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梁的變形計算演示文稿目前一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點梁的變形計算目前二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點上一章的分析結果表明,在平面彎曲的情形下,梁的軸線將彎曲成平面曲線。如果變形太大,也會影響構件正常工作。因此,對機器中的零件或部件以及土木工程中的結構構件設計時,除了滿足強度要求外,還必須滿足一定的剛度要求,即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此,必須分析和計算梁的變形。另一方面,某些機械零件或部件,則要求有較大的變形,以減少機械運轉時所產(chǎn)生的振動。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。此外,求解靜不定梁,也必須考慮梁的變形以建立補充方程。梁的位移分析與剛度問題目前三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點本章將在上一章得到的曲率公式的基礎上,建立梁的撓度曲線微分方程;進而利用微分方程的積分以及相應的邊界條件確定撓度曲線方程。在此基礎上,介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法。此外,還將討論簡單的靜不定梁的求解問題。梁的位移分析與剛度問題目前四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點梁的變形與梁的位移疊加法確定梁的撓度與轉角簡單的靜不定梁結論與討論梁的剛度問題梁的小撓度微分方程及其積分梁的位移分析與剛度問題目前五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點在平面彎曲的情形下,梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉過一角度,從而使梁的軸線彎曲成平面曲線,這一曲線稱為梁的撓度曲線(deflectioncurve)。

梁的曲率與位移目前六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點根據(jù)上一章所得到的結果,彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關系:

梁的曲率與位移目前七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點梁在彎曲變形后,橫截面的位置將發(fā)生改變,這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三個部分:

橫截面形心處的鉛垂位移,稱為撓度(deflection),用w表示;

變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度,稱為轉角(slope)用表示;撓度與轉角的相互關系

橫截面形心沿水平方向的位移,稱為軸向位移或水平位移(horizontaldisplacement),用u表示。目前八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點在小變形情形下,上述位移中,水平位移u與撓度w相比為高階小量,故通常不予考慮。

撓度與轉角的相互關系在Oxw坐標系中,撓度與轉角存在下列關系:

在小變形條件下,撓曲線較為平坦,即很小,因而上式中tan。于是有w=w(x),稱為撓度方程(deflectionequation)。目前九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點梁的位移分析的工程意義位移分析中所涉及的梁的變形和位移,都是彈性的。盡管變形和位移都是彈性的,工程設計中,對于結構或構件的彈性位移都有一定的限制。彈性位移過大,也會使結構或構件喪失正常功能,即發(fā)生剛度失效。目前十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點機械傳動機構中的齒輪軸,當變形過大時(圖中虛線所示),兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉角,這不僅會影響兩個齒輪之間的嚙合,以致不能正常工作。同時,還會加大齒輪磨損,同時將在轉動的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。此外,當軸的變形很大使,軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉角,從而使軸和軸承的磨損大大增加,降低軸和軸承的使用壽命。

梁的位移分析的工程意義目前十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點工程設計中還有另外一類問題,所考慮的不是限制構件的彈性位移,而是希望在構件不發(fā)生強度失效的前提下,盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如,各種車輛中用于減振的板簧,都是采用厚度不大的板條疊合而成,采用這種結構,板簧既可以承受很大的力而不發(fā)生破壞,同時又能承受較大的彈性變形,吸收車輛受到振動和沖擊時產(chǎn)生的動能,受到抗振和抗沖擊的效果。梁的位移分析的工程意義目前十二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點力學中的曲率公式數(shù)學中的曲率公式小撓度微分方程目前十三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點小撓度情形下彈性曲線的小撓度微分方程,式中的正負號與w坐標的取向有關。?0小撓度微分方程目前十四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點

小撓度微分方程

本書采用向下的w坐標系,有目前十五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點對于等截面梁,應用確定彎矩方程的方法,寫出彎矩方程M(x),代入上式后,分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉角方程:

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程

目前十六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉角的限制:在固定鉸支座和輥軸支座處,約束條件為撓度等于零:w=0;

連續(xù)條件是指,梁在彈性范圍內(nèi)加載,其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線,因此,在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處,兩側的撓度、轉角對應相等:w1=w2,θ1=θ2等等。

