北京大學附屬學校2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學試卷含答案

PAGE北京大學附屬學校2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學（考試時間：90分鐘滿分：100分）友情提示：請將答案填于答題卷中，填于試卷上不得分。一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.是2的相反數(shù)，是9的算術(shù)平方根，則()A.5B.-5C.1D.2.設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A.B.C.D.3.從分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是()A.B.C.D.4.設(shè)，，則的值為()A.B.C.D.5.已知，則的最大值是()A.2023B.2023C.2023D.2023二、填空題（每小題3分，共10小題）6.已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且,則；7.已知關(guān)于的不等式的解為，則不等式的解為；8.二次函數(shù)的圖像與軸正方向交于兩點，與軸正方向交于點，已知，，則；9.已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值是；10.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是；11.在數(shù)學活動中，某位同學為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計如圖所示的幾何圖形，請你利用這個幾何圖形計算=；12.如圖，半徑為的四個小圓兩兩外切，并都內(nèi)切于半徑為的圓內(nèi)，則=；第10題第11題第12題13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是；14.在數(shù)式變換中有：（其中為正整數(shù)），某位同學利用這個變換關(guān)系處理以下問題：；現(xiàn)模仿該同學的處理方法，則下列式子的值：；15.定義：表示中的最小值，則的最大值是.三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）已知一棵樹AB直立于地面上，某次臺風來襲將該樹刮斷，如圖所示，被刮傾斜15o后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D，量得樹干的傾斜角米，求這棵樹AB原來的高度是多少？17．（本題8分）（Ⅰ）化簡：；（Ⅱ）已知，求代數(shù)式的值.18．（本題8分）在直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸的正半軸分別交于兩點，且使得的面積值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面積的最小值.19．（本題10分）如圖，點D是上的一點，是外接圓上一點，使得，且，（點為外接圓的圓心）.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求外接圓的半徑.20.（本題10分）如圖，由條直線將平面分成若干個邊長為1的正方形，點O，A，B均在正方形格子的頂點（格點）處，其中點O與點A位于同一水平線上，相距格，點O與點B位于同一豎直線上，相距格，且，互質(zhì).（Ⅰ）求證：邊上的格點個數(shù)為++1；（Ⅱ）若，在中（包括三條邊）共有67個格點，求，的值.21．（本題13分）定義為函數(shù)的特征數(shù)，以特征數(shù)為的函數(shù)圖象經(jīng)過兩點.（Ⅰ）若都是整數(shù)，且，求的值；（Ⅱ）若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸的交點為A,B（其中A,B兩點的橫坐標都為整數(shù)），與y軸的交點為C，求的面積.龍巖一中2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學（答題卷）一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345答案二、填空題（每小題3分，共10小題）6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）已知一棵樹AB直立于地面上，某次臺風來襲將該樹刮斷，如圖所示，被刮傾斜15o后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D，量得樹干的傾斜角米，求這棵樹AB原來的高度是多少？17．（本題8分）（Ⅰ）化簡：；（Ⅱ）已知，求代數(shù)式的值.18．（本題8分）在直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸的正半軸分別交于兩點，且使得的面積值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面積的最小值.19．（本題10分）如圖，點D是上的一點，是外接圓上一點，使得，且，（點為外接圓的圓心）.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求外接圓的半徑.20.（本題10分）如圖，由條直線將平面分成若干個邊長為1的正方形，點O，A，B均在正方形格子的頂點（格點）處，其中點O與點A位于同一水平線上，相距格，點O與點B位于同一豎直線上，相距格，且，互質(zhì).（Ⅰ）求證：邊上的格點個數(shù)為++1；（Ⅱ）若，在中（包括三條邊）共有67個格點，求，的值.21．（本題13分）定義為函數(shù)的特征數(shù)，以特征數(shù)為的函數(shù)圖象經(jīng)過兩點.（Ⅰ）若都是整數(shù)，且，求的值；（Ⅱ）若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸的交點為A,B（其中A,B兩點的橫坐標都為整數(shù)），與y軸的交點為C，求的面積.龍巖一中2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學參考答案一、選擇題（每小題3分，共5題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345答案CDBAD二、填空題（每小題3分，共10小題）6．66；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．4．備注：第12題答案也可寫成.三、解答題（共6小題，共55分）16．（本題6分）解：如圖，過A作AE⊥CD,垂足為E，由題意知：∠DAC=75o，因為∠ADC=60o，在Rt△AED中，,所以DE=1米，……………1分,所以米，……………2分∠EAD=30o，在Rt△AEC中，∠CAE=45o=∠C，所以CE=,……………4分所以,所以米，……………5分所以AB=.……………6分17．（本題8分）解：（Ⅰ）原式=……………3分（Ⅱ）利用換元法，令，所以……8分18．（本題8分）解：（Ⅰ）令，得，，得所以兩點的坐標分別為，于是的面積為由題意，有解得……………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知當且僅當時，有，即當，時，不等式中的等號成立.所以，面積的最小值為……………8分19．（本題10分）解：（Ⅰ）證明：因為所以，∽，所以……………4分（Ⅱ）如圖，連接并延長交圓于點E，連接AE，由（Ⅰ）可知∽,所以，，因為，，所以……………10分20.（本題10分）（Ⅰ）證明：由題意可得邊OA,OB上的格點共個，………1分接下來處理AB邊上的格點，因為互質(zhì)，假設(shè)線段上存在某一點（恰為格點且不在A,B兩點處），可設(shè)點到點的水平距離為，豎直距離為（，均為整數(shù)），則，即，………2分由互質(zhì),得是的倍數(shù)，它與矛盾………4分因此，假設(shè)不正確，即線段上（除兩點外）不存在格點，所以邊上的格點個數(shù)為++1.………5分（Ⅱ）以，為邊作一個矩形，則在中格點的個數(shù)與中格點的個數(shù)相同，且只有兩點是公共的，而矩形中格點的個數(shù)為…………6分因此，，，由，得，…………9分即.…………10分21．（本題13分）解：（Ⅰ）由題意得函數(shù)，因該函數(shù)圖象經(jīng)過，得整理得，……………………2分由知解得，……………4分又為整數(shù)，所以，即.…………………5分（Ⅱ）設(shè)A,B兩點的橫坐標為，且，由題意可得，為方程的兩根，………