矩陣特征值的計算

第七章

矩陣特征值的計算數(shù)值分析——正交變換與QR算法王偉1主要內容正交變換

Sturm序列與二分法QR算法

Givens

變換Householder

變換基本算法具有移位的QR算法2實對稱陣特征值的計算

通過正交變換，將實對稱矩陣約化為三對角陣，利用Sturm定理隔離特征值，最后用二分法求出所需特征值。3

Givens變換4引例令005Givens變換定義：稱矩陣為Givens變換，或旋轉變換。ijij6Givens變換性質(1)

只有四個元素與單位矩陣不同(2)正交：(3)如果A是對稱陣，則也是對稱陣(4)用G

左乘一個矩陣時，只改變該矩陣中兩行的值(5)用G

右乘一個矩陣時，只改變該矩陣中兩列的值7Givens變換定理：設x=(x1,...,xi

,...,xj,...,xn)T，且xi

,xj不全為零，則存在Givens變換G=G(i,j,)，使得

8Givens變換計算步驟(1)構造矩陣。一般地，對第i行Givens變換，構造

，其中(2)Givens變換：。經過變換可以把上的元素化為0。通過次變換，可以約化為三對角陣。9例1應用Givens方法把矩陣約化為三對角陣。解：設，令，得，則Givens變換10Givens變換由，令，得則同理，得11

Householder變換12Householder變換1985年，A.S.Householder提出用初等Hermite陣代替Givens陣將對稱陣約化為三對角陣，只需要（n-2）次變換（Givens方法需要（1/2(n-1)(n-2)）次變換）就能達到簡化目的。13Householder變換定義：設且，稱矩陣為Householder變換。14Householder變換性質(1)

對稱：(2)正交：(3)對合：(4)保模：(5)15Ho名us賺eh階ol漿de慈r變換定理：設x,yRn,xy且||x|聲|2=葛||y|謠|2，則猛存在n階Ho顆us閥eh太ol鴿de班r變換H，使甩得y=Hx16Ho沙us緒eh廁ol賓de越r變換定理：對任排意的耳非零菌向量xRn，存捷在Ho筍us慮eh世ol娛de蓬r變換H，使嬌得Hx=e1其中=件sg鈔n(x1)|瞎|x||2,e1=革(1濤,曬0,曬.摧..棕,焰0)T，的選喉取是展為了防止鋼在實班際計普算中與x1互相逼抵消若x1=0奇,則取=環(huán)||x||217Ho星us堡eh形ol移de計r娃變換計算布步驟(1右)構造棗矩陣請。儲，吵其中為k侵維向循量(2蓮)Ho腔us招eh曬ol枕de瀉r變午換。經過排變換誼可以駱把上的扭元素庭化為城0。其中通過李（n探-2記）次蓄變換盞，可馳以約父化為團三對遇角陣區(qū)。18Ho榜us警eh熄ol站de境r變換例償2租對距例1灑中的爛矩陣原，用Ho瀉us王eh偶ol吊de凍r變換約化阿為三橋對角村陣。解：膏，香得向州量拴，因耗此遇,俊，悼得19Ho不us卷eh其ol醒de城r恐變換當矩曲陣比尺較稠藏密時斷，具閱有更貴高的決效率20St王ur央m序侵列與鑄二分鄉(xiāng)豐法21St莫ur腫m序愛列與么二分拋法設C饑是n抹階對滋稱陣幼A通輕過前麻面兩乞種方驅法之停一，非約化竿為的祝三對紋角陣橋。22St零ur責m序皺列與膏二分尺法其特貍征多射項式多項傭式序墊列待是一死個S竄tu希rm惹序列。應切用S仆tu呆rm娛定理米，可體以求譜出在蔬內實小根的板個數(shù)遵和隔貧離出替C的作特征料值區(qū)赴間，膜原則翅上可同以用萌二分富法求永出全百部或群者部護分特剩征值滲。規(guī)定23St襲ur需m序擊列與習二分獄法例3雞考怕察矩做陣C移的特篩征值遙分布解：塌C的攤特征鬼多項承式對應淘的各芒階主黃子式叼：構成志一個鋒St暑er敢m序析列。24St震ur鋪m序還列與狐二分遷法考察摩當碎時，棚多項臺式序閃列的竿変號帖數(shù)+-+-+4+0-0+2+++++0+++++0由表姿可知躺，在榴內有指兩個母特征拒值，辜在（帽-2畝,0新）內乏有兩敲個特未征值兆，在沒有烏特征圍值。桌然后食用二柴分法到可以翠求得惑所需貴精度柔的特殊征值凈。25一般倒矩陣音特征睜值的課計算對任意獎非奇蘿異矩鵲陣，用村QR貓算法度迭代遠，它公將收嫩斂于倘一個疏上三段角陣漏，主薄對角蘿線上營的元撤素近早似為雨矩陣俱的特斜征值店。26QR爬算法27QR算法定理濃：設矩陣顧A是n階非奇嗽異實矩紀陣，則料存在傷正交幼分解A憤=楊QR其中Q是正傍交矩耽陣屬，R是非搜奇異滔上三乒角矩玻陣蠻。若限便定R的對司角線命元素渡為正辨數(shù)，傻則此復分解遵唯一游。28QR算法設(j=命1,掌.認..命,n)(1寶)構造H1使得H1a1=1e1，令(2)構造

使得

，令QR分解29QR算法以此素類推故，經揭過n-1步，歇可得Ho定us懷eh忽ol券de父r矩陣H1,H2,彩..閥.翼,Hn-1，使丙得令，即得30QR算法例4手用Ho斗us啄eh御ol婆de當r變換肺計算播的QR分解啟。解：孔設峰，則31QR倉算法同理看，構肆造32QR算法基本慘算法設婦為且n階疏實矩框陣，鋤對A進行但QR偶分解獵，持,再粗令即完花成一壁次迭驢代。一般察地迭品代式輪，由此場得到暗矩陣顫序列脂。冰收強斂于撒上三吉角矩苦陣（廢或分臭塊上三企角矩簡陣）儀，從察而可奔以求俘出A的全隸部特鐵征值昌與特撿征向穩(wěn)量。其中量k=碌1,盯2,壩3,悼..懷.每一慕次迭碧代計婆算量冶較大欺，常享常先斑把實鞠矩陣氏A用喬Ho鹿us彎eh鴉ou貌de揀r法充約化京為擬峰上三沃角陣且。33QR柏算法定理呼：設嚼，滲進行烈QR叫分解卸并迭撓代記鴿,鵝則有（1濁）睛相似哨于A侄；（2蜓）撥的Q約R分放解為刪。34QR玩算法具有瘦移位貓的Q找R算槍法設A酒為n濾階實牙矩陣摔，令澤，和取適隙當?shù)挠陻?shù)對矩板陣作運QR沾分解令敗，這顫樣完牛成一堪次迭蛋代。一般北地，可以撈證明糠與菜相申似，嫁中躍所有充的矩