在固定端處,約束條件為撓度和轉角都等于零:w=0,θ=0。目前十七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點PABCPD支點位移條件:連續(xù)條件:光滑條件:C小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定目前十八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件平面彎曲??蓱糜谇蠼獬惺芨鞣N載荷的等截面或變截面梁的位移。積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件(邊界條件、連續(xù)條件)確定。優(yōu)點:使用范圍廣,直接求出較精確;缺點:計算較繁。小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定目前十九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題求:梁的彎曲撓度與轉角方程,以及最大撓度和最大轉角。

已知:左端固定右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

,梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。目前二十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:1.建立Oxw坐標系建立Oxw坐標系如圖所示。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷,所以在梁的全長上,彎矩可以用一個函數(shù)描述,即無需分段。

2.建立梁的彎矩方程Oxw例題目前二十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點從坐標為x的任意截面處截開,因為固定端有兩個約束力,考慮截面左側平衡時,建立的彎矩方程比較復雜,所以考慮右側部分的平衡,得到彎矩方程:

解:2.建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)3.

建立微分方程并積分將上述彎矩方程代入小撓度微分方程,得

例題目前二十二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點積分后,得到

3.

建立微分方程并積分例題目前二十三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:4.

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為:

例題目前二十四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:5.

確定撓度與轉角方程解:6.

確定最大撓度與最大轉角從撓度曲線可以看出,懸臂梁在自由端處,撓度和轉角均最大值。于是,將x=l,分別代入撓度方程與轉角方程,得到:

例題目前二十五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點求:加力點B的撓度和支承A、C處的轉角。已知:簡支梁受力如圖示。FP、EI、l均為已知。例題目前二十六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:1.

確定梁約束力2.

分段建立梁的彎矩方程AB段

BC段

于是,AB和BC兩段的彎矩方程分別為

例題目前二十七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:3.

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分積分后,得

其中,C1、D1、C2、D2為積分常數(shù),由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。例題目前二十八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:4.

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)在支座A、C兩處撓度應為零,即x=0,w1=0;x=l,w2=0因為,梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線,所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉角必須分別相等:

x=l/4,w1=w2;x=l/4,1=2例題目前二十九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:4.

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x=0,w1=0;x=l,w2=0x=l/4,w1=w2;x=l/4,1=2D1=D2=0例題目前三十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:5.

確定轉角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉角將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉角和撓度方程為:

AB段

BC段

據(jù)此,可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉角分別為

例題目前三十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉角方程以及指定截面的撓度與轉角積分法小結分段寫出彎矩方程目前三十二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點疊加法確定梁的撓度與轉角在很多的工程計算手冊中,已將各種支承條件下的靜定梁,在各種典型載荷作用下的撓度和轉角表達式一一列出,簡稱為撓度表。基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結果這兩個重要概念,以及在小變形條件下的力的獨立作用原理,采用疊加法(superpositionmethod)由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。目前三十三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點疊加法應用于多個載荷作用的情形當梁上受有幾種不同的載荷作用時,都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形,由撓度表查得這些情形下的撓度和轉角,再將所得結果疊加后,便得到幾種載荷同時作用的結果。目前三十四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點已知:簡支梁受力如圖示,q、l、EI均為已知。求:C截面的撓度wC;B截面的轉角B疊加法應用于多個載荷作用的情形例題目前三十五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題解:1.將梁上的載荷變?yōu)?種簡單的情形。目前三十六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:2.由撓度表查得3種情形下C截面的撓度;B截面的轉角。例題目前三十七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題解:3.應用疊加法,將簡單載荷作用時的結果分別疊加將上述結果按代數(shù)值相加,分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉角:

目前三十八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形對于間斷性分布載荷作用的情形,根據(jù)受力與約束等效的要求,可以將間斷性分布載荷,變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷,然后在原來沒有分布載荷的梁段上,加上集度相同但方向相反的分布載荷,最后應用疊加法。目前三十九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題已知:懸臂梁受力如圖示,q、l、EI均為已知。求:C截面的撓度和轉角wC和C目前四十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:1.首先,將梁上的載荷變成有表可查的情形

為利用撓度表中關于梁全長承受均布載荷的計算結果,計算自由端C處的撓度和轉角,先將均布載荷延長至梁的全長,為了不改變原來載荷作用的效果,在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

