離散數(shù)學圖的概念與表示

第十六章圖的概念與表示16.1圖的基本概念16.2鏈(或路)與圈(或回路)16.4圖的矩陣表示退出16.1圖的基本概念什么是圖?可用一句話概括，即：圖是用點和線來刻劃離散事物集合中的每對事物間以某種方式相聯(lián)系的數(shù)學模型。因為它顯得太抽象，不便于理解，所以有必要給出另外的回答。下面便是把圖作為代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個定義。定義16.1.1一個圖G定義為一個三元組<V，E，φ>，記作G=<V，E，φ>。其中V是個非空有限集合，它的元素稱為結(jié)點；E也是個有限集合，其元素稱為邊，而φ是從E到V中的有序?qū)驘o序?qū)Φ挠成?。由定義可知，圖G中的每條邊都與圖中的無序或有序結(jié)點對相聯(lián)系的。若邊e∈E與無序結(jié)點對〔vi，vj〕相聯(lián)系，則φ(e)=〔vi，vj〕，這時邊e稱為無向邊，有時簡稱為邊；若邊e∈E與有序結(jié)點對<vi，vj>相聯(lián)系，則φ(e)=<vi，vj>，此時邊e稱為有向邊或弧，vi稱為弧e的始結(jié)點，vj稱為弧e的終結(jié)點。若結(jié)點vi與vj由一條邊(或弧)e所聯(lián)結(jié)，則稱結(jié)點vi和vj是邊(或弧)e的端結(jié)點；同時也稱結(jié)點vi與vj是鄰接結(jié)點，記作vi

adjvj；否則為非鄰接結(jié)點，記作vinadjvj；也說邊(或弧)e關聯(lián)vi與vj或說結(jié)點vi與vj關聯(lián)邊(或弧)e。關聯(lián)同一個結(jié)點的兩條邊或弧稱為鄰接邊或弧。而聯(lián)結(jié)一結(jié)點與它自身的一條邊，稱為環(huán)。環(huán)的方向是無意義的。如果把圖G中的弧或邊總看作聯(lián)結(jié)兩個結(jié)點，則圖G可簡記為G=<V，E>，其中V是非空結(jié)點集，E是聯(lián)結(jié)結(jié)點的邊集或弧集。定義16.1.2在圖G=<V，E>中，如果每條邊都是弧，該圖稱為有向圖；若每條邊都是無向邊，該圖G稱為無向圖；如果有些邊是有向邊，另一些邊是無向邊，圖G稱為混合圖。定義16.1.3在圖G=<V，E>中，如果任何兩結(jié)點間不多于一條邊(對于有向圖中，任何兩結(jié)點間不多于一條同向弧)，并且任何結(jié)點無環(huán)，則圖G稱為簡單圖；若兩結(jié)點間多于一條邊(對于有向圖中，兩結(jié)點間多于一條同向弧)圖G稱為多重圖，并把聯(lián)結(jié)兩結(jié)點之間的多條邊或弧，稱為平行邊或弧，平行邊或弧的條數(shù)稱為重數(shù)。定義16.1.4給每條邊或弧都賦予權的圖G=<V，E>，稱為加權圖，記為G=<V，E，W>，其中W表示各邊之權的集合。加權圖在實際中有許多應用，如在輸油管系統(tǒng)圖中權表示單位時間流經(jīng)管中的石油數(shù)量；在城市街道中，權表示表示通行車輛密度；在航空交通圖中，權表示兩城市的距離等等。定義16.1.5在無向圖G=<V，E>中，如果V中的每個結(jié)點都與其余的所有結(jié)點鄰接，即(vi)(vj)(vi，vj∈V→〔vi，vj〕∈E)則該圖稱為無向完全圖，記作K|V|。若|V|=n，該圖記作Kn。在一個圖中，如果一個結(jié)點不與任何其他結(jié)點鄰接，則該結(jié)點稱為孤立結(jié)點。僅有孤立結(jié)點的圖稱為零圖。顯然，在零圖中邊集為空集。若一個圖中只含一個孤立結(jié)點，該圖稱為平凡圖。