振動力學(xué)梁的橫向振動演示文稿

振動力學(xué)梁的橫向振動演示文稿目前一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（優(yōu)選）振動力學(xué)梁的橫向振動.目前二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)梁的橫向振動

僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。目前三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)1、運(yùn)動微分方程

在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時(shí)的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向。目前四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)

取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。

則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動方程為：目前五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程目前六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)邊界條件

和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。

梁的每一端必須給出兩個(gè)邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即目前七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出。目前八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)2、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均勻梁，振動方程為其中目前九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為目前十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)則有其中（稱為特征方程）目前十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)方程的通解為

由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個(gè)邊界條件只能確定四個(gè)積分常數(shù)之間的比值。目前十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【例1】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0。目前十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)得到以及則則以及頻率方程由此解得目前十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)所以固有頻率振型為

第i階振型有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即目前十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即目前十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率目前十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)振型為目前十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的

均勻梁彎曲振動的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0目前十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0目前二十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力目前二十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)代入特征方程的解以及目前二十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為目前二十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)將邊界條件代入得到求得目前二十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)討論：（1）k＝0時(shí)，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無窮大時(shí)，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭?，右端簡支的情況。目前二十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【思考題】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：目前二十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)關(guān)于振型函數(shù)的正交性

和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足目前二十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)

考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：目前二十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)用Fj左乘上式兩端，并積分目前二十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)上兩式相減得則i＝j(luò)時(shí)目前三十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)

和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）

對振型函數(shù)按下式條件正則化目前三十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)2.對初始激勵(lì)的響應(yīng)

設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開目前三十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)目前三十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)目前三十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。目前三十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci目前三十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)求得所以（3）初始條件。按題意目前三十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)變換到主坐標(biāo)下目前三十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)3.對外激勵(lì)的響應(yīng)（1）分布干擾力

設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵(lì)受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得目前三十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（4）響應(yīng)總響應(yīng)為目前四十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（2）集中力

設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時(shí)可以用函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為目前四十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）

設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時(shí)有總響應(yīng)為目前四十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)強(qiáng)迫振動的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標(biāo)下的響應(yīng);（4）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。目前四十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長為l的簡支梁在x＝a處受集中力Fsint作用,求響應(yīng)。求得目前四十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)（3）響應(yīng)目前四十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十一點(diǎn)【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運(yùn)動的荷重P的作用。假設(shè)在初始