位移和應變分析演示文稿

位移和應變分析演示文稿目前一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點優(yōu)選位移和應變分析ppt目前二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-1位移分量和應變分量以及其間的關系一.位移分量物體受力后各點要發(fā)生位移，位移一般分為兩部分，一部分是與物體變形相應的位移，稱為相對位移；另一部分是與物體變形無關的位移，稱為剛性位移。目前三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點物體變形前，點M（x,y,z）變形后,該點由原來位置移至新的位置M’(x’,y’z’)稱為點M的位移在x,y,z三軸上的投影u,v,w稱為該點的位移分量符號規(guī)定：u,v,w與坐標軸正方向一致為正，相反為負?？紤]外力作用下的兩種狀態(tài)：平衡狀態(tài)：M點只隨位置變化，不隨時間變化；位移分量（u,v,w）只隨位置變化，不隨時間變化。運動狀態(tài)：M點不僅隨位置變化，而且隨時間變化；位移分量（u,v,w）隨位置和時間變化而變化。目前四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點本章僅考慮平衡狀態(tài)。

根據(jù)連續(xù)性假設，物體上任一點M，當物體變形后，都一一對應于相應的點M’；位移分量是點坐標的單值連續(xù)函數(shù)。即：

由于運算的需要，假定位移分量具有連續(xù)到三階的偏導數(shù)。目前五頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點二.應變分量

分析物體內一點的應變狀態(tài)，在物體內任一點取出一個平行于三個坐標平面的微分平行六面體（單元體）。設其三個棱邊的長度分別為dx,dy,dz。

由小變形假設，此單元體各投影面的變形情況與此微分體的變形情況的差別是微小的；因此，對于此微體，只要研究它在各個坐標面上投影的變形就可以了。目前六頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

考察物體內任意一微小線段長度的相對改變正（線）應變方向的相對改變剪（角）應變變形包括：1.各棱邊長度的變化（伸長或縮短）用正應變表示2.棱邊夾角的變化，用剪應變表示。目前七頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點沿坐標軸x,y,z方向的正應變分量為：剪應變分量為微分各面間所夾直角的改變量。（用弧度表示）注意：即過物體內某點所引沿x及y方向的線元間夾角的改變量。目前八頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點當微分平行六面體各棱邊無限縮小而趨于M點時某點的應變狀態(tài)可以由六個應變分量來表示。目前九頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點三.應變分量和位移分量間的關系

將微分平行六面體的應變分量用該微體變形后在坐標平面上的投影來表明。

以在oxy平面上的投影為例，研究應變分量與位移分量的關系：P點在x，y軸的位移分量為：A，B兩點相應的位移分量分別是：

按多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，略去二階以上的無窮小量，則A點和B點的位移分量分別為目前十頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點一點的變形線段的伸長或縮短；線段間的相對轉動；考察P點鄰域內線段的變形：xyOPAdxBdyuv變形前變形后ABuPv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。目前十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點xyOPAdxBdyuvPA的正應變：PB的正應變：P點的剪應變：P點兩直角線段夾角的變化目前十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點整理得：——幾何方程說明：（1）反映任一點的位移與該點應變間的關系，是彈性力學的基本方程之一。（2）當u、v

已知，則可完全確定；反之，已知，不能確定u、v。（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）——以兩線段夾角減小為正，增大為負。xyOPAdxBdyuv目前十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

利用微體在另外兩個坐標面上的投影，可以求得其他應變分量和位移分量之間的關系：此式稱為幾何方程，又稱柯西（Cauchy）方程如果已知位移分量，由幾何方程求偏導數(shù)可以得到應變分量如果已知應變分量，求位移分量比較復雜，積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定目前十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點應變分量的符號規(guī)定：正應變：正號的正應變表示沿該方向伸長，負號的正應變表示沿該方向縮短；剪應變：正號表示沿兩個坐標軸正向的兩條直線間的角度減小，負號表示沿兩個坐標軸正向的兩條直線間的角度增大。目前十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-2物體內一點的應變狀態(tài)問題：1、求過此點任意方向微分線段的正應變；2、求過該點任意兩個方向微分線段間夾角的改變量。（注意剪應變的定義）一、求過A點沿N方向的任一微分線段AB的正應變該微分線段在直角坐標軸上的投影為：目前十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點設A點的位移分量為u，v，w，則B點的位移為：AB’BA’L，m，nL’，m’，n’drdr’目前十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

物體變形后，微分線段AB變?yōu)锳’B’，則A’B’在坐標軸上的投影為：設線段AB的正應變?yōu)槟壳笆隧揬總數(shù)六十二頁\編于十七點目前十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點目前二十頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點利用矩陣表示為：目前二十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點稱為應變張量目前二十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點二、求過A點的兩條任意方向微分線段間夾角的改變量Adr1C’B’CBA’dr2’dr2dr1’CCAB的方向余弦為AC的方向余弦為目前二十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點變形前夾角變形后夾角目前二十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點目前二十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點A’B’的方向余弦為A’C’的方向余弦為目前二十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點利用矩陣表示為：目前二十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點變形后夾角目前二十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點夾角改變量為目前二十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點目前三十頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-3主應變和主方向

過物體內一點不同方向上的正應變以及同一點兩垂直方向的剪應變是不同的。問題：過該點是否存在這樣三個互相垂直的方向，使沿這三個方向的微分線段，在物體變形后只是各自改變了長度，而夾角仍保持為直角。