定義16.1.6在有向圖G=<V，E>中，對任意結(jié)點v∈V，以v為始結(jié)點的弧的條數(shù)，稱為結(jié)點v的出度，記為d+(v)；以v為終結(jié)點的弧的條條數(shù)，稱為v的入度，記作d-(v)；結(jié)點v的出度與入度之和，稱為結(jié)點的度數(shù)，記為d(v)，顯然d(v)=d+(v)+d-(v)。對于無向圖G=<V，E>，結(jié)點v∈V的度數(shù)等于聯(lián)結(jié)它的邊數(shù)，也記為d(v)。若v點有環(huán)，規(guī)定該點度因環(huán)而增加2。顯然，對于孤立結(jié)點的度數(shù)為零。此外，對于無向圖G=<V，E>，記Δ(G)或Δ=max{d(v)|v∈V}δ(G)或δ=min{d(v)|v∈V}它們分別稱為圖G的最大度和最小度。關于無向圖中的結(jié)點的度，歐拉給出一個定理，這是圖論中的第一個定理。定理16.1.1給定無向圖G=<V，E>，則定理16.1.2在任何無向圖中，奇度結(jié)點的數(shù)目為偶數(shù)。定義16.1.7在無向圖G=<V，E>中，如果每個結(jié)點的度是k，即(v)(v∈V→d(v)=k)，則圖G稱為k度正則圖。顯然，對于k度正則圖G，Δ(G)=δ(G)=k。定義16.1.8給定無向圖G1=<V1，E1>和G2=<V2，E2>，于是(1)如果V2V1和E2E1，則稱G2為G1的子圖，記為G2G1。(2)如果V2V1，E2E1且E2≠E1，則稱G2為G1的真子圖，記為G2G1。(3)如果V2=V1，E2E1，則稱G2為G1的生成子圖，記為G2G1。定義湊16藍.1津.9設圖G2=<V2，E2>是圖G1=<V1，E1>的子為圖。消若對壯任意船結(jié)點u和v，如果義〔u，v〕∈E1，有〔u，v〕∈E2，則G2由V2唯一差地確頁定，輝并稱G2是結(jié)權點集宿合V2的誘貌導子您圖，吼記作喂<V2>或G〔V2〕；如果G2無孤鉛立結(jié)鎖點，哭且由E2所唯毒一確耗定，走則稱G2是邊在集E2的誘靠導子鋒圖，跨記為廚<E2>或G〔E2〕。定義匙16揉.1約.1酸0設圖G1=<V1，E1>和圖G2=<V2，E2>是圖G=<V，E>的子舊圖。欠如果E2=E-E1且G2=<E2>，則稱雪圖G2是相慌對于辣圖G的子脂圖G1的補刮圖。定義叮16醫(yī).1說.1于1給定厚圖G=<V，E>，若存理在圖G1=<V，E1>，并且E1∩E=和圖炊<V，E1∪E>是完輪全圖訓，則G1稱為遲相對宋于完倍全圖念的G的補廟圖，莖簡稱G1是G的補但圖，喘并記年為G1=治。顯然夾，G與燦互孝為補川圖。在圖天的定躺義中惹，強今調(diào)的辰是結(jié)宴點集未、邊刮集以伏及邊悟與結(jié)鐮點的失關聯(lián)餅關系碑，既遙沒有渡涉及亂到聯(lián)胃結(jié)兩奸個結(jié)城點的幼邊的秩長度輸、形損狀和劑位置貴，也扣沒有劍給出浙結(jié)點青的位勇置或她者規(guī)帝定任含何次或序?？梢虼穗x，對租于給爽定的旱兩個坊圖，登在它編們的布圖形漆表示妄中，旬即在攝用小壁圓圈燭表示脈結(jié)點侍和用律直線繁或曲豈線表泡示聯(lián)叢結(jié)兩約個結(jié)煩點的嬸邊的室圖解綁中，符看起裕來很閃不一紫樣，素但實男際上煉卻是奧表示陣同一站個圖聯(lián)。因蹤蝶而，投引入含兩圖維的同遇構(gòu)概漿念便赤是十附分必谷要的閥了。定義撕16肚.1觸.1紡2給定城無向刃圖(框或有攻向圖仆)G1=<V1，E1>和G2=<V2，E2>。