素材matlab從入門到精通配套第8章

第8章

數(shù)值運(yùn)算本章主要介紹MATLAB在科學(xué)計(jì)算與應(yīng)用方面的有關(guān)內(nèi)容。掌握多項(xiàng)式與插值、擬合的操作。掌握數(shù)值微積分的計(jì)算。掌握線性方程組的求解方法。掌握非線性方程組的求解方法。掌握微分方程的求解方法。掌握概率統(tǒng)計(jì)的方法。

數(shù)值運(yùn)算概述在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，存在著大量的科學(xué)計(jì)算問題。許多科學(xué)計(jì)算問題，用其它程序語言求解往往比較麻煩，并且需要具有專門的數(shù)學(xué)知識(shí)和一定的編程技能。MATLAB語言不但具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算能力，而且編程效率高、使用方便，使其成為科學(xué)計(jì)算與應(yīng)用方面的重要工具。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算8.1.1多項(xiàng)式的表示 MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，向量中的元素為該多項(xiàng)式的系數(shù)，按照降序排列。

多項(xiàng)式p（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an用以下系數(shù)向量表示：P=[a0a1…an-1an]。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算8.1.2多項(xiàng)式的運(yùn)算roots函數(shù)求多項(xiàng)式的根，即多項(xiàng)式為零的值。root函數(shù)的語法為：r=roots(p)1.poly函數(shù)用于求矩陣的特征多項(xiàng)式或構(gòu)造以指定向量為根的多項(xiàng)式。poly函數(shù)的語法為： p=poly(A) p=poly(r)

2.polyval函數(shù)用于求解多項(xiàng)式在某一點(diǎn)的值。polyval函數(shù)的語法為：y=polyval(p,x)

3.polyvalm函數(shù)用于求多項(xiàng)式在矩陣意義上的值。polyvalm函數(shù)的語法為：Y=polyvalm(p,X)其中p為多項(xiàng)式系數(shù)向量，X為方陣。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算3.多項(xiàng)式的四則運(yùn)算多項(xiàng)式的乘法和除法對(duì)應(yīng)于向量的卷積和解卷積。函數(shù)conv和deconv用于完成向量的卷積和解卷積，conv函數(shù)和deconv函數(shù)的語法為：w=conv(u,v)[q,r]=deconv(v,u)其中q為多項(xiàng)式u除v的商，r為余項(xiàng)。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算4.多項(xiàng)式的求導(dǎo)函數(shù)polyder用于計(jì)算單個(gè)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)、兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的導(dǎo)數(shù)和兩個(gè)多項(xiàng)式的商的導(dǎo)數(shù)，polyder函數(shù)的語法為：k=polyder(p)，用于計(jì)算多項(xiàng)式p的導(dǎo)數(shù)。k=polyder(a,b)，用于計(jì)算多項(xiàng)式a、b乘積的導(dǎo)數(shù)。[q,d]=polyder(b,a)，用于計(jì)算機(jī)多項(xiàng)式a、b商的導(dǎo)數(shù)，并以q/d表示。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算5.多項(xiàng)式部分分式展開residue函數(shù)的語法為：[r,p,k]=residue(b,a)，求多項(xiàng)式之比b(x)/a(x)的部分分式展開，其中r是部分分式的留數(shù)，p是部分分式的極點(diǎn)，k是直接項(xiàng)。[b,a]=residue(r,p,k)，從部分分式得到多項(xiàng)式向量。8.1多項(xiàng)式計(jì)算8.1.3函數(shù)插值一維插值問題的數(shù)學(xué)描述為：已知某一函數(shù)g(x)(g(x)的解析表達(dá)式可能十分復(fù)雜，也可以是未知的)在區(qū)間[a，b]上n個(gè)互異點(diǎn)xj處的函數(shù)值yj，j=0，1，…，n，還知道g(x)在[a，b]上有若干階導(dǎo)數(shù)，如何求出g(x)在[a，b]上任一點(diǎn)x的近似值。y=interp1(x0，y0，x，'method')其中method指定插值的方法，默認(rèn)為線性插值。其值可為：'nearest'最近項(xiàng)插值、'linear'線性插值、'spline'立方樣條插值，'cubic'立方插值.所有的插值方法要求x0是單調(diào)的。當(dāng)x0為等距時(shí)可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算二維插值問題的數(shù)學(xué)描述為：已知二元函數(shù)g(x，y)在某矩形區(qū)域R[a，b][c，d]上互異節(jié)點(diǎn)(xi，yj)的函數(shù)值z(mì)ij

，如何求出在R上任一點(diǎn)(x，y)處的函數(shù)值g(x，y)的近似值。z=interp2(x0，y0，z0，x，y，'method')其中x0，y0分別為m維和n維向量，表示節(jié)點(diǎn)，z0為nm維矩陣，表示節(jié)點(diǎn)值，x，y為一維數(shù)組，表示插值點(diǎn)，x與y應(yīng)是方向不同的向量，即一個(gè)是行向量，另一個(gè)是列向量，z為矩陣，表示得到的插值，'method'的用法同上面的一維插值。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算8.1.4函數(shù)擬合函數(shù)擬合問題的數(shù)學(xué)描述是，已知一組(二維)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，

