基本不等式同課異構(gòu)

基本不等式臨湘一中高二數(shù)學(xué)組歡迎各位專家光臨指導(dǎo)2018.10.16一、新課引入

上圖是北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,你能在這個(gè)圖中找出正方形面積與三角形面積和的大小關(guān)系嗎?ADBCEFGHaba2+b2

>

2ab（a>0,b>0)1.能否將上式中的“＞”號(hào)，換成“≥”號(hào)呢？能，即a=b時(shí)，有a2+b2

＝

2ab２.能否將式中條件a>0,b>0改為a∈R,b∈R呢？能☆重要不等式：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們有a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。結(jié)論：

當(dāng)a>0,b>0時(shí)如果用去替換a、b,能得到什么結(jié)論?那么a2+b2≥2ab那么

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）若a∈R,b∈R若a>0b>0換元法ab+≥2二、探討新課（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）能否利用前面所學(xué)不等式的性質(zhì)來推導(dǎo)出上述不等式呢？

分析法幾何解釋：半徑不小于半弦，即算術(shù)平均數(shù)（和的形式）幾何平均數(shù)（積的形式）

該不等式﹡表示兩正數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)，我們稱它為基本不等式．1.該不等式成立的條件？a>0,b>02.不等式中等號(hào)成立的條件？a=b時(shí)練習(xí)1：１.設(shè)０＜a<b,a+b=1,則,2ab,a2+b2中最大的是（）

A.B.a2+b2C.2abD.不確定2.若a>b>1,P=,Q=,R=則（）

A.P=QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q3.若a,b,c,d,x,y是正實(shí)數(shù),且P=

Q=則()BBA.P=QB.P≥QC.P≤QD.P<QC小結(jié)1、注意定理的結(jié)構(gòu)特征2、定理有多種表現(xiàn)形式整式形式：a2+b2≥2ab(a,b∈R)

根式形式:分式形式:倒數(shù)形式:例１（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2矩形菜園，

問這個(gè)矩形的長和寬各為多少時(shí)，所

用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜

園，問這個(gè)矩形的長和寬各為多少時(shí)，菜園面積最大．最大面積是多少？解：（1）設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m,由三、實(shí)際應(yīng)用可得：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10

因此這個(gè)矩形的長和寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m(2)設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜園的面積為xym2由可得xy≤81等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=9

因此，這個(gè)矩形的長和寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大為81m2小結(jié)1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí),它們的積有最大值,即2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí),它們的和有最小值,即應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：一正,二定,三相等練習(xí)2：

1.若0<x<2,求f(x)=x(3-x)的最大值

２.若0<x<2,求f(x)=x(3-2x)的最大值７(x=5)９(x=1)（１