若存現(xiàn)在雙奶射f∈V2V1，使得父對任哀意v，u∈V1，有〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕濫∈E2(或<u，v>∈E1<f(u)，f(v)>抵∈E2)則稱G1同構(gòu)結(jié)于G2，記為G1G2。顯然弊，兩骨圖的擱同構(gòu)月是相繩互的攻，即G1同構(gòu)客于G2，G2同構(gòu)脾于G1。由同莊構(gòu)的政定義鎖可知惠，不歡僅結(jié)谷點之篇間要澆具有匹一一詞對應僻關系肥，而管且要俗求這鍛種對檔應關雹系保僵持結(jié)執(zhí)點間逼的鄰漿接關氧系。克對于焦有向傳圖的朽同構(gòu)形還要惰求保巡壽持邊醋的方閘向。一般歪說來休，證顯明兩摧個圖拳是同但構(gòu)的枯并非哀是輕福而易攪舉的裳事情旋，往撓往需櫻要花察些氣椅力。牙請讀脂者證點明圖16改.1軌.1肺3中兩書個圖掉是同降構(gòu)的矮。根據(jù)伏圖的密同構(gòu)傷定義退，可補以給方出圖組同構(gòu)繭的必知要條散件如則下：(1嶄)環(huán)結(jié)點至數(shù)目貧相等享；(2耍)拿邊數(shù)嬌相等搭；(3具)慚度數(shù)切相同糠的結(jié)太點數(shù)訊目相蒼等。但這澆僅僅蠢是必污要條竭件而布不是襪充分習條件。我滿足潔上述冰三個歐條件緣瑞，然辭而并乒不同工構(gòu)。浪因此伐在(a)中度泊數(shù)為昌3的海結(jié)點x與兩桌個度壟數(shù)為名1的弱結(jié)點捧鄰接彼，而張(b)中度鈔數(shù)為掉3的養(yǎng)結(jié)點y僅與員一個劉度數(shù)錯為1握的結(jié)悔點鄰桐接。尋找左一種個簡單傻有效食的方喊法來定判定案圖的迫同構(gòu)們，至饅今仍除是圖危論中詳懸而張未決少的重案要課鍛題。人民太郵電恰出版勾社高等衣學校臘21悲世紀光教材例如涌圖1牽0.廊1.興14羞中(a)與(b)圖獅10者.1優(yōu).1塘3返回返回圖頂1.波1.蝕1416梨.2煩鏈(斯或路義)與亡圈(后或回項路)在無剃向圖患(或站有向該圖)踐的研謠究中薯，常漂?？祭響]從之一個節(jié)結(jié)點斗出發(fā)場，沿畢著一婦些邊腥(或慢弧)鑼連續(xù)欺移動誕而達惑到另不一個諒指定槳結(jié)點嗽，這刮種依裁次由葬結(jié)點及和邊擴(或塌弧)敞組成忠的序賣列，噸便形陳成了侍鏈(混或路疲)的確概念地。定義凱16吩.2運.1給定鑒無向榜圖(知或有跳向圖主)G=<V，E>。令v0，v1，…紫，vm∈V，邊(胞或弧哪)e1，e2，…選，em∈E，其中vi-1，vi是ei的結(jié)瓣點，據(jù)交替型序列v0e1v1e2v2…emvm稱為艱連接v0到vm的鏈鑼(或賤路)宴。v0和vm分別爺稱為潑鏈(丘或路男)的庸始結(jié)當點和辮終結(jié)鼠點，前而邊艷(或腫弧)紹的數(shù)虜目稱悔為鏈曬(或危路)所的長估度。而若v0=vm時，冊該鏈漁(或禁路)地稱為常圈(綁或回安路)筐。定義遍16假.2跌.2在一秧條鏈打(或慣路)到中，阿若出絡現(xiàn)的搏邊(躬或弧樓)都退是不虛相同固的，復稱該樣鏈(本或路買)為書簡單紀鏈(橋或簡院單路午)；房誠若出泡現(xiàn)的幕結(jié)點渡都是狐不相肅同的辭，稱參該鏈室(或肯路)角為基紫本鏈鍬(或尿基本載路)盛。顯然舉，每同條基截本鏈扣(或閱基本若路)汁必定境是簡鋒單鏈粥(或酒簡單攀路)偷。定義齊16汽.2縱.3在一早圈(引或回壺路)迎中，個若出陵現(xiàn)的肯每條用邊(篇或弧先)恰故好一對次，話稱該呢圈(推或回粘路)俗為簡準單圈銷(或腔簡單皆回路陜)；殲若出葉現(xiàn)的掩每個鄭結(jié)點遣恰好貸一次板，稱揚該圈營(或游回路短)為男基本貞圈(栗或基椒本回此路)自?？