，n(即平面上的n個(gè)點(diǎn)(xi，yi)，i=1，2，

，n)，xi互不相同。尋求一個(gè)函數(shù)(即曲線)y=f(x)，使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

8.1多項(xiàng)式計(jì)算polyfit函數(shù)的語法為：p=polyfit(x,y,n)，采用n次多項(xiàng)式p來擬合數(shù)據(jù)x和y，從而使p(x)與y最小均方差最小。其中輸入?yún)?shù)x，y為要擬合的數(shù)據(jù)，n為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)p為擬合多項(xiàng)式：y=pmxm+…+p1x+p0；系數(shù)p=[pm，…，p1，p0]。多項(xiàng)式在x處的值y可用函數(shù)polyval計(jì)算。

8.2極限運(yùn)算極限運(yùn)算使用limit函數(shù)計(jì)算其格式如下：limit(F,x,a)計(jì)算符號(hào)表達(dá)式F在x→a條件下的極限；limit(F,a)計(jì)算符號(hào)表達(dá)式F中由默認(rèn)自變量趨向于a條件下的極限；limit(F)計(jì)算符號(hào)表達(dá)式F在默認(rèn)自變量趨向于0條件下的極限；limit(F,x,a,‘right’)和limit(F,x,a,’left’)計(jì)算符號(hào)表達(dá)式F在x→a條件下的右極限和左極限。

8.3線性方程組的求解8.3.1利用左除運(yùn)算求解線性方程組

1.2.3.8.3線性方程組的求解【例8-12】用Cholesky分解求解例6-14的線性方程組。>>A=[3，1，-4，1;1，-3，0，2;0，2，1，-1;1，6，-1，-3];>>b=[12，-6，4，0]';>>R=chol(A)???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite程序執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息提示，說明A為非正定矩陣。

8.4非線性方程組求解8.4.1單變量非線性方程的求解fzero函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為：z=fzero('fname'，x0，tol，trace)其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點(diǎn).一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對(duì)精度，缺省時(shí)取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取trace=0。

8.4非線性方程組求解8.4.2非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為：X=fsolve('fun'，X0，option)其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。例如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中'off''為不顯示，'iter'表示每步都顯示，'final'只顯示最終結(jié)果.optimset('Display'，'off')將設(shè)定Display選項(xiàng)為'off'。

8.5數(shù)值積分與微分8.5.1數(shù)值微分1.數(shù)值分離與差商稱△f(x)、▽f(x)及δf(x)分別為函數(shù)在x點(diǎn)處以h(h>0)為步長的向前差分、向后差分和中心差分。h和差分一樣，稱△f(x)/h、▽f(x)/h及δf(x)/h分別為函數(shù)在x點(diǎn)處以h(h>0)為步長的向前差商、向后差商和中心差商。當(dāng)步長h(h>0)充分小時(shí)，函數(shù)f在點(diǎn)x的微分接近于函數(shù)在該點(diǎn)的任意種差分，而f在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)接近于函數(shù)在該點(diǎn)的任意種差商。

8.5數(shù)值積分與微分2.數(shù)值微分的實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：DX=diff(X)計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X，2)=diff(diff(X))。DX=diff(A，n，dim)計(jì)算矩陣A的n階差分。dim=1(默認(rèn)狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。

8.5數(shù)值積分與微分8.5.2數(shù)值積分1.數(shù)值積分的基本原理2.數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)（1）被積函數(shù)是一個(gè)解析式MATLAB提供了quad函數(shù)和quadl函數(shù)來求定積分。它們的調(diào)用格式為：quad(filename，a，b，tol，trace)quadl(filename，a，b，tol，trace)其中filename是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，默認(rèn)時(shí)取tol=10-6。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，默認(rèn)時(shí)取trace=0。

8.5數(shù)值積分與微分（2）被積函數(shù)由一個(gè)表格定義在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用中，函數(shù)關(guān)系往往是不知道的，只有實(shí)驗(yàn)測(cè)定的一組樣本點(diǎn)和樣本值，這時(shí)，就無法使用quad函數(shù)計(jì)算其定積分。在MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X、Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。X、Y是兩個(gè)等長的向量：X=(x1,x2……,xn).Y=(y1,y2,…yn)，并且x1＜x2＜…＜xn，積分區(qū)間是[x1，xn]。

8.5數(shù)值積分與微分（3）二重積分?jǐn)?shù)值求解使用MATLAB提供的dplquad函數(shù)就可以直接求出上述二重積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dplquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)為f(x,y)在[a，b]×[c，d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。注意：本函數(shù)不允許返回被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，如果需要，可以在被積函數(shù)中設(shè)置一個(gè)記數(shù)變量，從而統(tǒng)計(jì)出被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。8.6綜合應(yīng)用

求非齊次線性方程組的通解：非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解。

因此，步驟為：

第一步：判斷AX=b是否有解，若有解則進(jìn)行第二步。

第二步：求AX=b的一個(gè)特解。

第三步：求AX=0的通解。

第四步：AX=b的通解等于AX=0的通解加AX=b的一個(gè)特解。疑難解答

在方程組求解過程中，使用了大量的矩陣運(yùn)算。一種是矩陣的分解，分解主要有：Cholesky分解；LU分解；QR分解；Schur分解；特征值分解；奇異值分解。一種是矩陣的讀取。

1、文件的打開與關(guān)閉