第九章第節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1第九章第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值2一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有3定理1.(必要條件)函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù),證:在點(diǎn)在在據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件取得極值取得極值取得極值且在該點(diǎn)取得極值,則有4說明(1)使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例有駐點(diǎn)(0,0)但在該點(diǎn)不取極值(2)偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).例在點(diǎn)(0,0)有極大值問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？5時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)2)當(dāng)3)當(dāng)證明見第九節(jié)(P122).

時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)

時(shí)取極大值;

時(shí)取極小值.6例1.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).

得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;在點(diǎn)(1,2)處不是極值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)7例1求函數(shù)駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.的極值.8例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)是它們的駐點(diǎn),并且在(0,0)都有在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為因此z(0,0)不是極值.因此當(dāng)時(shí),為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)910二.最值應(yīng)用問題函數(shù)

f

在閉域上連續(xù)函數(shù)

f

在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別：當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),則

為極小()值為最小()值大大11求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.12解如圖,1314例4.水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最??？因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為,高為時(shí)，水箱所用材料最省。解:設(shè)水箱長,寬分別為

,

m

,則高為15例5.有一陰寬為24恩cm的長歲方形匹鐵板,把它際折起話來,解:設(shè)折鴨起來攏的邊嬌長為則斷嗎面面朋積為x24做成損一個(gè)乖斷面堆為等喝腰梯尖形的滾水槽,問怎米樣折踢法才漫能傾角五為使斷繼面面表積最貓大16令解得:由題披意知,最大疏值在單定義屑域內(nèi)某達(dá)到,而在覆域內(nèi)父只有一個(gè)著駐點(diǎn),故為眾所求.17三、般條件輸極值極值河問題無條壇件極席值:條件析極值:條件準(zhǔn)極值百的求肥法:方法1代入訓(xùn)法.求一底元函袍數(shù)的無恐條件呀極值萬問題對自窗變量女只有信定義叢域限士制對自它變量舍除定梢義域顏限制鑰外,還有就其它守條件約限制例如,轉(zhuǎn)化18方法拍二.拉格嘩朗日別乘數(shù)罰法在條警件受下,求函炸數(shù)餅的傻極值.分析:設(shè)條煩件方長程則問臉題等兔價(jià)于艘一元捧函數(shù)極值危點(diǎn)必犁滿足可確籠定隱兵函數(shù)極值恢問題,極值天點(diǎn)必唉滿足故19引入販輔助爽函數(shù)極值罪點(diǎn)必滿自足輔助員函數(shù)F稱為往拉格紹朗日(講La核gr括an竿ge賣)函數(shù).利用軍拉格隊(duì)朗日丹函數(shù)店求極得值的彎方法慈稱為韻拉格檢朗日蜻乘數(shù)考法.20推廣拉格妥朗日給乘數(shù)圣法可薄推廣嚇到多呆個(gè)自引變量竿和多品個(gè)約應(yīng)束條棚件的遣情形.設(shè)解方肚程組可得餡到條器件極液值的準(zhǔn)可疑擠點(diǎn).例如,求函俊數(shù)下的姓極值.在條茫件21例6要設(shè)姥計(jì)一應(yīng)個(gè)容駱量為赤的長葉方體壺開口爭水箱,試問疏水箱長飛、寬某、高為等于麻多少則時(shí)所摩用材律料最社??？使則問題為求令解方立程組得由題稻意可貞知合掌理的賽設(shè)計(jì)澆是存煙在的,長、陳寬為莖高的2倍時(shí)尿，所貿(mào)用材跟料最裕省。解:設(shè)分別表示長、寬、高,下水鹿箱表矩面積最小.在條洲件因此,當(dāng)高么為22解則23例8.求旋轉(zhuǎn)匹拋物墻面與平許面之間古的最益短距獅離.解：設(shè)為拋物歡面上任鄙一點(diǎn)早，則P的距離仇為問題歇?dú)w結(jié)扯為約束騎條件:目標(biāo)號(hào)函數(shù):作拉氏患函數(shù)到平蔥面24令解此方程智組得廳唯一席駐點(diǎn)由實(shí)門際意練義最架小值糖存在,故25試在侵橢圓解答甲提示:例9則已知平面上兩定點(diǎn)

,

,圓周上求一點(diǎn),使面積

最大.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,26設(shè)拉仆格朗羅日函企數(shù)解方洞程組得駐止點(diǎn)對應(yīng)互面積而面積菌最大.比較可知,點(diǎn)與

重合時(shí),三角形27內(nèi)容正小結(jié)1.函數(shù)區(qū)的極細(xì)值問衛(wèi)題第一竄步稠利荒用必慎要條蠢件在艱定義仍域內(nèi)腫找駐儀點(diǎn).即解泰方程世組第二離步額利寨用充給分條墨件判別鳥駐點(diǎn)主是否矮為極程值點(diǎn).2.函數(shù)島的條踐件極最值問也題(1地)簡單踢問題煌用代型入法如對萌二元阿函數(shù)(2足)一般底問題冰用拉托格朗佩日乘耳數(shù)法28設(shè)拉材格朗壇日函詞數(shù)如求炸二元甜函數(shù)下的齒極值,解方輕程組第二巴步瓜判犯別?比較息駐點(diǎn)輪及邊零界點(diǎn)麻上函評數(shù)值員的大探小?