梢砸婵闯龅瑢糜诤喌虇螆D沃來說誦，鏈嬌(或捉路)息和圈陪(或秋回路僅)能記夠僅概用結(jié)您點序事列表威示之鐘。定理營16噸.2拳.1在一附個圖噴中，控若從劣結(jié)點vi到結(jié)脅點vj存在揭一條門鏈(孩或路嫌)，顯則必艘有一挎條從vi到vj的基齡本鏈閃(或所基本攻路)史。定理醬16登.2尿.2在一午個具程有n個結(jié)鑼點的遺圖中碼，則(1襯)桿任何恥基本影鏈(顛或路飲)的勝長度準均不宮大于n-1物。(2蹈)任何預基本慶圈(世或路格)的冠長度庫均不脖大于n。定義惱16午.2顆.4在一誼個圖刻中，貓若從vi到vj存在繩任何鋼一條屠鏈(踐或路罷)，雞則稱姐從vi到vj是可頌達的將，或項簡稱vi可達vj。為完披全起烈見，纖規(guī)定括每個確結(jié)點魔到其蠟自身腸是可學達的符。對于記無向概圖G來說克，不停難證朗明結(jié)識點間秒的可于達性縣是結(jié)絨點集紗合上治的等嚇價關咬系。韻因此恩它將精結(jié)點沃集合繪給出僵一個鳥劃分峰，并努且劃緣瑞分中芒的每帶個元別素形燥成一夫個誘辣導子趨圖；獅兩結(jié)顏點之折間是火可達現(xiàn)的當績且僅襖當它秒們屬豪于同竊一個脾子圖屆，稱屋這種盈子圖劇為圖G的連蒼通分迫圖，狹圖G的連嶺通分割圖的隨個數(shù)乓，記饅為ω(G)。定義隨16踢.2膊.5若圖G只有示一個歐連通梁分圖艦，則優(yōu)稱G是連捉通圖抄；否世則，蛾稱圖G為非弦連通榜圖或哀分離梅圖。在圖嫂的研狀究中零，常材常需炒要考粗慮刪育去與果增加亭結(jié)點任、結(jié)怠點集海、邊摩和邊擱集（好或弧黃集）汁的問乎題。叨所謂醋從圖G=<V,E>中刪染去結(jié)婆點集S，是指錦作V-S以及隙從E中刪支去與S中的富全部戀結(jié)點張相聯(lián)敘結(jié)的雨邊而筑得到鏈的子尺圖，臺記作G-S；特別窄當S=|v|時，防簡記采為G-v；所謂近從圖G=<V,E>中刪縱去邊畏集（姜或弧雙集）T，是指不作E-T，且T中的殘全部患邊所婚關聯(lián)爆的結(jié)澆點仍權在V中而壞得到烘的子具圖，夜記為G-T；特別村當T={e}時，警簡記漁作G-e。所謂榜圖G=<V,E>增加館結(jié)點至集S，是指哈作V∪T以及直向E中并朗入S中、S與V中所驚成的番邊而兄得到咬的圖袋，記承作G+S；特別蒜當S={v}時，價簡記娘為G+v；圖G=<V,E>增加下邊集諷（或胡弧集現(xiàn)）T是指添作E∪T所得狀到的械圖，暫記作G+T，這里T中全崇部邊只（或紙?。﹪W的關喉聯(lián)結(jié)執(zhí)點屬呈于V。定義無16丸.2螺.6給定之連通蝴無向立圖G=<V，E>，SV。若ω(G-S)＞ω(G)，但TS有(G-T)=(G)，則稱S是G的一牙個分憂離結(jié)撒點集般。若峰圖G的分膠離結(jié)巴點集S={v}，則稱v是G的割餃點。類似挖地可走定義旱圖G的分攤離邊虎集T；若圖G的分毒離邊圈集T={e}，則稱e是G的割賀邊或弊橋。對于肉連通耳的非聞平凡朽圖G，稱(G)={|S||S是G的分陡離結(jié)葡點集}為圖G的結(jié)樹點連佛通度秋，它脹表明丟產(chǎn)生肆不連刑通圖媽而需捎要刪漫去結(jié)顯點的浙最少壘數(shù)目齡。于憂是，凱對于史分離寺圖G，(G)=卸0；對于銷存在獅割點脖的連美通圖G，(G)=刺1。類似襪地定沈義邊問連通柱度(G)={|T||T是G的分戲離邊仔集}，它假表明屯產(chǎn)生踏不連患通圖船而需閱要刪皇去邊懷的最歡少數(shù)醬目。擾可見搬，對椅于分淺離圖G，(G)=酷0；對于降完全傍圖G，(G)=游0；對于電圖K1，(K1)=輩0；對于扮存在盒割邊砍的連佛通圖G，(G)=叛1；對于英完全營圖Kn，(Kn)=n-1越。下面舒是由跡惠特吃尼(H.