高中物理競賽復(fù)賽試題及答案

第二十屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷題號一二三四五六七總計得分復(fù)核人全卷共七題，總分為140分。一、（15分）圖中a為一固定放置半徑為R均勻帶電球體，O為其球心．己知取無限遠(yuǎn)處V．在離球心O很遠(yuǎn)O′點(diǎn)附近有一質(zhì)子b，它以Ek＝eV動能沿與OO平行方向射向a．以l表示b與OO線之間垂直距離，要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a表面相碰，試求l最大值．把質(zhì)子換成電子，再求l最大值．二、（15分）U形管兩支管A、B和水平管C都是由內(nèi)徑均勻細(xì)玻璃管做成，它們內(nèi)徑與管長相比都可忽略不計．己知三部分截面積分別為cm2，cm2，cm2，在C管中有一段空氣柱，兩側(cè)被水銀封閉．當(dāng)溫度為℃時，空氣柱長為＝30cm（如圖所表示），C中氣柱兩側(cè)水銀柱長分別為＝2.0cm，＝3.0cm，A、B兩支管都很長，其中水銀柱高均為＝12cm．大氣壓強(qiáng)保持為＝76cmHg不變．不考慮溫度改變時管和水銀熱膨脹．試求氣柱中空氣溫度遲緩升高到＝97℃時空氣體積．三、（20分）有些人提出了一個不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星構(gòu)想．其構(gòu)想以下：沿地球一條弦挖一通道，如圖所表示．在通道兩個出口處和，分別將質(zhì)量為物體和質(zhì)量為待發(fā)射衛(wèi)星同時自由釋放，只要比足夠大，碰撞后，質(zhì)量為物體，即待發(fā)射衛(wèi)星就會從通道口沖出通道；設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上有一個裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口時，立刻把待發(fā)衛(wèi)星速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€方向，但不改變速度大小．這么待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動，成為一個人造衛(wèi)星．若人造衛(wèi)星恰好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動，則地心到該通道距離為多少？己知＝20，地球半徑＝6400km．假定地球是質(zhì)量均勻分布球體，通道是光滑，兩物體間碰撞是彈性．四、(20分)如圖所表示，二分之一徑為、折射率為玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為區(qū)域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，恰好覆蓋整個表面．為以球心為原點(diǎn)，與平而垂直坐標(biāo)軸．經(jīng)過計算，求出坐標(biāo)軸上玻璃半球右邊有光線經(jīng)過各點(diǎn)（有光線段）和無光線經(jīng)過各點(diǎn)（無光線段）分界點(diǎn)坐標(biāo)．五、(22分)有二分之一徑為圓柱A，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸．現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同，半徑為較細(xì)圓柱B，用手扶著圓柱A，將B放在A上面，并使之與墻面相接觸，如圖所表示，然后放手．己知圓柱A與地面靜摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱之間靜摩擦系數(shù)為0.30．若放手后，兩圓柱體能保持圖示平衡，問圓柱B與墻面間靜摩擦系數(shù)和圓柱B半徑值各應(yīng)滿足什么條件？六、(23分)兩個點(diǎn)電荷位于軸上，在它們形成電場中，若取無限遠(yuǎn)處電勢為零，則在正軸上各點(diǎn)電勢如圖中曲線所表示，當(dāng)初，電勢：當(dāng)初，電勢；電勢為零點(diǎn)坐標(biāo),電勢為極小值點(diǎn)坐標(biāo)為（＞2）。試依照圖線提供信息，確定這兩個點(diǎn)電荷所帶電荷符號、電量大小以及它們在軸上位置．七、(25分)如圖所表示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速拋出．己知物塊碰地彈起時沿豎直方向分速度大小與碰前沿豎直方向分速度大小之比為（＜1＝．又知沿水平方向物塊與地面之間滑動摩擦系數(shù)為（≠0）：每次碰撞過程時間都非常短，而且都是“餅面”著地．求物塊沿水平方向運(yùn)動最遠(yuǎn)距離．第二十屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題參考解答、評分標(biāo)準(zhǔn)一、參考解答令表示質(zhì)子質(zhì)量，和分別表示質(zhì)子初速度和抵達(dá)a球球面處速度，表示元電荷，由能量守恒可知（1）因為a不動，可取其球心為原點(diǎn)，因為質(zhì)子所受a球?qū)λo電庫侖力總是經(jīng)過a球球心，所以此力對原點(diǎn)力矩一直為零，質(zhì)子對點(diǎn)角動量守恒。所求最大值對應(yīng)于質(zhì)子抵達(dá)a球表面處時其速度方向剛好與該處球面相切（見復(fù)解20-1-1）。