高數(shù)微積分中值定理

關于高數(shù)微積分中值定理1第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2第一節(jié)中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月31.函數(shù)極值的定義第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月4定義:函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月5注：（1）極值的概念是局部性的（2）有的極大值可能比極小值還?。?）取得極值處，曲線的切線是水平的，即極值點處導數(shù)為零。但是注意導數(shù)為零處，即有水平切線處，不一定取得極值，例如圖中的點處第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月62.費馬(fermat)引理且存在證:

設則證畢存在第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月73.

駐點：導數(shù)等于零的點。注：（1）極值點要么是駐點，要么是不可導點（2）駐點不一定是極值點費馬引理的幾何意義：第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月8一、羅爾(Rolle)定理第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月9幾何解釋:例如,第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月10證第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月11注意:

定理條件不全具備,結論不一定成立.例如,第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月12例證(1)(2)驗證定理的假設條件滿足驗證結論正確驗證羅爾定理的正確性.羅爾定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1313例試證方程分析注意到:第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1414證設且

羅爾定理即試證方程第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月15例證:由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月16二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月17幾何解釋:證分析:弦AB方程為第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月18作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系.第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月19拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月20推論證:

在

I

上任取兩點氏中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月21例證自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月22例.

證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有或第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月23三、柯西(Cauchy)中值定理第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月24幾何解釋:分析:要證第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月25證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月26柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月27拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月28例：證：分析:結論可變形為第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月29羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之間的關系:推廣推廣

這三個定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.定理也可能第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月30應用三個中值定理常解決下列問題(1)驗證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運用中值定理(幾次運用).

關鍵逆向思維,找輔助函數(shù)（原函數(shù)）第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月31例分析將結論交叉相乘得輔助函數(shù)F(x)試證明:第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月32或將結論交叉相乘得換成輔助函數(shù)F(x)第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月33證設輔助函數(shù)因此F(x)滿足Rolle定理的條件.第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月34即得證畢.第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月35練習

分析即證要證證明:對任意的實數(shù)k,設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月36證即證明:對任意的實數(shù)k,設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且由Rolle定理第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月37試證必存在設函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導,證因為f(x)在[0,3]上連續(xù),且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是故由介值定理知,至少存在一點使所以f(x)在[0,2]上連續(xù),因為且f(x)在[c,3]上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導,所以由Rolle定理知,必存在以下4題目較難第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月38試證:存在設函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)證設f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)最大值M分別在取得.由零點定理,至少介于使得具有二階導數(shù)且存在相等的最大值,令則因此由羅爾定理,存在使得再由羅爾定理,存在使得即第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月39(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,則存在(2)證明:證(1)取由題意知F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月40由Rolle定理,即第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月41(2)證明:證(2)對于任意的函數(shù)f(x)在[0,t]上由右導數(shù)定義及拉格朗日中上連續(xù),在(0,t)內(nèi)可導,值定理所以第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月42例.試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),g(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:第42頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月43例.

試證至少存在一點使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在第43頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月44內(nèi)容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理