品Wh褲it膨ne劃y)于1送93有2年譽得到忙的關耽于結(jié)雷點連范通度芳、邊墨連通圍度和虜最小唱度的另不等借式聯(lián)筍系的案定理窩：定理曬16途.2參.3對于橡任何償一個叢無向蠅圖G，有(G)≤(G)≤δ(G)。定理雨16經(jīng).2鏈.4一個燦連通甘無向材圖G中的這結(jié)點v是割聾點存在魚兩個顆結(jié)點u和w，使得樣聯(lián)結(jié)u和w的每新條鏈莖都經(jīng)傲過v。定理癢16旁.2碌.5一個恨連通籮無向犁圖G中的野邊e是割賭邊斜存在椒兩個將結(jié)點u和w，使得吃聯(lián)結(jié)u與w的每廢條鏈鍋都經(jīng)檢過e。下面模再給原出一疼個判攔定一分條邊槍是割搖邊的醉充要趴條件稻。定理挺16廳.2瓦.6連通遣無向科圖G中的露一條吸邊e是割絮邊e不包覽含在捐圖的夫任何扇基本拜圈中掏。對于模有向腦圖而她言，忠結(jié)點代間的等可達阿性不基再是廣等價南關系染，它槳僅僅打是自殘反的理和傳播遞的歇。一呼般說跨來，憲不是產(chǎn)對稱翻的。泳因此獲，有渴向圖命的連服通概漏念較詳之無六向圖筐要復借雜得陶多。對于撓給定呼的有擠向力G，要略省去G中每判條邊噸的方泰向便欺得到偏一個藍無向演圖G1，稱G1是G的基栗礎圖沾。定義掙16蓬.2哀.7在簡童單有角向圖G中，恥若G中任梅何兩碧個結(jié)徹點間側(cè)都是哥可達沒的，什則稱G是強佩連通廟的；父若任緣瑞何兩含個結(jié)不點間命至少荒是從惰一個融結(jié)點逐可達溝另一留個結(jié)智點，雪則稱G是單財向連拋通的嚼；若商有向械圖G不是位單向系連通寒的，銹但其蒙基礎科圖是園連通眼的，稍則稱G是弱殊連通榨的。從上匠面定襯義可撿知，翅若圖G是強芬連通紫的，圾則它奶必是觸單向懼連通那的，等但反衛(wèi)之未明必真犁；若泊圖G是單燒向連沿通的您，則無它必差是弱脾連通府的，嬸反之糧不真夜。定理爪16輝.2鞭.7有向娛圖G是強聚連通四的G中有凡一回廣路，忙它至春少通扮過每球個結(jié)憂點一攜次。令G是簡譜單有臉向圖浙，對棄于某牽種性系質(zhì)而皺言，雄若G中再松沒有丈其它設包含聰子圖G1的真行子圖君具有撇這種秩性質(zhì)柿，則瞧稱G1是G的關下于該情性質(zhì)掉的極夸大子鋒圖。定義屯16忽.2思.8在簡匹單有捎向圖碎中，支具有密強連汗通性嶼質(zhì)的癢極大完子圖州，稱債為強軍分圖串；具緞有單呆向連凝通性胖質(zhì)的倒極大更子圖慮，稱猴為單評向分導圖；倍具有萍弱連姜通性蜂質(zhì)的礙極大陣子圖絞，稱話為弱淋分圖銳。定理堅16庫.2誘.8簡單丙有向辭圖中過的任嘴一個雕結(jié)點脫恰位姓于一翼個強俘分圖扶中。注意挖，有螺向圖張中的滾任意威一弧蜓未必貸恰位木于一全個強靜分圖狀中，頂例如沾，在鼻圖1煎0.論2.糟6中袖，弧諸<v1,v2>位于蜘結(jié)點些集合{v1,v2,v3}的誘懲導子彎圖中材，但拉弧<v3,v4>不位怖于任常何強蘇分圖濾之中洞。類似鉛地可隔以證捏明下吹面兩稿個定兔理：定理圈16拜.2經(jīng).9簡單腥有向撿圖中喘的每塘個結(jié)寒點和南每條鄰弧至獨少位醉于一辮個單對向分互圖中聰。定理掃16別.2預.1給0簡單淚有向挨圖中叢的每漠個結(jié)徑點和扭每條毯弧恰這位于嚇一個殿弱分儉圖中雀。如果鼓結(jié)點u可達蒜結(jié)點v，它們殊之間梅可能鈴存在緊不止勿一條攤鏈(冶或路童)。傘在所柱有這動些鏈臭(或韻路)村中，禿最短生鏈(農(nóng)或路蛾)的要長度滋稱為耕結(jié)點u和v之間承的距誘離或妖短程餐線或毛測地任線，堤記作d<u，v>。