以表示最大值，由角動量守恒有（2）由式（1）、（2）可得（3）代入數(shù)據(jù)，可得（4）若把質(zhì)子換成電子，則如圖復(fù)解20-1-2所表示，此時式（1）中改為。同理可求得（5）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。二、參考解答在溫度為時，氣柱中空氣壓強(qiáng)和體積分別為，（1）（2）當(dāng)氣柱中空氣溫度升高時，氣柱兩側(cè)水銀將被遲緩壓入A管和B管。設(shè)溫度升高到時，氣柱右側(cè)水銀剛好全部壓到B管中，使管中水銀高度增大（3）由此造成氣柱中空氣體積增大量為（4）與此同時，氣柱左側(cè)水銀也有一部分進(jìn)入A管，進(jìn)入A管水銀使A管中水銀高度也應(yīng)增大，使兩支管壓強(qiáng)平衡，由此造成氣柱空氣體積增大量為（5）所以，當(dāng)溫度為時空氣體積和壓強(qiáng)分別為（6）（7）由狀態(tài)方程知（8）由以上各式，代入數(shù)據(jù)可得K（9）此值小于題給最終溫度K，所以溫度將繼續(xù)升高。從這時起，氣柱中空氣作等壓改變。當(dāng)溫度抵達(dá)時，氣柱體積為（10）代入數(shù)據(jù)可得（11）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。求得式（6）給6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。三、參考解答位于通道內(nèi)、質(zhì)量為物體距地心為時（見圖復(fù)解20-3），它受到地球引力能夠表示為，（1）式中是以地心為球心、認(rèn)為半徑球體所對應(yīng)那部分地球質(zhì)量，若以表示地球密度，此質(zhì)量能夠表示為（2）于是，質(zhì)量為物體所受地球引力能夠改寫為（3）作用于質(zhì)量為物體引力在通道方向分力大小為（4）（5）為與通道中垂線間夾角，為物體位置到通道中點(diǎn)距離，力方向指向通道中點(diǎn)。在地面上物體重力能夠表示為（6）式中是地球質(zhì)量。由上式能夠得到（7）由以上各式能夠求得（8）可見，與彈簧彈力有一樣性質(zhì)，對應(yīng)“勁度系數(shù)”為（9）物體將認(rèn)為平衡位置作簡諧振動，振動周期為。取處為“彈性勢能”零點(diǎn)，設(shè)位于通道出口處質(zhì)量為靜止物體抵達(dá)處速度為，則依照能量守恒，有（10）式中表示地心到通道距離。解以上關(guān)于各式，得（11）可見，抵達(dá)通道中點(diǎn)速度與物體質(zhì)量無關(guān)。構(gòu)想讓質(zhì)量為物體靜止于出口處，質(zhì)量為物體靜止于出口處，現(xiàn)將它們同時釋放，因為它們振動周期相同，故它們將同時抵達(dá)通道中點(diǎn)處，并發(fā)生彈性碰撞。碰撞前，兩物體速度大小都是，方向相反，剛碰撞后，質(zhì)量為物體速度為，質(zhì)量為物體速度為，若要求速度方向由向為正，則有，（12）（13）解式（12）和式（13），得（14）質(zhì)量為物體是待發(fā)射衛(wèi)星，令它回到通道出口處時速度為，則有（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得（16）方向沿著通道。依照題意，衛(wèi)星上裝置可使方向改變成沿地球處切線方向，假如大小恰能使小衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動，則有（17）由式（16）、（17）并注意到式（6），能夠得到（18）已知m，則得（19）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。求得式（11）給7分，求得式（16）給6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。四、參考解答圖復(fù)解20-4-1中畫出是進(jìn)入玻璃半球任一光線光路（圖中陰影處是無光線進(jìn)入?yún)^(qū)域），光線在球面上入射角和折射角分別為和，折射光線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)在。令軸上距離為，距離為，依照折射定律，有（1）在中（2）（3）由式（1）和式（2）得再由式（3）得設(shè)點(diǎn)到距離為，有得（4）解式（4）可得（5）為排除上式中應(yīng)舍棄解，令，則處應(yīng)為玻璃半球在光軸上傍軸焦點(diǎn)，由上式由圖可知，應(yīng)有，故式（5）中應(yīng)排除±號中負(fù)號，所以應(yīng)表示為（6）上式給出隨改變關(guān)系。因為半球平表面中心有涂黑面積，所以進(jìn)入玻璃半球光線都有，其中折射光線與軸交點(diǎn)最遠(yuǎn)處坐標(biāo)為（7）在軸上處，無光線經(jīng)過。隨增大，球面上入射角增大，當(dāng)大于臨界角時，即會發(fā)生全反射，沒有折射光線。與臨界角對應(yīng)光線有這光線折射線與軸線交點(diǎn)處于（8）在軸上處沒有折射光線經(jīng)過。由以上分析可知，在軸上玻璃半球以右（9）一段為有光線段，其它各點(diǎn)屬于無光線段。與就是所要求分界點(diǎn)，如圖復(fù)解20-4-2所表示評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。求得式（7）并指出在軸上處無光線經(jīng)過，給10分；求得式（8）并指出在軸上處無光線經(jīng)過，給6分；得到式（9）并指出上有光線段位置，給4分。