二重積分概念

二重積分概念第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

第十章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、引例二、二重積分的定義三、二重積分的性質(zhì)第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五特例：平頂柱體的體積特點(diǎn)：平頂.柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：曲頂.柱體體積=？第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解法:

無限分割的思想曲頂柱體的體積

“分割，近似，求和，取極限”第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五①分割：③求和：④取極限:以它們?yōu)榈紫鄳?yīng)地曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體在代表區(qū)域

中任取一點(diǎn)②近似：用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五有一個(gè)平面薄片,在xOy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“分割，近似，求和，取極限”解決.1)分割用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊.2.平面薄片的質(zhì)量第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五2)近似中任取一點(diǎn)3)求和4)取極限則第

i小塊的質(zhì)量在令第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割，近似，求和，取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二、二重積分的定義①分割：③求和：④

取極限:則稱此極限值為定義：設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)作乘積任?、诮疲河萌我馇€網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域如果極限值存在，在區(qū)域D

上的二重積分，記為個(gè)小區(qū)域，也表示該區(qū)域的面積，表示第第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五即積分區(qū)域被積函數(shù)被積表達(dá)式面積元素積分和第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五若函數(shù)定理在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則二重積分存在定理:第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(diǎn)(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五復(fù)習(xí)第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五xabA(x)x+dxxV平行截面面積是已知的立體的體積的求法第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五xyy=f(x)abx111111111of(x)V第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<