距離鏟滿足稿下列且性質(zhì)棟：d<u，v>≥醒0d<u，u>=天0d<u，v>+d<v，w>≥d<u，w>如果u不可司達v，則d<u，v>=谷+∞揚。此外覺，要暑注意輛，即襲使u與v相互賀可達沿，d<u，v>未必理等于d<v，u>。下面享給出丹簡單柳有向飾圖的絞一個弓應用齊——攜資源針分配遣圖。在多賊道程墓序的尼計算冒機系渣統(tǒng)中旁，可裝以同盒時執(zhí)栽行多持個程嚴序。他實際詳上，吵程序填共享熊計算化機系毒統(tǒng)中尤的資慌源，澆如磁杠帶機夏、磁侵盤設浩備、CP貨U、主存困貯器晃和編溫譯程侵序等院。操撇作系師統(tǒng)對槐這些妖資源慮負責攤分配圈給各膛個程網(wǎng)序。紐奉當一齊個程鞭序要塞求使掙用某喚種資綱源，開它要猶發(fā)出慚請求濕，操祥作系結(jié)統(tǒng)必啞須保杯證這我一請訪求得晉到滿明足。對資涌源的色請求科可能或發(fā)生漆沖突筐。如漁程序A控制夸著資覺源r1，請求持資源r2；但程朱序B控制菠著資犯源r2，請求應資源r1。這種同情況雕稱為引處于坑死鎖含狀態(tài)勵。然久而沖而突的遲請求革必須盯解決薄，資饞源分召配圖灶有助云發(fā)現(xiàn)萄和糾驢正死護鎖。假設廟某一吊程序考對一晨些資運源的赤請求廊，在像該程墓序運殿行完陰之前強必須掛都得昌到滿悠足。爽在請擱求的斜時間循里，纖被請電求的帝資源評是不嚼能利寒用的坑，程艘序控啊制著仙可利妖用的鴨資源膊，但畏對不族可利鈔用的蟲資源武則必艇須等獎待。令Pt={p1，p2，…貫，pm}表示臺計算僅機系壁統(tǒng)在攪時間t的程喊序集秩合，QtPt是運械行的必程序燈集合丈，或躍者說撞在時兇刻t至少哨分配板一部做分所陵請求污的資去源的增程序懷集合弟。Rt={r1，r2，…蠶，rn}是系尸統(tǒng)在傭時刻t的資往源集失合。液資源畝分配協(xié)圖Gt=<Rt，E>是有勿向圖雄，它撥表示都了時殃間t系統(tǒng)史中資谷源分刷配狀斜態(tài)。劑把每摸個資漿源ri看作齒圖中撇一個枝結(jié)點邁，其巡壽中i=1存，2鞏，…協(xié)，n。<ri，rj>表示黃有向揭邊，桶<ri，rj>∈E當且勢僅當梁程序pk∈Qt已分砌配到處資源ri且等強待資廈源rj。例如摸，令Rt={r1,r2,r3,r4}，Qt={p1,p2,p3,p4}。資源樓分配奧狀態(tài)危是：p1占用瓜資源r4且請棍求資鍛源r1；p2占用浩資源r1且請惱求資波源r2和r3；p3占用冶資源r2且請裹求資虹源r3；p4占用桃資源r3且請低求資熔源r1和r4。于是蕉，可冶得到撈資源懲分配畝圖Gt=<Rt,E>，如圖段10削.2嫁.7恥所示帽。能夠騰證明洗，在噸時刻t計算搖機系勒統(tǒng)處鴉于死倦鎖狀寺態(tài)資源嗚分配必圖Gt中包誕含強皺分圖浴。于攜是，貓對于延圖1辭0.抵2.捕7，Gt是強洽連通可的，合即處頓于死崗鎖狀阿態(tài)。圖狼10低.2糾.716句.4岸圖的修矩陣尚表示為什零么要搜用矩滾陣來短表示鳳圖？給定斧一個羽圖G=<V，E>，使用G=<V，E>這種亂表示有法存搏在兩健個缺逗陷：1、漢在圖工比較債復雜退時不濁夠直點觀；2、毯不方黑便計楊算。一個癥簡單檔圖G=<V，E>由V中每員兩個治結(jié)點詳間的禁鄰接擇關系舒唯一亂地確左定，競這種特關系是可以就用一艙個矩派陣給騎出，順而矩小陣形箏式與子圖中姨結(jié)點娛的編誦序有惰密切菌關系俘，這鋸是用保矩陣選表示吵圖值索得注濃意的冠一點奔。定義管16餃.4堵.1給定恭簡單憤圖G=<V，E>，V={v1，v2，…脹，vn}，V中的證結(jié)點竟按下光標由繩小到中大編香序，釘則n階方鏟陣A=(aij)稱為移圖G的鄰釀接矩畫陣。哀其中i，j=1覺，2香，…陣，n。有時桑為強午調(diào)鄰聰接矩液陣依惠賴于圖G，把圖G的鄰拜接矩市陣記緣瑞為A(G)。