我們可以證明存在此單元體；我們把具有性質的方向稱為該點應變的主方向，或應變主軸，此方向的正應變稱為主應變。目前三十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

設AB表示物體內一點沿A沿其主方向的微分線段，其方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳’B’,方向余弦為l’,m’,n’

ε表示線段AB的正應變，即主應變。目前三十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點將式子變形可得：目前三十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

線段AB的方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳’B’,方向余弦為l’,m’,n’；一般來說，它們是不相等的。但是它們的偏離是由于單元體的剛性轉動所引起的。故（l,m,n）與（l,‘m’,n‘）一致目前三十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點此為應變主方向應該滿足的方程，方向余弦還應該滿足

與應力分析相似，采用分析主應力的方法可以得出求主應變的方程為：應變狀態(tài)的特征方程目前三十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點分別稱為第一、第二、第三應變不變量目前三十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

由應變狀態(tài)的特征方程求德的三個根就是A點的三個主應變。

求主應變的方向，即應變主方向，將主應變的結果帶入方程可以求出。當已知主應變時目前三十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-6體積應變體積應變：物體變形后單位體積的變化

用體積的相對變化（體積應變）來反映物體內任一點體積的變化。

物體內任一點M（x，y，z）附近取一個微分六面體，各棱邊長度為dx，dy，dz，其體積為：

變形后，由于在線性應變的情況下，剪應變不會引起微分體各邊長度的改變，而剪應變引起的體積改變?yōu)楦唠A微量，可以略去不記。因此，研究體積改變只考慮正應變所產(chǎn)生的影響。目前三十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點變形前：變形后：目前三十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點目前四十頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點即應變的第一應變不變量。一點的體積應變等于位移場的散度。目前四十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-7無旋變形和等體積變形

位移矢量公式

考慮位移在物體所占空間各點的分布和變化的規(guī)律，引入位移場的概念。

由場的概念定義位移場如果在物體所占空間內的每一點，都對于著大小和方向完全確定的位移，就稱在這個空間里確定了該位移的場，而這空間區(qū)域叫做位移場。用場論的觀點來分析位移：目前四十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點一、無旋變形勢量場

如物體變形時，其中任一微小體積都不作剛性轉動，這樣的變形稱為無旋變形，即：

如果連續(xù)體內的位移場有一個標量位φ，則位移場等于此標量位的梯度。這種位移場稱為勢量場，或無旋場目前四十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點證明：位移場是勢量場的必要充分條件是故證明了，如位移場是勢量場，則位移場的旋度等于零如果位移場的旋度為零，則此位移場是勢量場1、2、目前四十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點二、等體積變形管量場

如物體變形時，其中任一微小體積的大小都不改變，即體積應變?yōu)榱?，這樣的變形稱為等體積變形。在此情況下：

如果連續(xù)體內的位移場有一個矢量位則位移場等于此矢量位的旋度。這種位移場稱為管量場或無源場。目前四十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點位移場是管量場的必要充分條件是證明：1、故證明了，如位移場是管量場，則位移場的散度等于零2、目前四十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點具體的求一組解的方法：對y積分可以得到目前四十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點可以滿足上式。目前四十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點可以得到此方程的一組解；

證明了由位移場的散度為零所決定的矢量位存在，但是解不是唯一的。所以知道：如果位移場的散度為零，則此位移場是管量場。目前四十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點三、位移矢量公式

一般情況下，物體變形時，其中任一微小體積既有體積改變，又作剛性轉動。因此，相應的位移場就是勢量場和管量場的迭加。即位移矢量可以分解為兩個分矢量，第一個分矢量表示無轉動，而是純體積膨脹的位移，就是標量位的梯度。第二個分矢量表示沒有體積膨脹的純轉動的位移，就是矢量位的旋度。此為位移矢量公式目前五十頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-8位移邊界條件解決彈性力學問題，必須考慮邊界條件力的邊界條件：物體表面上給定了面力，位移邊界條件：物體表面給定的是位移。力的邊界條件給出了應力和面力之間的關系。位移邊界條件是指當物體變形時，相應的位移函數(shù)在邊界上應滿足的條件。目前五十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點§3-9應變協(xié)調方程

由連續(xù)性假設，物體在變形前后均是連續(xù)體，因此物體內各單元體與單元體之間的變形必須相互協(xié)調；否則各單元體發(fā)生變形以后，就不能再組成一個連續(xù)體。位移分量：u，v，w應變分量：幾何方程：目前五十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

六個應變分量可以用三個位移分量來表示，各應變分量之間必須存在一定的關系；如果不滿足，則應變就不能與一組連續(xù)的位移相對應，變形將不協(xié)調。

為使變形連續(xù)或者協(xié)調，各應變分量所滿足的關系就是應變協(xié)調方程。應變分量滿足應變協(xié)調方程，是保證物體連續(xù)的一個必要條件。如果物體是單連通的，應變分量滿足應變協(xié)調方程也是物體連續(xù)的充分條件。目前五十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點考慮xy平面內各應變分量之間的關系：將幾何方程：作如下運算：顯然有：——應變協(xié)調方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v

的存在與協(xié)調，才能求得這些位移分量。目前五十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十七點

同理可以求得另外兩平面內應變分量的關系式，綜合起來可以得到以下方程組：例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分