高中數(shù)學1-1學案：第二章 §2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì) 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精[學習目標］1。了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義.2.能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題。知識點一圓錐曲線的統(tǒng)一方程在平面直角坐標系中，有定點F（c，0）,定直線l：x＝eq\f（a2,c)(a>0，c〉0），圓錐曲線上任意一點P(x，y），定義點P到點F的距離為PF，點P到直線l的距離為d，則稱eq\f（PF,d）＝e(e為離心率，且e＝eq\f(c，a)）為圓錐曲線的統(tǒng)一方程.0〈e〈1時，它表示橢圓；e〉1時，它表示雙曲線；e＝1時，它表示拋物線.知識點二圓錐曲線的共同性質(zhì)對于橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0）和雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0)中，與F（c,0）對應的準線方程是l:x＝eq\f（a2,c），與F′(－c，0)對應的準線方程是l′:x＝－eq\f(a2,c)；如果焦點在y軸上，則兩條準線方程為y＝±eq\f(a2，c)。題型一統(tǒng)一定義的簡單應用例1橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f（y2，9）＝1上有一點P，它到左準線的距離等于2.5，那么，P到右焦點的距離為________.答案8解析如圖所示,PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f（c,a）＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,2。5)＝e＝eq\f(4，5），∴PF1＝2,∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.反思與感悟橢圓的兩個定義從不同角度反映了橢圓的特征，解題時要靈活運用.一般地，如果遇到有動點到兩定點距離和的問題,應自然聯(lián)想到橢圓的第一定義；如果遇到有動點到一定點及一定直線距離的問題,應自然聯(lián)想到橢圓的第二定義;若兩者都涉及，則要綜合運用兩個定義才行.跟蹤訓練1若雙曲線eq\f(y2,64)－eq\f(x2，36)＝1上一點P到雙曲線上焦點的距離是8,那么點P到上準線的距離是________.答案eq\f（32，5）解析由eq\f(8,d）＝eq\f（10，8)，得d＝eq\f(32,5）.題型二應用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化求最值例2已知橢圓eq\f（x2,8)＋eq\f（y2，6)＝1內(nèi)有一點P（1,－1），F(xiàn)是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點M，使MP＋2MF之值為最小.解設d為M到右準線的距離。∵e＝eq\f(c,a）＝eq\f（1，2），eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f（MF,\f（1,2)）＝d，即d＝2MF（如圖)，故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.顯然，當P、M、M′三點共線時，所求的值為最小，從而求得點M的坐標為（eq\f(2，3)eq\r(15)，－1)。反思與感悟本例中，利用橢圓的第二定義，將橢圓上點M到焦點F的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，再利用圖形的形象直觀，使問題得到簡捷的解決.一般地，像本例這樣的問題，若“MF”含有系數(shù)，則應考慮用第二定義求解;若不含有系數(shù)，則應考慮用第一定義求解。跟蹤訓練2已知點A（3,2）,F(2，0），在雙曲線x2－eq\f（y2,3)＝1上是否存在一點P，使PA＋eq\f(1,2)PF的值最?。拷狻遖＝1，b＝eq\r（3）,∴c＝2，e＝2.∴F即為焦點。設點P到與焦點F(2，0）相應的準線的距離為d，則eq\f(PF,d)＝2，∴eq\f（1,2）PF＝d,∴PA＋eq\f(1,2）PF＝PA＋d，此時問題就轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求點P,使點P到定點A的距離與到準線的距離的和最小,即直線PA垂直于準線時符合題意,∴點P的坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（21），3）,2)）.題型三圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應用例3已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，\f(9，25）a2）＝1上的點，F(xiàn)2是右焦點，且AF2＋BF2＝eq\f(8，5）a，AB的中點N到左準線的距離等于eq\f（3,2)，求此橢圓方程.解設F1為左焦點，連結(jié)AF1，BF1，則根據(jù)橢圓定義有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－（AF2＋BF2）＝4a－eq\f（8，5）a＝eq\f(12,5)a.