v2v1v3v4v5v1v5v2v3v40111110100110101010110010A(G1)=0100110101010110010111110A(G2)=G1G2v2v1v3v4v5v1v5v2v3v40011110100000100000000010A(G3)=0100100100000000010001110A(G4)=G3G4今后頂將略繁去這吃種由性于V中結(jié)跌點編險序而隱引起橫鄰接園矩陣革的任鉤意性萬，而尺取該黑圖的滲任一元個鄰挽接矩鹽陣作禁為該污圖的筒矩陣羊表示凝。有關破圖同特構(gòu)的題判斷煩問題東的討眨論可圈以參留考以認下網(wǎng)廊址：ht程tp突:/撿/w霉ww擇.b字lo軋g.發(fā)ed裕u.當cn阿/u鎮(zhèn)se章r1掘/1篇91際80婚/a耀rc虧hi歸ve披s/窮20傍06買/1懇46會71竹30其.s冷ht簡mlht喜tp利:/隙/t形op行ic付.cs羅dn.n翁et遺/t呆/2丈00間20潔61塑7/卷14頑/8妖09說50扛7.遷ht泊ml鄰接籠矩陣腥可展饑示相厚應圖惠的一猜些性括質(zhì)：1、格若鄰男接矩恰陣的腐元素痛全為差零，醬則其粗對應桶的圖瓦是零貫圖；2、吃若鄰鉤接矩株陣的餅元素折除主串對角晴線元秩素外鞋全為妻1，榜則其驕對應拌的圖汽是連義通的發(fā)且為疲簡單更完全敲圖；3、都當給獸定的恰簡單盈圖是頭無向畏圖時夢，鄰示接矩禽陣是諷對稱暗矩陣備；問題1、面當給堤定的腎簡單艦圖是蟲有向攔圖時饅，鄰杯接矩螞陣不晶是對犯稱矩螞陣；以上電結(jié)論洽是否悶成立染？2、憤當給前定的錄圖是末多重可圖時蒸，如泛何用俊鄰接胡矩陣蔑表示幕？4、竭在給型定簡策單有廣向圖短的鄰努接矩榨陣中及，第i行元救素是可由結(jié)蛋點vi出發(fā)稈的弧潑所確另定，兔故第i行中鐵值為疏1的帳元素談數(shù)目序等于革結(jié)點vi的出愉度。鋒同理胃，第j列中見值為掀1的足元素拐數(shù)目賴等于瘡結(jié)點vj的入憐度。即d+(vi)=和d-(vj)=聯(lián)。v1v2v3010101010A=GA2=010101010010101010.=101020101A3=101020101010101010.=020202020v1v2v3020202020A3=GA4=020202020010101010.=202040202A5=040404040由給蠟定簡韻單圖G的鄰賓接矩擁陣A可計慘算出帝矩陣A的l次冪較，即Al。若第i行第j列上帶的元瘦素alij便是G中從搏第i個結(jié)揮點vi到第j個結(jié)補點vj長度睡為l的鏈替（或宣路）前的數(shù)罷目。圓為說鵲明此熄事實緒，今據(jù)給出時下面傲定理奪。定理邪16腫.4愈.1設A為簡簽單圖G的鄰倍接矩潛陣，勢則Al中的i行j列元終素alij等于G中聯(lián)付結(jié)vi到vj的長悅度為l的鏈吵(或秩路)久的數(shù)微目。在一寧些實覽際問窮題中剃，有刻時要昆判定矩圖中暴結(jié)點vi到結(jié)訊點vj是否稀可達鋪，或閣者說vi到vj是否獻存在額一要狼鏈（役或路綠）。換如果活要利極用圖G的鄰執(zhí)接矩形陣A，則應偉計算A2，A3，·寫··千，An，·足··軍。當發(fā)腳現(xiàn)其扛中某鏈個Ar中碌≥撕1，習就表架明vi可達vj或vi到vj存在記一條落鏈（洋或路?。５@篩種計隆算繁敞瑣量螺大，輪又不藝知計誼算Ar到何杯時為蠟止。根據(jù)穩(wěn)定理戀16餓.2產(chǎn).2許可知脊，對判于有n個結(jié)府點的揪圖，贏任何蠢基本判鏈（曾或路良）的游長度今不大奮于n-1和任該何基烤本圈弟（或插回路蹦）的孩長度直不大袋于n。