五、參考解答放上圓柱B后，圓柱B有向下運(yùn)動傾向，對圓柱A和墻面有壓力。圓柱A傾向于向左運(yùn)動，對墻面沒有壓力。平衡是靠各接觸點(diǎn)摩擦力維持。現(xiàn)設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，取圓柱A受地面正壓力為，水平摩擦力為；圓柱B受墻面正壓力為，豎直摩擦力為，圓柱A受圓柱B正壓力為，切向摩擦力為；圓柱B受圓柱A正壓力為，切向摩擦力為，如圖復(fù)解20-5所表示。各力以圖示方向為正方向。已知圓柱A與地面摩擦系數(shù)＝0.20，兩圓柱間摩擦系數(shù)＝0.30。設(shè)圓柱B與墻面摩擦系數(shù)為，過兩圓柱中軸平面與地面交角為。設(shè)兩圓柱質(zhì)量均為，為了求出、、以及為保持平衡所需、、之值，下面列出兩圓柱所受力和力矩平衡方程：圓柱A：（1）（2）（3）圓柱B：（4）（5）（6）因為，所以得（7）式中代表，，和大小。又因，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成為：（8）（9）（10）（11）以上四式是，，和聯(lián)立方程，解這聯(lián)立方程可得（12）（13）（14）（15）式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡時所需要力，，，沒有問題，但，，三個力能不能達(dá)成所需要數(shù)值，即式（12）、（14）要受那里摩擦系數(shù)制約。三個力中只要有一個不能達(dá)成所需值，在那一點(diǎn)就要發(fā)生滑動而不能保持平衡。首先討論圓柱B與墻面接觸點(diǎn)。接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動要求由式（12），得所以（16）再討論圓柱A與地面接觸點(diǎn)情形。按題設(shè)此處摩擦系數(shù)為＝0.20，依照摩擦定律，若上面求得接地點(diǎn)維持平衡所需水平力滿足，則圓柱在地面上不滑動；若，這一點(diǎn)將要發(fā)生滑動。圓柱A在地面上不發(fā)生滑動條件是（17）由圖復(fù)解20-5可知（18）（19）由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，能夠求得（20）即只有當(dāng)初，圓柱A在地面上才能不滑動。最終討論兩圓柱接觸點(diǎn)。接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動要求（21）由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得（22）顯然，在平衡時，上限為?？偨Y(jié)式（20）和式（22），得到滿足條件為（23）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題22分。求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。六、參考解答在點(diǎn)電荷形成電場中一點(diǎn)電勢與離開該點(diǎn)電荷距離成反比。因為取無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，故正電荷在空間各點(diǎn)電勢為正；負(fù)電荷在空間各點(diǎn)電勢為負(fù)。現(xiàn)已知處電勢為零，故可知這兩個點(diǎn)電荷必定是一正一負(fù)。依照所提供電勢曲線，當(dāng)考查點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)很近時，電勢為正，且隨減小而很快趨向無限大，故正點(diǎn)電荷必定位于原點(diǎn)處，以表示該點(diǎn)電荷電量。當(dāng)從0增大時，電勢沒有出現(xiàn)負(fù)無限大，即沒有經(jīng)過負(fù)點(diǎn)電荷，這表明負(fù)點(diǎn)電荷必定在原點(diǎn)左側(cè)。設(shè)它到原點(diǎn)距離為，當(dāng)很大時，電勢一定為負(fù)，且趨向于零，這表明負(fù)點(diǎn)電荷電量數(shù)值應(yīng)大于。即產(chǎn)生題目所給電勢兩個點(diǎn)電荷，一個是位于原點(diǎn)正電荷，電量為；另一個是位于負(fù)軸上離原點(diǎn)距離處負(fù)電荷，電量大小為，且＞。按題目所給條件有（1）（2）因時，電勢為極小值，故任一電量為正檢測電荷位于處電勢能也為極小值，這表明該點(diǎn)是檢測電荷平衡位置，位于該點(diǎn)檢測電荷受到電場力等于零，因而有（3）由式（1）、（2）和（3）可解得（4）（5）（6）式中為靜電力常量。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題23分。式（1）、（2）各4分，式（3）6分，式（4）、（5）、（6）各3分。七、參考解答設(shè)物塊在點(diǎn)第一次與地面碰撞，碰撞前水平速度仍為，豎直速度為（1）碰撞后物塊豎直速度變?yōu)?，依照題意，有（2）設(shè)物塊質(zhì)量為，碰撞時間為，因為碰撞時間極短，物塊與地面間沿豎直方向作用力比重力大得多，可忽略重力作用，這么，物塊對地面正壓力大小為（3）水平方向動量改變是水平摩擦力沖量作用結(jié)果，設(shè)水平方向速度變?yōu)椋瑒t有（4）由以上各式得（5）同理，在落地點(diǎn)，，…，其碰撞后豎直分速度分別為…………（6）其水平速度分別為…………（7）由式（6）可知，只有當(dāng)碰撞次數(shù)時，碰地后豎直方向分速度才趨向于零，但物塊對地面正壓