再設A、B、N三點到左準線距離分別為d1，d2，d3，由梯形中位線定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f（9，25)a2，∴c2＝eq\f(16，25)a2,∴離心率e＝eq\f(4，5），由第二定義AF1＝ed1,BF1＝ed2,∴AF1＋BF1＝eq\f（12，5）a＝e（d1＋d2)＝eq\f(12，5），∴a＝1，∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2，\f（9，25))＝1。反思與感悟問題涉及曲線上的點到焦點的距離時,應考慮用曲線的第一定義.若問題涉及曲線上的點到焦點和對應準線的距離時，應考慮第二定義。本例綜合運用了第一定義和第二定義，充分體現(xiàn)了定義在解題時的作用。跟蹤訓練3設P（x0，y0)是橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0）上任意一點，F(xiàn)1為其左焦點。（1）求PF1的最小值和最大值;(2)在橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f(y2，5）＝1上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直.解(1）對應于F1的準線方程為x＝－eq\f(a2，c),根據(jù)橢圓的第二定義：eq\f（PF1，x0＋\f（a2,c）)＝e,∴PF1＝a＋ex0。又－a≤x0≤a，∴當x0＝－a時,（PF1）min＝a＋eq\f(c，a)×（－a)＝a－c；當x0＝a時,（PF1)max＝a＋eq\f（c,a）·a＝a＋c。（2）∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20,e2＝eq\f（4，5)?！逷Feq\o\al（2,1)＋PFeq\o\al(2，2)＝F1Feq\o\al（2，2)，∴（a＋ex0)2＋（a－ex0）2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al（2,0)＝40.∴x0＝±eq\f（5\r（3），2）.代入橢圓方程得P點的坐標為(eq\f(5\r(3),2),eq\f(\r（5）,2）)，(eq\f(5\r(3）,2），－eq\f(\r（5)，2)）,（－eq\f(5\r(3）,2），eq\f（\r(5)，2））,(－eq\f(5\r(3),2）,－eq\f（\r（5）,2））。1.若雙曲線eq\f(x2，13)－eq\f（y2,12)＝1上一點P到右焦點的距離等于eq\r（13）,則點P到右準線的距離為________。答案eq\f（13，5）解析a＝eq\r（13），b＝2eq\r（3)，c2＝25，c＝5?！鄀＝eq\f(5,\r（13))，P到右焦點的距離為eq\r(13），則它到右準線的距離d＝eq\f（\r(13），5)×eq\r（13）＝eq\f（13，5）.2.已知橢圓方程為eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,12)＝1，右焦點為F，A(2，1)為其內(nèi)部一點,P為橢圓上一動點，使PA＋2PF最小，則P點坐標為__________.答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2\r（33），3),1））解析由題意得a＝4,b＝2eq\r(3)，∴c＝2，e＝eq\f（c,a)＝eq\f（1，2），由統(tǒng)一定義知2PF即為P到右準線的距離,因此，要使PA＋2PF最小，P點除了應在y軸的右側(cè)外,還要使AP垂直于準線，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1，,\f（x2,16)＋\f(y2，12)＝1）)解得P點坐標為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2\r（33)，3),1)).3。已知F1、F2是橢圓的兩個焦點.滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→）)＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________.答案（0,eq\f（\r(2），2）)解析∵eq\o（MF1，\s\up6(→））·eq\o(MF2，\s\up6(→））＝0，∴M點軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點在圓x2＋y2＝c2外部，設點P為橢圓上任意一點，則OP>c恒成立,由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長，∴b>c,∴c2〈b2＝a2－c2,∴a2>2c2，∴（eq\f(c，a)）2<eq\f（1，2),∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r（2），2）.又∵0<e<1，∴0<e<eq\f（\r（2),2）。1。當題目中出現(xiàn)圓錐曲線上的點與焦點的距離即焦半徑,焦點弦長有關(guān)問題時，常利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義（即第二定義)，轉(zhuǎn)化為點到準線的距離來研究。2.一