因此舟，只異需考他慮怠就革可以粉了，掏其中亭1≤r≤n。即只背要計戰(zhàn)算Bn=A+A2+A3+·刷··訂+An。如果徹關心洞的是膛結(jié)點規(guī)間可匯達性掠或結(jié)橡點間用是否旦有鏈勝（或硬路）騰，至社于結(jié)獲點間飄的鏈炒存在盲多少茅條及啊長度劈燕是多晉少無愚關緊跌要，退那么原便可秒用下然面的偏定義否圖的打可達賠矩陣臣來表追示結(jié)脆點間炭可達誦性。定義激16嘴.4循.2給定戰(zhàn)圖G=<V，E>，將其賭結(jié)點乘按下表標編宗序得V={v1，v2，…焦，vn}。定義嶼一個n階方燃陣P=(pij)，其中1vi到vj可達Pij=0否則則稱獻矩陣P是圖G的可堅達矩罪陣。{可見計，可厲達矩套陣表律明了宵圖中叼任意因兩結(jié)糾點間耽是否庸至少閃存在率一條填鏈(欣或路蓮)以喝及在匹結(jié)點告處是浮否有論圈(令或回磁路)崖。從圖G的鄰制接矩腦陣A可以夾得到眉可達北矩陣P，即令Bn=A+A2+A3+…皺+An，再從Bn中非減零元芬素改并為1享而零護元素怕不變徐，這副種變疑換后瀉的矩替陣即認是可鋼達矩享陣P。假設令矩陣績中的悉元素蝦是屬棄于布仍爾代蝴數(shù)<B,,,ˉ辣,0艦,1降>的B中元比素，山其中B={歇0,近1}圾，則稱壓該矩貢陣為冶布爾垮矩陣斃。顯剛?cè)秽徧Ы泳毓搓囀秦氁粋€慎布爾倚矩陣求，同常樣可膨達矩叫陣也姻是布昆爾矩湖陣。姥下面便定義咬兩個錢布爾荷矩陣B與C的運手算：令B和C的布巡壽爾和揀、布乖爾積翻分別舒記為BC和Bo駱C，其定石義為(BC)ij=bijcij(BC)ij=珍(bikckj)i,j=1宏,2英,·規(guī)··飛,n。其中bij，cij分別丑是B和C的i行j列元儉素。特別玻地，經(jīng)對于戚鄰接秘矩陣A，記AA=A(2惰)，對任拳何r=2聰,3弱,·饒··握,有A(r-1舊)A=A(r)要注蝕意的叛是Ar與A(r)的差提別。Ar中也表明歲從vi到vj長度供為r的鏈旦（或訪路）析的數(shù)父目，而A(r)中吧是徑指出魔：若vi到vj至少李存在膝一條己鏈（壩或路肺）時雀，濕=1陸，否些則，革=或0。由上陜說明就，便處得到進可達銳矩陣P為：P=AA(2恢)A(3忙)··般·A(n)=A(k)對于柄簡單話有向舞圖G=<V,E>，顯然淋有EVV。因此欄，弧竹集合E可解華釋成B中的甲二元煉關系神，而獅二元斤關系肯是可系用矩俯陣表號示的奏，通眼常稱雀這種青矩陣糟為關延系矩聚陣，繞其定余義如指下：設兩摧個有腳限集迎合X={x1,x2,·摟··搏,xm}和Y={y1,y2,·怠··洋,yn}，則關柄系RXY的關侮系矩員陣MR=(rij)，其中1,毫<xi,yi>Rrij=0,否則i=1械,2設,·填··良,m；j=1堪,2慚,·掘··鉗,n。{由定直義可糞知，項關系R與其斧關系降矩陣MR是一通一對買應的供，即按可以襖相互啟確定魄。根據(jù)獸集合耽論可越知，揀對于柱域F(R)=V而|V|=n的關井系R的傳厲遞閉罪包R+可計何算如墳下：R+=R∪R2∪R3∪·雷··辨∪Rk(k≤n)于是燥，關生系R1和R2的關蔑系矩盲陣分兔別為A1和A2，則關鞏系R1∪R2的關瓜系矩瞧陣為A1A2。用歸樹納法像可以宇證明R+的關鎖系矩宋陣是=蜓傷··杏·對于G=<V,E>的鄰遭接矩女陣A是關厲系E的關以系矩割陣，淋因為E2=Eo有E，即若摩存在恰一個僵結(jié)點vk，使得viEvk，和vkEvj，則必繞有viE2vj，亦即癢從vi到vj若至肝少存雁在一矮條長覺度為釘2的便鏈（脹或路礦），晃那么E2的關身系矩耍陣中屢的(i,j)元素誘值為遲1。行這表愈明矩蔽陣A(2獻