例題目前四十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點兩種情形下自由端的撓度和轉角分別為

解:2.再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形,計算各個簡單載荷引起撓度和轉角。

例題目前四十二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:3.將簡單載荷作用的結果疊加

例題目前四十三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點結構形式疊加(逐段剛化法)=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf目前四十四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB下圖為一空心圓桿,內(nèi)外徑分別為:d=40mm、D=80mm,桿的E=210GPa,求C點的轉角與撓度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例題目前四十五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點P2BCa=++圖1圖2圖3解:1結構變換,查表求簡單

載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf例題目前四十六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點P2BCa=++圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復雜載荷下的變形例題目前四十七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點計算結果例題目前四十八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點剛度計算的工程意義對于主要承受彎曲的梁和軸,撓度和轉角過大會影響構件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合,或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲;機床主軸的撓度過大會影響加工精度;由軸承支承的軸在支承處的轉角如果過大會增加軸承的磨損等等。

目前四十九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點梁的剛度條件對于主要承受彎曲的零件和構件,剛度設計就是根據(jù)對零件和構件的不同工藝要求,將最大撓度和轉角(或者指定截面處的撓度和轉角)限制在一定范圍內(nèi),即滿足彎曲剛度條件:上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉角,均根據(jù)對于不同零件或構件的工藝要求而確定。目前五十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點已知:鋼制圓軸,左端受力為FP,F(xiàn)P=20kN,a=lm,l=2m,E=206GPa,其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉角θ=0.5°。試:根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。B例題目前五十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題解:根據(jù)要求,所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度,以保證軸承B處的轉角不超過許用數(shù)值。為此,需按下列步驟計算。

B1.查表確定B處的轉角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為目前五十二頁\總數(shù)七十二頁\編于二點例題2.根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑根據(jù)設計要求,

其中,的單位為rad(弧度),而θ的單位為(°)(度),考慮到單位的一致性,將有關數(shù)據(jù)代入后,得到軸的直徑

目前五十三頁\總數(shù)七十二頁\編于二點簡單的靜不定梁多余約束與靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)——未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結構——未知力(內(nèi)力或外力)個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結構——未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結構靜定多余的約束目前五十四頁\總數(shù)七十二頁\編于二點求解靜不定問題的基本方法根據(jù)以上分析,求解靜不定問題.除了平衡方程外,還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的限制,建立各部分位移或變形之間的幾何關系,即建立幾何方程,稱為變形協(xié)調方程(compatibilityequation),并建立力與位移或變形之間的物理關系,即物理方程或稱本構方程(constitutiveequations)。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程。

可見,求解靜不定問題,需要綜合考察結構的平衡、變形協(xié)調與物理等三方面,這就是求解靜不定問題的基本方法。這與第8章中分析正應力的方法是相似的。目前五十五頁\總數(shù)七十二頁\編于二點3-3=04-3=1MA

ABFAyFAx

ABMAFAyFAxFB多余約束與靜不定次數(shù)目前五十六頁\總數(shù)七十二頁\編于二點5-3=26-3=3FBxMBBl

AMAFAyFAxFByBl

AMAFAyFAxFBxFBy多余約束與靜不定次數(shù)目前五十七頁\總數(shù)七十二頁\編于二點應用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條件下,梁的軸向位移忽略不計,靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0,在沒有軸向載荷作用的情形下,固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力,即FAx=FBx=0。因此,求解這種靜不定問題只需1個補充方程??梢詫懗鲎冃螀f(xié)調方程為FBxBl

AMAFAyFAxFBy目前五十八頁\總數(shù)七十二頁\編于二點應用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB對于兩端固定的梁,同樣有FBx=0,但這時的多余約束力除FBy外,又增加了MB。于是需要兩個補充方程。但是,利用對稱性分析,這種梁不僅結構和約束都對稱,而且外加載荷也是對稱的,即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定:MBBl

AMAFAyFAxFBxFBy與未知力偶MB對應的約束是對截面B轉角的限制,故這種情形下的變形協(xié)調方程為

目前五十九頁\總數(shù)七十二頁\編于二點求:梁的約束力已知:A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI、

長度為lFBxBl

AMAFAyFAxFBy例題解:1、平衡方程:FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0目前六十頁\總數(shù)七十二頁\編于二點2、變形協(xié)調方程:

wB=wB(q)+wB(FBy)=03、物性關系:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)Bl

AMAFAyFAxlB

AMAFAyFAxFB例題目前六十一頁\總數(shù)七十二頁\編于二點解:4、綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(F

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