o\ac(△,△)A

ED

D1

21

ABC

CB③型已知∠eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,則)下為見的本形．AEBC④型已∠90°，則eq\o\ac(△,，)∽．CA

D

B解決似角問，鍵要善從雜圖中解（造出上基圖．例7．如，Deq\o\ac(△,在)的邊上，足怎樣的條件時與eq\o\ac(△,相)？試分別加以列舉．例91eq\o\ac(△,．)，周長；的面．周為A例91eq\o\ac(△,．)，周長；的面．周為ABC的面90AD21BC分析：此題屬于探索性問題，相似三角形的判別方法eq\o\ac(△,可)eq\o\ac(△,與)已有公共角∠A，使此兩個三角形相似可根據(jù)相似三角的判別法尋找一條件即可．解：當滿足以下三個條件之eq\o\ac(△,一)eq\o\ac(△,∽)ADAC件一1=∠；條件二∠2=∠；條件：AB

，即．知識點．相似三角形的質對角相等，對邊的比相等；對高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的方．例8．圖，eq\o\ac(△,4)，8，、的；你還能發(fā)現(xiàn)哪線段成例．AEDBCDEADAE分：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應邊成例，即ABDEADAE）∽eq\o\ac(△,∵)，AB

．8x，，4，15，7設則

，設則

a8a

∴14.(2)

知，的周長20，積402．AB311求1eq\o\ac(△,1)AB1C1的eq\o\ac(△,1)分：據(jù)似三角形長比于相比面之比等于似的方求．易求eq\o\ac(△,1)AB1的eq\o\ac(△,1)五投、視主在時，看得部分的輪廓，看的部分輪廓虛線。例一幾何體三視圖如右：那么這個何體是

.主視圖圖圖例果1個立方體用立方體疊加用■表示三個方體疊加那么下面右由個立方體疊成的何體，從前方觀察，可畫出的平面圖是（）BC

影（1）投影：物體光的射下，在地面上或墻壁上留下的子這就投現(xiàn)。（2）投。這。①源。（5側到常當與垂投①仍；②段種：段時；段于時長段實段時長段實。③某種：情其實狀垂情其段傾情其小狀。例在上，的中發(fā)在地上的兩的影子（）A.交

平行

D.無法定

A例望測量出線桿的度，于是在

CE