【教學(xué)】《 圓周角和圓心角的關(guān)系》示范教學(xué)

第三章圓3.4圓周角和圓心角的關(guān)系第1課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．經(jīng)歷探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系的過程.2．理解圓周角的概念，了解并證明圓周角定理及其推論.3．體會分類、歸納等數(shù)學(xué)思想方法.情境導(dǎo)入在射門游戲中（如圖），球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關(guān)．當(dāng)球員在B，D，E處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC．這三個角的大小有什么關(guān)系呢？探究新知此圖片是微課首頁圖，本微課資源針對《圓周角》進行講解，并結(jié)合具體例題，提高知識的應(yīng)用能力，適用于圓周角的教學(xué).若需使用，請插入微課【知識點解析】圓周角.探究新知想一想

觀察圖中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？答：發(fā)現(xiàn)：（1）它們的頂點都在圓上；（2）兩邊分別與圓有另一個交點．歸納

我們把頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．探究新知做一做

如圖，∠AOB=80°．（1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角有什么關(guān)系？與同伴進行交流．（2）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？與同伴進行交流．探究新知答：（1）能畫出無數(shù)個，如下圖所示．通過度量可以發(fā)現(xiàn)：∠ADB，∠ACB，∠AEB這幾個圓周角相等．探究新知（2）通過度量可以發(fā)現(xiàn)：這些圓周角都等于圓心角∠AOB的一半．證明：如下圖所示，在以點A，B為端點的優(yōu)弧上任取一點C，連接AC，OC，BC，延長CO交于點M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．探究新知又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°．結(jié)論：這樣的圓周角有許多個，只要在上任取一點且與點A，B分別相連即可得到，這些角都相等，且等于∠AOB的一半．探究新知議一議

在下圖中，改變∠AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？怎樣證明你的猜想？答：改變∠AOB的度數(shù)，上面的結(jié)論仍然成立．證明過程如下：探究新知已知：如圖，∠C是所對的圓周角，∠AOB是所對的圓心角．求證：∠C=∠AOB．分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論：探究新知（1）圓心O在∠C的一條邊上，如下圖（1）；（2）圓心O在∠C的內(nèi)部，如下圖（2）；（3）圓心O在∠C的外部，如下圖（3）．探究新知證明：（1）圓心O在∠C的一條邊上，如圖（1）．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C．∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB．圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半探究新知證明：（2）如下圖所示，在以點A，B為端點的優(yōu)弧上任取一點C，連接AC，OC，BC，延長CO交于點M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．探究新知又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB．圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半探究新知證明：(3)過點C做直徑CD,由（1）可得：∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD,

∴∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=∠AOB圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半D探究新知想一想

在本節(jié)課開始提出的射門游戲中，當(dāng)球員在B，D，E處射門時，所形成的三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？探究新知答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因為∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（）所對的圓周角，根據(jù)圓周角定理，它們都等于所對圓心角度數(shù)的一半，所以這幾個圓周角相等．推論同弧或等弧所對的圓周角相等典例精析例如圖，⊙O的直徑AB=8cm，∠CBD=30°，求弦DC的長解：如圖，連接OC，OD，則OC=OD=4cm，

∠COD=2∠CBD=60°．故△COD是等邊三角形．所以CD=4cm．課堂練習(xí)1．如圖，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，則∠CAD的度數(shù)為（

）．A．15°B．20°C．25°D．30°2．如圖，正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點P在劣弧CD上，是不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（

）．A．45°B．60°C．75°D．90°DA課堂練習(xí)3．如圖，在⊙O中，∠AOB的度數(shù)為m，C是優(yōu)弧AB上一點，D，E是上不同的兩點（不與A，B兩點重合），則∠D+∠E的度數(shù)為（

）．A．mB．180°-C．90°+D．4．如圖，已知A，B，C三點在⊙O上，AC⊥BD于點D，若∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是__________．B70°課堂練習(xí)5．如圖，在⊙O中，∠O=50°，∠A=

．6．如圖，哪個角與∠BAC相等？你還能找到哪些相等的角？25°答：∠BDC=∠BAC；還能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．課堂練習(xí)7．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度數(shù)．解：∵∠C=100°，∴所對的圓心角=2∠C=200°．∴∠B